Задачи оптимизации

б) Найдите диапазон изменения правых частей ограничений (ограничений на ресурсы), при котором структура оптимального плана останется без изменений.

3.21. Совету директоров компании требуется выбрать несколько инвестиционных проектов по расширению производства исходя из основного критерия – получения максимальной прибыли. Данные о параметрах инвестиционных проектов, требуемых и имеющихся средствах приведены в таблице.

а) Используя булевы переменные, найдите оптимальный план инвестиций. б) Найдите оптимальный план, если проекты A и C являются взаимоисклю-

чающими.

в) Найдите оптимальный план, если проекты A и D являются взаимосвязанными.

3.22. Менеджеру поручено распорядиться суммой 100 000 долларов. Выбор осуществляется из списка, в котором перечислено 20 видов ценных бумаг. Известно, что доходность i го актива составляет ri . Чтобы обеспечить сбаланси-

рованность инвестиционного пакета менеджер намерен использовать следующие правила: а) не инвестировать более 20 000 долларов в один вид ценных бумаг; б) если акции покупаются, то сумма покупки составляет не менее 5 000 долларов. Составьте математическую модель задачи целочисленного программирования. Задав по своему усмотрению величину доходности акций 10% ri 20% , про-

ведите оптимизацию.

3.23. Совет директоров производственного предприятия рассматривает ряд инвестиционных проектов, представленных в таблице ниже. Обозначим: Ri – до-

ход инвестиционного проекта i , Ci – затраты на этот проект. Требуется оптими-

зировать суммарный доход при условии, что общий объем инвестиций не должен превышать M долларов.

71

Сформулируйте эту задачу как модель линейного программирования с использованием булевых переменных. Задайте по своему усмотрению необходимые параметры модели и найдите оптимальный план.

3.24. Составьте дешевый вариант 1 т кормовой смеси в соответствии с технологическими требованиями, представленными в таблице.

3.25. Постройте экономико-математическую модель определения структуры блюд на предприятии общественного питания, обеспечивающую максимальный доход при соблюдении заданных нормативов производства и ресурсных ограничений.

72

3.26. Постройте экономико-математическую модель определения структуры выпуска блюд на предприятии общественного питания при заданном квартальном плане товарооборота 30 млн руб.

Являются ли угловые точки допустимой области для этой модели вырожденными? Является ли оптимальное решение вырожденным?

3.28. Имеется математическая модель

73

5 x1 2 x2 min; 3 x1 6 x2 18;

5 x1 4 x2 20; 8 x1 6 x2 16; 7 x1 6 x2 42; x1 0, x2 0.

Являются ли угловые точки допустимой области для этой модели вырожденными? Является ли оптимальное решение вырожденным?

Транспортные задачи и задачи назначения

3.29. Промышленная компания выпускает передвижные дизельные электростанции. Дизельные моторы производятся в США, а сборочные заводы расположены в европейских городах Лейпциге, Нанси, Льеже и Тилбурге. Моторы доставляются один раз в квартал морем в европейские морские порты

Стоимость перевозки моторов на сборочные заводы определяется таблицей (матрицей aij , i A, B, C , j 1, 2, 3, 4 ) (приведена стоимость перевозки одного мотора в долларах за штуку).

Задачей менеджера компании является составление плана перевозок, обеспечивающего спрос сборочных предприятий при минимальных суммарных затратах на перевозку. Анализируя отчет по устойчивости, дайте ответы на следующие вопросы:

74

а) Насколько снизятся затраты на перевозку при увеличении запасов в Антверпене на 150 моторов?

б) Насколько снизились бы затраты на перевозку, если потребность в моторах в Нанси была бы меньше на 150 штук.

в) Оставляя неизменной полную стоимость перевозок, минимизируйте полную стоимость перевозок из порта Гавр.

г) Решите аналогичную задачу, минимизировав стоимость перевозок из портов Амстердама и Антверпена.

д) Решите задачу оптимизации перевозок, если путь из Амстердама в Льеж заблокирован.

е) Решите задачу оптимизации, если заблокирован путь из Гавра в Нанси.

3.30. В этой модели представлена задача доставки товаров с трех заводов на пять региональных складов. Товары могут доставляться с любого завода на любой склад, Производственные мощности заводов находятся в столбце Поставки, а потребности складов – в строке с соответствующим названием. Модель несбалансированная, поскольку объем поставок больше, чем потребности складов. Таблица стоимостей перевозки одного изделия между заводами и складами (тыс. руб.) приведена ниже.

Найдите объем поставок с каждого завода на каждый склад, оптимизирующий стоимость перевозок. Рассмотрите ситуацию, когда поставки с завода на Украине оказались невозможными. Как правильно поставить задачу в этом случае?

3.31. Составьте оптимальный план перевозки лекарств с минимальными затратами из аптечных складов в пять аптек города. Запасы лекарств на складах, заявки потребителей и тарифы перевозок приведены в таблице

а) После того, как найдено решение, зафиксируйте затраты на перевозки на оптимальном значении и попробуйте оптимизировать затраты на перевозки со склада АС 5.

б) Рассмотрите случай, когда аптечный склад АС 1 оказался заблокирован. Как следует правильно поставить задачу в этом случае?

75

3.32. Составьте оптимальный план удовлетворения спроса потребителей в топливе, обеспечивающий минимальные затраты на перевозку. Недельный план добычи угля на различных шахтах, недельные заявки на поставки топлива и тарифы на перевозку за одну тонну (руб.) представлены в таблице.

При фиксированной оптимальной стоимости перевозок постарайтесь оптимизировать затраты на перевозку с шахты Комсомольская.

3.33. Компании нужно направить коммивояжеров в новые рынки сбыта. Имеются три вакансии и четыре кандидата. Результат назначения кандидата на определенное место определяется ожидаемым увеличением прибыли. Прибыль, которую может дать кандидат, работая на той или иной территории, показана в таблице.

Компания заинтересована в максимизации общей прибыли. Требуется составить оптимальный план распределения коммивояжеров по территориям.

3.34. Руководство фирмы приняло решение произвести инспекцию своих предприятий в Лейпциге, Нанси, Льеже и Тилбурге, направляя туда своих вицепрезидентов, каждый из которых в компании возглавляет одно из направлений (финансы, маркетинг, производство и персонал). Хотя может существовать большое число факторов, которые нужно учесть при таком назначении (знание языка, узкая специализация, невозможность оторваться от прямых обязанностей и т. д.), руководство компании решило оптимизировать в качестве первого шага только суммарные затраты на командировку вице-президентов. Таблица командировочных расходов в различные города (тыс. долларов) приведена ниже.

76

а) Составьте схему распределения вице-президентов по филиалам, минимизирующую командировочные расходы.

б) Учтите, что из-за знания языка вице президент по финансам может быть командирован либо в Нанси, либо в Льеж, а вице-президент по персоналу – либо в Льеж, либо в Тилбург.

3.35. Начальнику ГУВД Свердловской области требуется издать приказ о назначении начальников районных ГУВД в пяти крупнейших районах Свердловской области. Количество правонарушений, зарегистрированных в предыдущий год в этих районах, представлено в таблице ниже.

Назначение нового руководителя связано с переездом семьи на новое место работы. Таблица подъемных средств (тыс. руб.), выделяемых на переезд, приведена ниже

Профессиональный уровень кандидатов различен. По итогам работы на прежнем месте раскрываемость преступлений в райотделах, которые они возглавляли, указана в таблице.

Какого руководителя, в какой район следует назначить, чтобы раскрываемость преступлений в области была наибольшей, а суммарная стоимость переезда не превысила суммы расходной статьи бюджета на эти цели, равной 120 тыс. руб.? Как изменится решение, если бюджет равен 90 тыс. руб.? Рассмотрите ситуацию, когда невозможно назначение кандидата A в район 1 при назначении кандидата D в район 2 и назначение кандидата B в район 2 при назначении кандидата А в район 5.

3.36. Руководство рекламного агентства должно решить, кто из четырех делопроизводителей будет работать со счетами каждого из четырех основных клиентов. Затраты при каждом назначении для каждого делопроизводителя пред-

77

ставлены в таблице. Сформулируйте задачу назначения как задачу целочисленного программирования с булевыми переменными и решите ее.

Модели динамического программирования

3.37. Производитель имеет заказы на поставку горючего в ближайшие четыре месяца. Технологические параметры производства и хранения горючего представлены в таблице.

Требуется составить оптимальный план производства горючего по месяцам, если на 1-е января запас топлива на складе составлял 10 т.

а) Создайте математическую модель задачи.

б) Убедитесь, что приведенная выше табличная модель соответствует математической модели.

в) Введите необходимые данные в программу Поиск решения.

г) Используя отчет по устойчивости, ответьте на следующие вопросы: 1) Как изменятся суммарные затраты, если производственные мощности в марте будут больше на одну тонну? 2) Если мощности производства позволят в апреле произвести 42 т топлива, то как при этом изменится суммарная стоимость производства и хранения продукции?

3.38. Малое предприятие выпускает комплекты мебели для жилых комнат. Ежемесячные данные о производстве комплектов мебели представлены в таблице.

78

Менеджеру предприятия требуется составить оптимальный план производства мебели по месяцам, если начальный запас составляет 15 комплектов мебели.

а) Создайте математическую модель задачи.

б) Создайте табличную модель и убедитесь, что табличная модель соответствует математической модели.

в) Введите необходимые данные в программу Поиск решения.

г) Используя отчет по устойчивости, ответьте на следующие вопросы: 1) Как изменятся суммарные затраты, если объем производства в марте будет больше на один комплект по сравнению с оптимальным? 2) Если мощности производства позволят в марте произвести 65 комплектов мебели, то как при этом изменится суммарная стоимость производства и хранения продукции?

3.39.Решите предыдущую задачу, считая, что запас за каждый месяц является не внутренней переменной задачи, а переменной решения, подлежащей оптимизации. Для этого нужно составить новую математическую модель.

3.40.Используя условие задачи 3.38, проведите оптимизацию независимо для каждого месяца. Сравните результат с решением, полученным для динамической модели.

3.41.Менеджер крупной овощной базы отвечает за покупку консервированных продуктов, которые хранятся на базе в специальных ящиках. Спрос и цены за ящики по месяцам приведены в таблице ниже.

Менеджер может закупить требуемое количество ящиков впрок, но за хранение оставшегося в конце месяца запаса ящиков на складе требуется платить по 0,2 доллара в месяц за ящик. Начальный запас ящиков равен нулю. Желательно, чтобы и конечный запас ящиков тоже был равен нулю. Постройте математическую модель задачи и оптимизируйте затраты на приобретение и хранение ящиков.

3.42. Компании, выпускающей косметические наборы, необходимо разработать модель управления запасами на три квартала текущего года. Удельные производственные затраты на производство одной единицы продукции составляют по кварталам 2, 4 и 5 долларов, а удельные расходы на хранение одного комплекта при переходе от одного временного периода к другому составляют 1 доллар. Спрос на косметические комплекты составляет 10 000, 20 000 и 30 000 штук для 1, 2 и 3-го кварталов соответственно. Постройте модель линейного программирования, позволяющую удовлетворить спрос в косметических наборах с наименьшими затратами.

79

3.43.Производитель столкнулся с проблемой управления запасами в течение трех временных периодов. Цена продажи единицы товара постоянна и составляет 4 доллара, удельные производственные затраты составляют в первый временной период 4 доллара, а во второй и третий – 3. Спрос и стоимость хранения такие же, как и в предыдущей задаче. Производитель не обязан полностью удовлетворять спрос, однако за каждую единицу неудовлетворенного спроса он должен платить неустойку в размере 1,5 долларов. Производственные мощности в первый период составляют не более 40 000 единиц продукции, а во второй и третий временной периоды – не более 10 000 единиц продукции. Начальный и конечный запасы равны нулю. Постройте модель линейного программирования, которая позволит разработать план производства, дающий максимальную прибыль.

3.44.Инвестиционная компания может принять участие в двух проектах: строительство аквапарка и строительство гостиницы Финансовая динамика проектов, а также поступление средств от предыдущих инвестиций представлены в таблице (при 100%-м участии).

Компания может вкладывать средства в проекты на 100 % или участвовать в долевом строительстве (взять на себя обязательства инвестировать только долю, например, 30 % одного проекта и 20 % другого проекта) вместе с другими фирмами. Наряду с инвестированием возможно приобретение депозитных сертификатов, прибыль от которых составляет 7 % за полгода. Компания располагает средствами 2 млн долларов и ставит перед собой задачу максимизировать средства компании через 24 месяца. Заем средств компания не практикует. Требуется найти распределение средств для участия в инвестиционных проектах.

3.45. Имеется пять проектов, конкурирующих между собой за получение инвестиционных фондов компании. В таблице приведены средства, которые будут получены при инвестиции одного доллара в различные проекты по годам.

80