Тройной интеграл
Пусть теперь в
трехмерной области
задана произвольная непрерывная функция
.
Разобьем
на n частей, аналогично случаям
рассмотренным выше и составим сумму,:
которая
называется трехмерной интегральной
суммой для
в.
Тройным интегралом
от функции
по области
называется предел интегральных суммы
при условии, что диаметр разбиения (т.е.
длина наибольшей хорды) стремиться к
нулю (0),
если предел существует, конечен и не
зависит от способа разбиения
на части i,
,
и от выбора в них точек Мi.
Обозначение
где dv
- элемент объема;
- область интегрирования;
- подинтегральная функция;
- подинтегральное выражение.
Функция, для которой тройной интеграл существует, называется интегрируемой.
Аналогично двойному
интегралу в декартовой системе координат
применяют формулу
Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.
Если исходная
область
определяется неравенствами:
,
,
то справедлива формула:
,
т.е. внешний интеграл изменяется от
точки до точки, средний – от функции до
функции, внутренний – от поверхности
до поверхности.
Свойства тройного интеграла полностью повторяют свойства двойного интеграла.
Что
же касается перехода к новым координатам
при вычислении тройного интеграла, то
по аналогии:
то,
где
.
На практике наиболее распространены переходы к цилиндрическим и сферическим координатам.
Цилиндрические
координаты:
,
якобиан равен
.
Сферические
координаты:
якобиан равенr2sin
Если говорить о геометрических приложениях тройного интеграла то:
Объем тела ограниченного пространственной областью может быть определен по формуле:
.Масса тела в случае если его плотность подчинена закону
вычисляется по формуле
.
Комплексные числа и действия над ними
Вводится новое
“понятие” мнимой единицы
(
).
С введением этого “числа” появляется
целый класс чисел
,
.
Число
называется комплексным числом.
,
- вещественная
и мнимая
его части.
Над комплексными числами можно производить следующие операции:
Сложение и вычитание:
Умножение:
Деление:
Число
называется
комплексно-сопряженным к числуz:
если
,то
.
Если вещественные числа можно отображать на прямой, то для комплексных чисел необходима плоскость.
Комплексное число
(это видно из его изображения на плоскости)
можно задавать не только в декартовой
(через
и
),
но и в полярной (через
и
)
системе координат:
- модуль комплексного числа
,
- аргумент комплексного числа
.
Значение
выбирается таким образом, чтобы угол
был в той четверти, где находится наше
комплексное число.
Выбранное значение
угла
будем
подчеркивать.
y
r
x
Комплексное число
представимо в одной из трех форм записи:
-
алгебраическая форма записи,
- тригонометрическая
форма записи,
- показательная
форма записи.
Пользоваться тригонометрической и показательной формой удобно в тех случаях, когда нам необходимо разделить или умножить между собой два комплексных числа.
В тригонометрической форме:
если
и
,
то
В показательной
форме:
и
,
то
При работе с комплексными числами часто используются формулы:
Формулы Эйлера: 
;
.
Формула Муавра:
Корень из комплексного
числа функция многозначная, т. е. одному
значению
соответствуетnзначений функции
:
k
изменяется от нуля доn-1.
Область
- это окружность с центром в точке
и радиусомR.