L_2-1_2

Л. 2-1 Основные понятия векторной алгебры. Линейные операции над векторами.

Разложение вектора по базису.

Основные понятия векторной алгебры

Вектором называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление .

• Длина отрезка АВ называется модулем (длиной) вектора : =.

• Если , то вектор называется нулевым: .

• Если , то вектор называют единичным.

• Единичный вектор, имеющий одинаковое направление сданным вектором , называется ортом вектора и обозначается .

• Два вектора и называются равными, если 1) = - их длины равны; 2) - лежат на одной или параллельных прямых и направлены в одну сторону.

• Два вектора и называются противоположными, если 1) = - их длины равны; 2) - лежат на одной или параллельных прямых и направлены в противоположные стороны.

• Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых.

• Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях.

• Проекцией вектора на ось называется число, равное , где - угол, который вектор образует с положительным направлением оси ()

Свойства:

1. , если ;

2. , если ;

3. , если ;

4. .

Линейные операции над векторами

1.

Правило параллелограмма:

Суммой двух векторов и называется вектор , выходящий из их общего начала и являющийся диагональю параллелограм-ма, построенного на векторах и как на сторонах.

Правило многоугольника:

Чтобы построить сумму любого числа векторов, нужно в конец 1-го слагаемого вектора поместить начало 2-ого, в конец 2-ого – начало 3-его и т.д. Вектор, замыкающий полученную ломаную линию, является суммой. Начало его совпадает с началом 1-ого, а конец – с концом последнего.

Свойства:

1. - закон поглощения нулевого вектора;

2. - закон коммутативности;

3. - закон ассоциативности;

2.

Произведением вектора на число , называется вектор, удовлетворяющий условиям: .

Свойства:

1. - закон дистрибутивности относительно суммы векторов;

2. - закон дистрибутивности относительно суммы чисел;

3. - закон ассоциативности относительно числовых сомножителей.

3.

Разностью векторов и называют вектор , равный сумме вектора и вектора, противоположного вектору , т.е. .

- закон противоположного элемента (вектора).

Разложение вектора по базису

Сумма векторов определяется единственным способом (и только ). Обратная же операция – разложение вектора на несколько составляющих, неоднозначна: . Для того, что бы сделать её однозначной, необходимо указать направления, по которым происходит разложение рассматриваемого вектора, или, как говорят, необходимо указать базис.

• Базисом в пространстве называют совокупность любых трёх некомпланарных векторов, взятых в определённом порядке .

• Базис на плоскости - совокупность любых двух неколлинеарных векторов, взятых в определённом порядке .

• Базис на прямой – любой ненулевой вектор на этой прямой.

При определении базиса существенным является требование некомпланарности и неколлинеарности векторов. Чтобы понять смысл этого требования, необходимо рассмотреть понятие линейной зависимости и линейной независимости векторов.

Произвольное выражение вида: , называют линейной комбинацией векторов .

Линейная комбинация нескольких векторов называется тривиальной, если все её коэффициенты равны нулю.

Векторы называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов равная нулю: (1), при условии . Если равенство (1) имеет место только при всех одновременно равных нулю, то ненулевые векторы будут линейно независимыми.

Легко доказать: любые два коллинеарных вектора линейно зависимы, а два неколлинеарных вектора линейно независимы.

Доказательство начнём с первого утверждения.

Пусть векторы и коллинеарны. Покажем, что они линейно зависимы. Действительно, если они коллинеарны, то они отличаются друг от друга только на числовой множитель, т.е. , следовательно . Поскольку полученная линейная комбинация явно нетривиальная и равна «0», то векторы и линейно зависимы.

Рассмотрим теперь два неколлинеарных векторы и . Докажем, что они линейно независимы. Доказательство построим от противного.

Предположим, что они линейно зависимы. Тогда должна существовать нетривиальная линейная комбинация . Предположим, что , тогда . Полученное равенство означает, что векторы и коллинеарны вопреки нашему исходному предположению.

Аналогично можно доказать: любые три компланарных вектора линейно зависимы, а два некомпланарных вектора линейно независимы.

Возвращаясь к понятию базиса и к задаче разложения вектора в определённом базисе, можно сказать, что базис на плоскости и в пространстве образуется из совокупности линейно независимых векторов. Такое понятие базиса является общим, т.к. оно применимо к пространству любого числа измерений.

Выражение вида: , называется разложением вектора по векторам ,…, .

Если мы будем рассматривать базис в трехмерном пространстве, то разложение вектора по базису будет , где - координаты вектора .

В задаче разложения произвольного вектора в некотором базисе весьма важным является следующее утверждение: любой вектор может быть единственным образом разложен в данном базисе . Иными словами, координаты для любого вектора относительно базиса определяется однозначно.

Введение базиса в пространстве и на плоскости позволяет поставить в соответствие каждому вектору упорядоченную тройку (пару) чисел – его координаты. Этот очень важный результат, позволяющий установить связь между геометрическими объектами и числами, делает возможным аналитически описывать и исследовать положение и движение физических объектов.

Совокупность точки и базиса называют системой координат.

Если векторы, образующие базис единичны и попарно перпендикулярны, то система координат называется прямоугольной, а базис ортонормированным.

Л. 2-2 Произведение векторов

Разложение вектора по базису

Рассмотрим вектор , заданный своими координатами: .

- компоненты вектора по направлениям базисных векторов .

Выражение вида называется разложением вектора по базису .

Аналогичным образом можно разложить по базису вектор :

.

Косинусы углов, образованные рассматриваемым вектором с базисными ортами называются направляющими косинусами

; ; .

.

Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними

Скалярное произведение двух векторов можно рассматривать как произведение модуля одного из этих векторов на ортогональную проекцию другого вектора на направление первого .

Свойства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. - скалярный квадрат вектора;

5. если

Если известны координаты векторов и , то, выполнив разложение векторов по базису : и , найдём , т.к. , , то

.

.

Условие перпендикулярности векторов: .

Условие коллинеарности ректоров: .

Векторное произведение векторов

или

Векторным произведением вектором на вектор называется такой вектор , который удовлетворяет условиям:

1. ;

2. вектор перпендикулярен плоскости векторов и , т.е. , ;

3. вектор направлен так, что если смотреть с конца вектора , то кратчайший поворот вектора к вектору должен происходить против часовой стрелки.

Свойства:

1. - действие векторного произведения анти коммутативно;

2. - ассоциативно относительно на число;

3. - дистрибутивно относительно сложения векторов;

4. Если векторы и коллинеарны, то , в частности .

Рассмотренные алгебраические свойства позволяют найти аналитическое выражение для векторного произведения через координаты составляющих векторов в ортонормированном базисе.

Дано: и .

т.к. , , , , , , , то

. Эту формулу можно записать короче, в форме определителя третьего порядка:

.

Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное векторному произведению , умноженному скалярно на вектор .

.

Верно следующее равенство: , поэтому смешанное произведение записывают .

Как следует из определения, результатом смешанного произведения трёх векторов является число. Это число имеет наглядный геометрический смысл:

Модуль смешанного произведения равен объёму параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах , и .

Свойства смешанного произведения:

1. , т. е. смешанное произведение не меняется при циклической перестановке векторов;

2. т. е. смешанное произведение не меняется при перестановке знаков векторного и скалярного произведения;

3. , т.е. смешанное произведение меняет знак на противоположный при перестановки двух векторов – сомножителей;

4. (объём параллелепипеда равен нулю), если векторы , , лежат в одной или параллельных плоскостях, следовательно они компланарны или два из перемножаемых векторов коллинеарны.

5. ;

6. ;

7. .

Если векторы , , заданы в ортонормированном базисе своими координатами, вычисление смешанного произведения осуществляется по формуле

.

Действительно, если , то

; ; , тогда .

Если векторы , , компланарны, то векторное произведение перпендикулярно вектору . И наоборот, если , то объем параллелепипеда равен нулю, а это возможно только в том случае, когда векторы компланарны (линейно зависимы).

Таким образом, три вектора компланарны, тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.