Основные понятия о дифференциальных уравнениях

Решение многих технических задач, в том числе и задач химической технологии, приводит к уравнениям, в которые входят как неизвестные величины (искомые функции), так и скорости изменения этих величин (производные искомых функций).

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, искомую функцию и ее производные. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным (ОДУ).

Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то дифференциальное уравнение содержит частные производные, поэтому называется дифференциальным уравнением в частных производных

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него.

Символическая запись ОДУ n-го порядка: F(x,y,y,...,y⁽ⁿ⁾)=0. Примерами ОДУ 1 порядка являются рассмотренные выше примеры 1, 2. Уравнение вида y+ay+by+sinx=0 является ОДУ 2 порядка.

О: Решением ОДУ называется любая функция y=(x), которая в некоторой области изменения х при подстановке в ОДУ обращает его в тождество

Оду 1 порядка. Задача Коши. Общее решение.

ОДУ 1 порядка в общем случае имеет вид

F(x,y,y)=0

Если его можно разрешить относительно у, то получим ОДУ вида

y=f(x,y)

Другая форма записи последнего P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Простейшим ОДУ 1 порядка является у=f(x), решение которого имеет вид y=f(x)dx+c, где с- произвольная постоянная, т.е. уравнение имеет множество решений.

О: Задача нахождения решения ОДУ, удовлетворяющего начальному условию y(x₀)=y₀ (такая запись равносильна ) называется задачей Коши

Т: (существования и единственности задачи Коши). Если функция f(x,y) и ее частная f_y непрерывны в окрестности т.М₀(x₀,y₀), существует единственное решение y=y(x) задачи Коши y=f(x,y), y(x₀)=y₀ в окрестности т. х₀

О: Общим решением ОДУ 1 порядка называется функция y=(x,c), c=const, удовлетворяющая следующим условиям:

1) функция y=(x,c) является решением ОДУ с;

2) каково бы не было начальное условие y(x₀)=y₀ , существует такое значение c=c₀, при котором y=(x,c₀) удовлетворяет данному начальному условию.

В некоторых случаях общее решение ОДУ получается в неявном виде Ф(х,у,с)=0, тогда оно называется общим интегралом.

О: Частным решением ОДУ 1 порядка называется функция y=(x,c₀), которая получается из его общего решения у=(x,c) при определенном значении с=с₀

Геометрически общее решение представляет собой семейство кривых на плоскости ХОY, зависящее от с. Эти кривые называются интегральными кривыми данного ОДУ 1 порядка.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

О: Дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными называются ОДУ 1 порядка, которые приводятся к виду f₁(x)dx=f₂(y)dy

Такими уравнениями являются:

а) , б) P₁(x)P₂(y)dx+ Q₁(x)Q₂(y)dy=0.

В обоих случаях переносим «х» в одну сторону, «у» в другую и интегрируем (учитывая ) получакм f₂(y)dy= f₁(x)dx+c. или

Однородные ду 1 порядка

О: Функция f(x,y) называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных х и у , если при любом х справедливо тождество: f(x,y)=ⁿf(x,y)

О: ОДУ 1 порядка (20.3) называется однородным относительно x и у, если функция y=f(x,y) есть однородная функция нулевого измерения относительно х и у

Однородное уравнение может быть записано в виде y=f*(y/х), так как f(x,y)=f(х/х, у/х)=f(1,y/х)=f*(y/x). Поэтому заменой u=y/x, где u=u(x), оно сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными

Замечание. Уравнение P(x,у)dx+ Q(x,y)dy=0 будет однородным только в том случае, если P(x,у) и Q(x,y) - однородные функции одного измерения.