Деление в избыточных системах счисления

Наиболее распространенные методы ускорения операции деления основаны на применении алгоритмов, где частное представляется в системе счисления, отлич­ной от двоичной. Это означает, что цифры частного могут иметь больше, чем два значения, например {-1, 0, 1}, как это было в алгоритме умножения Бута, пли {-2 -1,0,1,2}. В таких системах одно и то же число может быть записано несколькими способами, из-за чего системы называют избыточными. Очередная цифра частного в избыточной системе счисления, в зависимости от базы этой системы, соответ­ствует двум или более цифрам в двоичном представлении частного, и для нужного количества двоичных цифр частного остатка требуется меньше итераций. В то же время реализация такого подхода ведет к усложнению аппаратуры делителя, в частности надстраивается логика определения операции, выполняемой в очередной итерации. Для этой цели в состав устройства деления включается специаль­ная память, хранящая таблицу, определяющую необходимые действия, и зависи­мости от текущей комбинации цифр в частичном остатке и делителе. Тем не менее выигрыш в быстродействии оказывается решающим моментом. Так, в микропроцессорах Pentium при делении мантисс чисел с плавающей занятой используется алгоритм SRT с базой 4, то есть частное сначала вычисляется с использованием цифр -2, -1, 0, 1, 2 с последующим преобразованном результата к стандартному двоичному представлению. В этом варианте выбор очередной цифры частного производится с помощью таблицы, состоящей из отдельных секций. Конкретную секцию определяют четыре старшие цифры делителя (после его нормализации). Входом в секцию служат шесть старших цифр частичного остатка. 40 в каждой итерации сдвигается не на один, а на два разряда, то есть число итераций сокраща­ется вдвое. Известны варианты делителей, где берется еще большее основание си­стемы счисления, в частности 8 и 16. В этом случае логика работы устройства су­щественно усложняется.

Операционные устройства с плавающей запятой

Операции над числами в формате с плавающей запятой (ПЗ) имеют существен­ные отличия от аналогичных операций целочисленной арифметики, поэтому их обычно реализуют с помощью самостоятельного операционного устройства. Как и целочисленное ОПУ, операционное устройство для чисел в формате ПЗ как минимум должно обеспечивать выполнение четырех арифметических действий; сложения, вычитания, умножения и деления.

После принятия стандарта IEEE 754 негласным требованием ко всем ВМ является обеспечение операций с числами, представленными в форматах, которые определены данным стандартом. Это требование не исключает использования в конкретной ВМ также иных форматов чисел с ПЗ, что обычно связано с сохранением совместимости с предыдущими моделями данной вычислительной машины.

Напомним основные положения записи чисел в стандарте IEEE 754. Мантис­сы чисел М представляются в нормализованном виде, при этом действует прием скрытого разряда, когда старшая цифра мантиссы, всегда равная единице, в запи­си числа отсутствует, то есть в поле мантиссы старшей является вторая старшая цифра нормализованной мантиссы.

В отличие от общепринятого условия нормализации S = [М| < 1, в стандарте IEEE 754 используется условие i = |М| < 2.

Запись числа содержит смещенный порядок, то есть порядок, увеличенный на величину смещения, которое в стандарте IEEE 754 для одинарного формата равно 127, а для двойного — 1023.

С учетом перечисленных особенностей арифметическую операцию над числа­ми в формате с плавающей запятой можно записать в виде:

где Х_М, Y_M,Z_M — нормализованные мантиссы операндов и результата; смещенные порядки операндов и результата; — знак арифметической операции. При всех различиях в выполнении разных арифметических операций подгото­вительный и заключительный этапы во всех случаях совпадают, в силу чего их имеет смысл рассмотреть отдельно