Ильенков. Школа должна учить мыслить.

подтверждает застрявшую в голове догму, общее представление, а часто — и просто эгоистический узкий интерес. «Абстрактное мышление» — вовсе не достоинство, как это иногда думают, связывая с термином наивное представление о «высокой науке» как о системе непонятных «абстракций», парящих в заоблачных высях.

Наука, — если это действительно наука, а не система квазинаучных терминов и фраз, — есть всегда выражение, отражение действительных фактов, понятых в их связи, это понимание существа фактов. Наука вырастает из фактов, и только в фактах и через факты имеет смысл, значение, содержание. Таково и мышление математика, которое, желая похвалить, определяют словом «абстрактное».

Абстрактен лишь язык математики, но математик видит реальность под специальноматематическим углом зрения, он мыслит конкретно, как и физик, как и биолог, как и историк: он рассматривает не абстрактные «закорючки», а самую настоящую действительность — только под особым углом зрения, в особом аспекте. Умение видеть мир под углом зрения количества составляет специальную черту мышления математика. Человек, который этого не умеет, — не математик, а лишь счетчик-вычислитель. Воспитать математика, то есть человека, умеющего мыслить математически, далеко не то же, что воспитать у человека умение считать, вычислять, решать «типовые задачи». Школа же наша ориентируется, увы, порой на последнее, ибо это проще. А потом мы начинаем горевать, что способные к математическому мышлению люди — редкость; начинаем искусственно «отбирать» их, удивляясь их «природной талантливости» и приучая их к отвратительному самомнению, к высокомерию «избранных», к самолюбованию, к обособлению от «бесталанной черни».

Между тем, математика как наука ничуть не сложнее других наук, которые не кажутся столь таинственно-абстрактными. В известном смысле математическое мышление даже проще, легче. Это видно хотя бы из того, что математические «таланты» и даже «гении» развиваются в таком возрасте, который в других науках не дает возможности даже просто выйти «на передний край». Математика допускает меньший, более простой опыт в отношении окружающего мира, чем, например, политическая экономия, биология или ядерная физика, — ведь в этих областях знания «гения» в пятнадцатилетнем возрасте не встретишь.

Сравнительно малый процент «способных» к математическому мышлению людей мы получаем до сих пор от школы вовсе не потому, что природа скупа на раздачу математических способностей, а совсем по другой причине, — прежде всего потому, что с первых же дней вбиваем ему в голову такие математические «понятия», которые не помогают, а наоборот, мешают увидеть окружающий мир под непривычным для маленького человека математическим углом зрения.

«Способными» в итоге оказываются те дети, которые» — по счастливому стечению обстоятельств

— умудряются все-таки, метафорически выражаясь, выглянуть в окно, забитое досками неверных представлений.

***

Неверные представления об исходных математических понятиях связаны с устаревшими общими представлениями о понятиях вообще и об отношении их к реальности.

Первые же страницы учебника, который вводит первоклассника в царство математических понятий, учебника арифметики, внушают ребенку ложное представление о числе. Как дается ребенку понятие числа, это самое общее основание для всех дальнейших шагов в области математического мышления? На первой странице очень натурально и наглядно нарисован мячик, рядом с ним — девочка, яблоко (или вишенка), жирная палочка (или точка) и, наконец, цифровой

знак единицы. На второй странице — две куклы, два мальчика, два арбуза, две точки и цифра «2». И так далее — вплоть до десяти, до этого предела, назначенного дидактикой для первоклассника сообразно с его возрастными («природными») возможностями.

Предполагается, что, усвоив эти десять страниц, ребенок усвоит счет, а вместе с ним понятие числа.

Умение считать ребенок, действительно, таким образом усваивает. Но что касается понятия числа, то ребенок приобретает такое представление об этом важнейшем понятии, которое позже будет ему очень сильно мешать на поприще математического мышления.

Всамом деле, первоклассник, если бы он мог анализировать свои представления, на вопрос «Что такое число?» ответил бы после усвоения указанных страниц примерно следующее: число — это название, выражающее то общее, что имеют между собой все единичные вещи. Исходная цифра натурального ряда — это название единичной вещи, двойка — название двух единичных вещей и т. д. Единичная же вещь — это то, что я вижу в пространстве как резко и отчетливо ограниченное, будь то мячик или шагающий экскаватор. Недаром, чтобы проверить, усвоил ли ребенок премудрость, ему показывают предмет и спрашивают «сколько?», желая услышать в ответ — один, а потом — два, три и т. д. Но ведь грамотный в математике человек, услышав такое объяснение числа, по праву расценит его как неверное: это лишь частный случай числового выражения действительности, а ребенок вынужден усваивать его как представление о числе вообще.

Витоге уже ближайшие шаги в сфере математического мышления заводят ребенка в тупик и сбивают с толку. Скоро оказывается, что единичный предмет, который ему показывают, вовсе не обязательно называется словом «один», что это может быть и два (две половинки), и три и т. д. В голове ребенка складываются два взаимоисключающих представления о числе, которые он никак не соотносит, они просто находятся рядом. И это очень легко выявить, столкнув их в открытом противоречии.

Покажите ребенку игрушечный поезд, сцепленный из трех вагонов и паровозика. Спросите его: «сколько?» Один поезд? Четыре составных части поезда? Шестнадцать колес? Шестьсот пятьдесят четыре грамма? Три пятьдесят (цена игрушки в магазине)? Одна вторая комплекта? Здесь обнаруживается все коварство абстрактного вопроса «сколько?», на который ребенка приучили давать бездумно-абстрактный ответ; первоклассника отучили от желания уточнять, чего именно «сколько», — внушили, что это естественное желание надо оставить перед входом в храм математического мышления, где, в отличие от жизни, и конфета и ложка касторки просто «один», одно и то же. На такую абстракцию ребенка «натаскивают» с первых же шагов обучения счету, приучают его начисто отвлекаться от всякой качественной определенности единичных вещей, приучают к мысли, что на уроках математики качество вообще нужно забыть «во имя» чистого количества, во имя числа. А это для понимания ребенка непосильно. Он может принять это только на веру, — так, мол, уж принято в математике, в противоположность реальной жизни.

Предположим, что ребенок твердо усвоил выше разъясненное «понятие» о числе и счете, усвоил, что три арбуза — то же, что и три пары ботинок. Но тут ему сообщают, что три метра нельзя складывать с тремя килограммами, это не одно и то же, что, прежде чем складывать, располагать в один счетный ряд, надо предварительно убедиться, что имеешь дело с одноименными (однокачественными) вещами, что бездумно складывать и вычитать можно только «неименованные» числа, а именованные — нельзя.

Почему в одном случае можно складывать двух мальчиков с двумя вишенками, а в другом нельзя? Почему в одном случае это — одно и то же, а именно — единичные вещи, а в другом — не одно и то же, — разноименные, разнородные (хотя и тоже единичные) вещи? Почему? Учитель

этого не объясняет. Он просто показывает на «наглядных примерах», что в одном случае надо действовать так, а в другом — этак. Тем самым ребенку внушается два абстрактных представления о числе и не дается его конкретного понятия, т. е. понимания.

Сначала школьнику объясняют, что число (один, два, три и т. д.) — это словесный или графический знак, выражающий то общее, что имеется в любых чувственно воспринимаемых единичных вещах, безразлично каких — будь то мальчики или яблоки, чугунные гири (килограммы), или деревянные рейки (метры). Когда же он начинает действовать на основе этого абстрактного представления о числе («абстрактное» вовсе не значит здесь «ненаглядное», оно, напротив, предельно наглядно), начинает складывать килограммы и метры, ему говорят с укоризной: «Неспособный ты, неспособный! Тут надо было посмотреть, одноименные ли эти вещи». Прилежный и послушный ученик готов складывать только одноименные. Но в первой же задаче оказывается, что не только можно, но и нужно складывать и делить числа, выражающие разноименные вещи, делить яблоки на мальчиков, складывать мальчиков с девочками, делить килограммы на метры и умножать метры на минуты! Числа одноименные в одном случае, в одном смысле оказываются разноименными в другом. Какое же из правил вспомнить? А правил, чем дальше, тем больше, и все — разноречивые...

И сбитый с толку ребенок действует методом «проб и ошибок». Когда же этот малопродуктивный метод окончательно заводит его в тупик, ребенок начинает нервничать, плакать и в конце концов впадает в мрачное оцепенение. И вот он отстающий.

Каждый из нас наблюдал эту картину. Разве подсчитаешь, сколько горьких слез пролито детишками над домашними заданиями по арифметике? Зато известно, какой процент детей переживает обучение арифметике как тягостную повинность, даже как жестокое мучительство, а потом приобретает к ней на всю жизнь отвращение. Во всяком случае, этот печальный процент гораздо больше счастливого процента «способных, талантливых, одаренных», которые видят в математике «интересное занятие», поприще для упражнения своих творческих сил, изобретательности, находчивости.

А виновата тут дидактика, виноваты те представления об отношении абстрактного к конкретному, общего к единичному, качества к количеству, мышления к чувственно-воспринимаемому, которые лежат в основе многих дидактических разработок. Анализ первых страниц учебника по арифметике показывает, что представления дидактов-авторов об этих категориях находятся на давно пройденном наукой уровне. Представление о конкретном здесь смешивается с представлением о чувственно-наглядном, под видом конкретного ребенку предлагается самое что ни на есть абстрактное, у него формируется представление о количестве, о числе как о чем-то таком, что получается в результате полнейшего отвлечения от всех и всяких качественных характеристик вещей, в результате отождествления мальчиков с пудами, а яблок с аршинами. Вместо конкретного понятия ребенок получает, усваивает абстрактное, словесное зафиксированное представление, получает незаметно представление о противоречии как о чемто «нехорошем», «нетерпимом», как о показателе неряшливости и неточности мышления, как о чем-то таком, от чего следует поскорее избавиться путем словесных манипуляций.

Чтобы школа могла учить мыслить, чтобы она действительно делала это, надо решительно перестроить всю дидактику на основе логики и теории познания современного материализма. Иначе основанный на старой дидактике учебный процесс будет формировать «способные умы» лишь в виде исключения из правила, иначе в отношении «одаренных» мы по-прежнему будем возлагать все свои надежды на «милость природы» и будем ждать этих редких милостей, вместо того, чтобы делать «способные умы» в школе, развивать способности всех учеников.

Но для осуществления такой перестройки само усвоение научных знаний надо организовать так, чтобы оно в сжатой, сокращенной форме воспроизводило действительный исторический процесс

рождения и развития этих знаний. Ребенок при этом с самого начала — не потребитель готовых результатов, запечатленных в абстрактных определениях, аксиомах, а, так сказать, соучастник творческого процесса. Это, конечно, ни в коем случае не означает, что ребенок вынужден самостоятельно «изобретать» все те формулы, которые сотни, тысячи лет назад уже открыли люди ушедших поколений, но повторить путь их открытия ребенок должен. Тогда эти формулы усваиваются не как абстрактные рецепты, а как реальные, совершенно конкретные общие принципы решения реальных же, конкретных задач.

«Конкретные общие принципы» — это звучит несколько парадоксально для человека, привыкшего считать, что общее — значит абстрактное, а конкретное — единичное, чувственнонаглядное. Между тем, с точки зрения понятий диалектики, это вовсе не парадокс. С точки зрения диалектики понятие именно и есть конкретно-всеобщее, т. е. общее, включающее все богатство конкретного.

Общепринятая же методика преподавания счета (описанная нами выше и «чище» всего изложенная в учебнике арифметики Пчелко) дает детям не понятие числа, не общий принцип подхода к нему, а лишь два абстрактных, притом противоречащих одно другому, представления о числе, два частных случая числового выражения реальных вещей, при этом один частный случай подсовывается этой методикой как общий, а другой — как более сложный, как «конкретный».

А не лучше ли делать наоборот, — сначала объяснить детям действительно общую природу числа, а уже потом показывать два частных случая его применения?

Ясно, что ребенку не сообщишь понятие числа, очищенное от каких бы то ни было следов «наглядности», без связи с каким-нибудь «частным случаем». Поэтому надо искать такой «частный» (наглядный, предметный) случай, в котором число и необходимость действий с числом выступали бы перед ребенком в общем виде, искать такое «частное», которое выражало бы только «общую» природу числа. Но если так, то может быть вообще неправильно начинать обучение детей математике с «числа», то есть с операции счета, сосчитывания, безразлично — сосчитывания единичных вещей или их составных частей, что вообще действия с числами, составляющие традиционную арифметику, это действия далеко не самые простые, и что арифметика вовсе не может составлять «первого этажа» математического мышления, что она есть скорее, его «второй этаж» — более позднее (и исторически и логически) образование, нежели алгебра.

Опять парадокс: ведь по традиции считается, что алгебра более сложна, чем арифметика, что она посильна лишь шестикласснику и в истории математики оформилась позже арифметики. Мы приходим, как будто, к выводу, противоречащему нашему исходному тезису, — к выводу, что логическое развитие понятий в голове ребенка должно быть обратным тому, которое наблюдается в истории математического развития.

Но более пристальный анализ показывает, что и в истории алгебра должна была возникнуть не позже арифметики, а раньше (в действительной истории математического развития людей, а не в истории математических трактатов); простейшие количественные соотношения, которые описывает алгебра, и в истории были осознаны раньше, чем человек изобрел число и счет, еще до счета он должен был пользоваться словами «больше», «меньше», «равно», «неравно» и т. п. Именно в этих словах нашли свое выражение наиболее общие количественные соотношения между вещами, явлениями, событиями.

Преподавание математики (развитие математической способности) до́лжно начинать тоже с действительного «начала», с правильной ориентировки человека в количественном плане реальной действительности, а не с числа, которое представляет собою лишь позднюю (а потому и более сложную) форму выражения количества. Значит, надо начинать с действий, выделяющих

для человека этот количественный план рассмотрения окружающего, чтобы потом прийти к числу как к развитой форме выражения количества, как к более позднему и сложному умственному отвлечению. Принятая же методика, формально следующая принципу совпадения логического с историческим, по существу строится как раз вопреки ему.

Понятиям числа и счета, очевидно, должны предпосылаться понятия, которые могут быть развиты и усвоены раньше, чем число и счет, потому что они имеют более общий характер, и потому — более просты. Если говорить о средствах, с помощью которых эти наиболее общие и простые понятия фиксируются, то это не цифры, а знаки, которые давным-давно использует алгебра, это знаки равенства, неравенства, знаки «больше», «меньше». Все эти знаки обозначают отношения величин, любых величин, неважно каких, выраженных числом или не выраженных, пространственно-геометрических или временных, отношения величин вообще. Само собой понятно, что представление о величине и в истории мышления появилось у людей раньше, чем умение измерять эти величины тем или иным способом и выражать их числом.

Началом математического рассмотрения мира людьми было умение выделять из всего многообразия чувственно-воспринимаемых качеств вещей специально лишь одно, именно — их величину, а затем умение сравнивать вещи только как величины. Позже с необходимостью возник вопрос: а на сколько именно больше или меньше одна величина другой. Здесь возникла и потребность в числе и счете, и сами число и счет. Число для человека имело с самого начала вполне конкретный, предметно-практический смысл.

Определенную попытку строить процесс обучения, опираясь на такое его понимание, можно наблюдать, например, в работе Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова, проводимой в одной из лабораторий Института психологии АПН РСФСР. Здесь решили начинать логическое развитие ребенка в области математики с того, что раскрыли ему общие и абстрактные отношения величин. Записывал ребенок эти отношения на бумаге с помощью знаков «больше», «меньше», «равно», «неравно».

Ориентироваться в плане количества детей обучают вовсе не абстрактными рассуждениями, а на самых что ни на есть реальных и понятных ситуациях: на «уравнивании» палочек, на «комплектовании» винтиков с гайками, коробок с карандашами и т. д. и т. п. Для ребенка это понятно и интересно. Для ума ребенка это тренировка в самостоятельном выделении количественно-математического аспекта реальных вещей окружающего мира. И лишь на этой основе вводится число как частный, более конкретный способ выражения величин и их соотношений. После этого ребенок уже не ответит бездумно на вопрос «сколько?», когда ему покажут одну, две единичные вещи, словом «одна», «две» и т. д., — он предварительно осведомится: «А чего сколько?».И это показатель того, что ребенок мыслит, и мыслит конкретно, а не оперирует бездумно абстрактными, чужими для него терминами. Если ему отвечают на его вопрос: «Я спрашиваю, сколько здесь вещей», он ответит: «Одна», если же ему скажут: «Сколько метров?», он ответит: «Два», «Примерно два», или же скажет: «Нужно измерить». Значит, у ребенка воспитано разом два важных качества ума — во-первых, умение правильно относиться к вопросу «сколько?» и умение задавать вопрос, уточняющий задачу настолько, чтобы стал возможен точный и однозначный ответ, а во-вторых — умение правильно соотносить числовой знак с реальностью в ее математическом аспекте.

В экспериментальном классе лаборатории большинство детей относятся к урокам математики как к интересной и увлекательной игре, требующей воображения, сообразительности, находчивости, как к игре, доставляющей удовольствие. Здесь большинство, а не меньшинство ребят оказывается понимающими суть дела.

Уже в начальной школе эти ребята знакомятся с алгебраическими уравнениями, у них формируются такие навыки математического мышления, на основе которых сама вычислительная

техника усваивается как нечто весьма несложное и не требующее специального изучения, как своего рода побочный продукт учебного процесса, усваивается как лекарство внутри конфеты — то самое горькое лекарство, которое на уроках по принятой методике ребенок глотает с трудом, с отвращением.

Только такое обучение действительно эффективно, когда ум ребенка идет не от наглядных частностей к абстрактно-общему, так как это — совершенно неестественный и бесплодный в науке путь, а от действительно всеобщего (абстрактного) к обнимаемому им многообразию частностей, т. е. к конкретному. Тогда учат мыслить, а не повторять чужие слова, будь то слова «один», «два» или «падеж», «глагол»... Лишь тогда ребенку показывают самую предметную действительность математических понятий, а не ее плохой заменитель, не «наглядные примеры» готовых и непонятных абстракций, зафиксированных в словах «один», «два», «миллион», «миллиард»...

В этом случае у ребенка действительно развивают математическое мышление, а не вдалбливают в его мозг абстрактные слова, рецепты, штампованные схемы «типовых решений», которые он потом никак не может «применить».

Перед ребенком, обучаемым на основе таких дидактических принципов, вообще не встает задача

— а как же применить усвоенные, т. е. заученные общие знания к жизни, к реальной действительности: это общее знание для него с самого начала и есть не что иное, как самая действительность, отраженная в ее существенных чертах, в понятиях.

***

Тот читатель-педагог, который надеялся найти в этой статье готовый, детально разработанный рецепт-ответ на вопрос «Как учить мыслить?», будет, вероятно, разочарован: все это, мол, слишком общо, даже если и верно.

Совершенно справедливо. Никаких готовых рецептов философия предложить педагогу не может. Чтобы довести высказанные принципы до той степени конкретности, в какой они были бы непосредственно приложимы к педагогической практике, нужно приложить еще много труда, нужно затратить много усилий и философам-логикам, и педагогам, и психологам, и специалистамматематикам, и специалистам-физикам, и специалистам-лингвистам. Один философ не может разрешить эту задачу, так же, как и один педагог.

Каждый, кто хочет учить мыслить, должен учиться и уметь мыслить сам. А это значит, что он должен уметь применять к своему конкретному делу общетеоретические, в частности, общефилософские принципы, а не ждать, что кто-то другой сделает это за него и преподнесет ему готовую дидактическую рецептуру, избавляющую от дальнейшего умственного труда, от необходимости мыслить. Даже самая лучшая, самая разработанная дидактика не избавит педагога от этой необходимости. Все равно между общими положениями и индивидуальнонеповторимыми педагогическими ситуациями сохранится промежуток. И преодолеть этот промежуток будет в силах лишь мыслящий педагог.

Никакая дидактика не поможет равнодушному человеку-машине, педагогу, привыкшему мыслить по шаблону, по штампу, по жестко запрограммированному в его голове рецепту.

Нельзя научить другого делать то, чего сам не умеешь. Школа должна учить мыслить, — это значит, что учиться мыслить должен прежде всего педагог. Мыслить на уровне современной духовной культуры.

Умение творчески мыслить невозможно без развитой способности воображения, фантазии. А они воспитываются в людях большим искусством. Надо помнить об этом, когда речь идет о детях. Это

— связанный со всем, что говорилось выше, но особый, большой вопрос.