3 Метод касательных (метод Ньютона)

Если имеет одну и более непрерывных производных (т.е.достаточно гладкая), то можно применить метод Ньютона (метод касательных) и метод секущих, позволяющие сократить число вычислений функции по сравнению с методом деления пополам и методом хорд, т.е. уменьшить затраты машинного времени.

В методе Ньютона каждое новое приближение вычисляется как единственный нуль касательной прямой к функции в точке :



Это итерационная формула метода Ньютона.Каждая итерация требует вычисления не только, но и её производной.

Иллюстрация к методу касательных представлена на рис.1.7, а алгоритм метода – на рис.1.8.

Метод Ньютона обладает хорошей сходимостью.Основная трудность заключается в выборе начального приближениякоторое ведет к сходящемуся итерационному процессу.Поэтому методу Ньютона часто предшествует какой-нибудь глобально сходящийся алгоритм типа деления пополам.

Рис.1.5 – иллюстрация к методу хорд

4 Метод секущих

Данный метод заменяет производную первой разностью,найденной по двум последним итерациям.Итерационная формула метода имеет вид

В этом алгоритме начинают с двумя исходными числами и На каждом шагеполучают как единственный нуль секущей прямой к функции проходящей через точки с абсциссами и (рис.1.9). Алгоритм метода секущих приведен на рис.1.10.

Метод секущих имеет хорошую сходимость.Недостаток - в назначениии,достаточно близких к корню для того,чтобы могла начаться сходимость.

Рис.1.6 – алгоритм метода хорд

5 Метод итераций

Уравнение заменяют равносильным Выбирают каким-либо способом приближенное значение корня и по нему находятПовторяя процесс,получают последовательность чисел:

Если эта последовательность - сходящаяся,то предел является корнем равносильного уравнения и может быть вычислен по итерационной формулес любой степенью точности.

Процесс итераций следует продолжать до тех пор,пока для двух последовательных приближений не будет выполнено неравенство где - заданная абсолютная точность вычисления корня и

Поэтому в методе итераций при переходе от уравнения к уравнению следует выбирать такое представление,при котором что является условием сходимости методаЧем меньше тем быстрее последовательные приближения сходятся к корнюИллюстрации к методу итераций даны на рис.1.11, алгоритм – на рис.1.12

В заключение следует отметитьчто не существует методакоторый имел бы явное преимущество перед остальными для произвольного класса функций

5 Комбинированные методы решений нелинейных уравнений

Методы комбинируют для повышения эффективности: комбинированный метод должен обеспечить при той же величине ошибки меньшие затраты машинного времени по сравнению с любым из комбинируемых методов. Примеры алгоритмов комбинированных методов представлены на рис.1.13 и 1.14.

Рис.1.7 – иллюстрация к методу касательных

Рис.1.8 – алгоритм метода касательных

Рис.1.9 – иллюстрация к методу секущих

Рис.1.10 – алгоритм метода секущих

Решение нелинейных уравнений в системе Mathcad

Для уравнений видакорень находится с помощью функциигде выражение -;- нижняя и верхняя границы диапазона значений аргумента

При решении уравнений полезно построение графика функции Для этого достаточно выполнить следующие действия

1. На панели математических знаков щелкнуть на кнопке с изображением графика – на экране появится палитра графиков

2. В палитре графиков щелкнуть на кнопке с изображением двумерного графика – на экране появится шаблон графика

3. В место ввода шаблона по оси ординат ввести функциюнабрав её выражениенапример

Рис.1.11а,б – иллюстрации к методу итераций

Рис.1.12 – алгоритм метода итераций

4. Ввести в место ввода шаблона по оси абсцисс имя аргумента - 

5. Щелкнуть вне пределов графика левой кнопкой мыши – график построен

Примечание ВMathcadоперация присваивания := вводится как :а операция умножения изображается точкой после ввода *