Интегрирование специальных классов функций Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется функция где B_j, A_i -заданные коэффициенты, ,. Рациональная дробь называется правильной, если m<n, неправильной, если mn.

Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Действительно, пусть R(x)=- неправильная рациональная дробь. Разделим числитель на знаменатель, получим, где L_l(x) и остаток r_k(x) - многочлены, а - правильная рациональная дробь.

Любой многочлен может быть представлен в виде:

Где - корень кратностиk₁; - корень кратностиk₂; - корень кратностиk_l.

В таком случае правильную дробь можно представить в виде:

Все дроби представленные в разложении исходной дробно-рациональной функции называются простейшими, числа A, B, C с различными индексами называются неопределенными коэффициентами и однозначно определяются из решения системы линейных уравнений составляемой путем приведения всех простейших дробей к одному знаменателю из соображения однозначности представления многочлена по степеням своей переменной.

В результате представленного разложения становиться возможным вместо взятия интеграла от исходной дробно-рациональной функции (сообразуясь со свойствами неопределенного интеграла) брать интегралы от полученных простейших дробей и в качестве ответа к исходному примеру записывать их линейную комбинацию.

Отметим тот факт, что получившиеся при разложении простейшие дроби бывают четырех видов: ;;;.

Приведем вычисление интегралов от этих простейших дробей.

1. .

2. .

3.

4.

где

Использовав для данного интеграла метод интегрирования по частям можно получить рекуррентную формулу: по которой, действуя последовательно, можно спуститься до.

Таким образом, обобщая все вышесказанное можно сформулировать алгоритм пригодный для интегрирования дробно-рациональных функций.

1. Выделяем целую часть, и получаем интеграл от многочлена и правильной дробно-рациональной функции.

2. Представляем правильную дробно-рациональную функцию как сумму простейших дробей.

3. Вычисляем интегралы от простейших дробей.

4. Записываем ответ как сумму от получившихся в п.3. выражений.

Интегрирование тригонометрических функций

Существует несколько подходов к вычислению интегралов от функций содержащих тригонометрические выражения.

1. Интегралы вида где m и n целые числа и одно из них не четное вычисляются следующим образом:

От простейшей тригонометрической функции иликоторая представлена в нечетной степени отщепляется один сомножитель и заносится под знак дифференциала, оставшаяся простейшая тригонометрическая функция при помощи тождествапреобразуется в дополнительную к себе функцию, данное преобразование позволяет передти к табличному интегралу.

2. Интегралы вида где m и n целые четные числа можно вычислять посредством применения формул понижения порядка и перехода к двойному аргументу:

; ;

3. Для интегрирования произведений простейших тригонометрических функций с различными аргументами могут применяться формулы:

;

;

4. В общем случае интегралы вида при помощи замены, при которой,,преобразуются в интегралы отдробно-рациональных функций, вычисление которых было рассмотрено выше (обратная подстановка в этом случае ).