tasks-task_35714_1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Текстильный институт ИвГПУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

h2 M 2 = ∆1.

Формула трапеций, как и формула прямоугольников, является точной для любой

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

694.09 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

В случае многочлена четвертой степени (пять узлов) получим:

f ′(x			) =				1			(−25y								+		48y				− 36y							+16y								−	3y						) +				h4	f (5)	(ξ )	(17)
f ′(x	0		) =							(−25y						0		+		48y				− 36y						2	+16y						3		−	3y					4	) +					f (5)	(ξ )
	0				12h											0							1							2							3								4	5						0
					12h																					;																				5
							1																			;																					h4						(18)
f ′(x				) =			1				(−3y							−10y						+18y								− 6y							+ y						) −		h4				f (5) (ξ ) ;		(18)
f ′(x		1		) =							(−3y				0			−10y					1	+18y						2		− 6y				3			+ y			4			) −						f (5) (ξ ) ;
		1				12h									0								1							2						3						4				20						1
						12h						1																													h4					20							(19)
				f ′(x				)	=			1				( y				−		8y				+		8y				− y					) +				h4					f (5) (ξ ) ;							(19)
				f ′(x			2	)	=							( y			0	−		8y			1	+		8y			3	− y			4		) +									f (5) (ξ ) ;
							2				12h								0						1						3				4					30											2
							1				12h																													30								h4					(20)
f ′(x				) =			1				(−y						+ 6y					−18y								+10y								+ 3y							) +			h4			f (5)	(ξ )	(20)
f ′(x		3		) =							(−y			0			+ 6y				1	−18y						2		+10y				3				+ 3y					4		) +						f (5)	(ξ )
		3				12h								0							1							2						3									4			20						3
						12h																				;																				20
							1																			;																							h4				(21)
f ′(x				) =			1			(3y				−16y								+ 36y							− 48y								+ 25y									) +			h4		f (5)	(ξ )	(21)
f ′(x	4			) =						(3y			0	−16y								+ 36y					2		− 48y				3				+ 25y							4		) +					f (5)	(ξ )
	4				12h								0							1							2						3											4		5						4
					12h																																									5

Выбор оптимального шага численного дифференцирования

Оценка абсолютной погрешности численного дифференцирования складывается из остаточной погрешности, оцениваемой величиной |Rn′(x)|, и

вычислительной погрешности, определяемой приближенным заданием величин yi, i=0,1,...,n, (погрешностью округления результата пренебрегаем). Рассмотрим для определенности формулу (19).

Приближенное значение производной

f ′(x2 ) ≈

(y0

− 8y1 + 8y2 − y4 )

(22)

12h

имеет остаточную погрешность

∆1 =

h4 M

≥

f (5)

(ξ)

= max| f (5) (x)|,

[a;b]

и вычислительную погрешность согласно равенству (9) темы I

∆2

18∆*

3∆*

12h

где ∆* - абсолютная погрешность каждого из чисел yi, i=0,1,...,n.

Таким образом, полная погрешность формулы численного дифференцирования

(22)-

∆(h) = ∆1 + ∆2 = h4 M5 + 3∆* . 30 2h

Для малости ∆1 необходима малость h, но при уменьшении h растет ∆2 . Из уравнения ∆′(h) = 0 получаем значение h*, при котором погрешность ∆(h) формулы (22) имеет минимальное значение.

∆′(h) =	4M		3∆*	45∆*
∆′(h) =	305 h3	−	2h2 = 0,	h* = 5 4M5

Задача.

Функция f(x) задана таблицей своих значений, верных в написанных знаках. Найти первую производную этой функции в точках x1*=0,7 и x2*=1,0. Оценить погрешности результатов. Найти оптимальный шаг h* для каждой из формул численного дифференцирования.

Xi	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
yi	0,4794	0,5646	0,6442	0,7174	0,7833	0,8415

Решение.

Точка x1*=0,7 - центральный узел таблицы. Для вычисления f ′(0,7) в данной

задаче следует воспользоваться одной из формул (8), (14), (15), (18).

1) Воспользуемся формулой (8), обозначив x0=0,6; x1=0,7; x2=0,8. Тогда

f ′(0,7) ≈ 2 0,1 (0,7174 − 0,5646) = 0,764.

Остаточная погрешность результата в соответствии с формулой (11) -

∆1 = M63h2 ,

где M 3	= max\| f (3) (x)\|.
	[a;b]

Чтобы оценить M3, построим для данной функции таблицу конечных разностей.

xi		yi	∆yi		∆2 yi								∆3 yi				∆3 yi

0,5		0,4794	0,0852
0,6		0,5646	0,0852	-0,0056
0,6		0,5646		-0,0056
0,7		0,6442	0,0796	-0,0064							-0,0008						-0,0001
0,7		0,6442		-0,0064													-0,0001
0,8		0,7174	0,0732	-0,0073							-0,0009						0,0003
0,8		0,7174		-0,0073													0,0003
0,9		0,7883	0,0659	-0,0077							-0,0006
0,9		0,7883		-0,0077
1,0		0,8415	0,0582
1,0		0,8415

						max\|∆3 y						\|		0,0009
			M 3 ≈				[a;b]				i		=	0,0009			= 0,9;
			M 3 ≈						h3				=	(0,1)3			= 0,9;
				∆1 =				0,9			(0,1)2				= 0,0015.
				∆1 =							6				= 0,0015.
											6
	Вычислительная погрешность результата -
				∆2	=		∆*			=	0,00005					= 0,0005.
				∆2	=			h		=						= 0,0005.
								h				0,1
где ∆*	= 0,00005 - абсолютная погрешность величин yi.
			∆(h) = ∆1 + ∆2							= 0,0015 + 0,0005 = 0,002.

Определим оптимальный шаг для использованной формулы численного дифференцирования.

M3h

2M3h

∆(h) =

+ ∆h ; ∆′(h) =

−

∆

= 0,

откуда

= 3

3∆*

3 0,5 10−4

= 0,119 .

0,9

2) Решим теперь данную задачу с помощью формулы (14), обозначив x0=0,6; x1=0,7; x2=0,8; x3=0,9.

′

6 0,1 (−2 0,5646

−3 0,6442 +6 0,7174 −0,7833) = 0,7655

(0,7) =

∆ =

h3M

max |

∆4 y |

M4 = max | f

(4) (x) |≈

[a;b]

0,0003

= 3;

[a;b]

(0,1)4

∆

(0,1)3 3

= 0,000025; ∆

2 ∆*

2 0,00005

= 0,001;

0,1

∆(h) = ∆1 + ∆2 = 0,001025.

Определим для этой формулы оптимальный шаг численного

дифференцирования.

h3M

2∆*

h2M

2∆*

∆(h) =

12 4

+ h ; ∆′(h) =

4 4

− h2 = 0,

= 4

8∆*

8 0,5 10−4

= 0,107.

Точка x2*=1,0 является последним узлом таблицы. Для вычисления f ′(1,0)

служат формулы (9), (16), (21). Воспользуемся формулой (16), обозначив x0=0,7; x1=0,8; x2=0,9; x3=1,0.

f ′(10,) = 6 01,(−2 0,6442 +9 0,7174 −18 0,7833+11 08415,) =054217,;

M4h

max|∆4 y |

0,0003

∆1 =

≈

[a;b]

=0,00075;

4 h

01,

∆2 =

40 ∆*

20 ∆*

20 0,00005 .

3 0,1

Определим соответствующий данной формуле оптимальный шаг таблицы.

∆(h) = ∆1 + ∆2

M4h3

20∆*

′

3M4h2

−

20∆*

= 0,

; ∆ (h)

3h2

80∆*

80 0,5 10−4

= 4 9M4

= 4

9 3

= 0,110.

Задача B

Пользуясь таблицей задачи Б2, вычислить первую производную заданной функции в точке x* и оценить погрешность результата. Определить оптимальный шаг таблицы для выбранной формулы численного дифференцирования.

1. x*=1,1	2. X*=1,2		3. X*=1,3		4. X*=2,0
5. x*=2,2	6.	X*=0,50	7. X*=0,52		8. X*=0,56
9. x*=0,60	10.	X*=0,61	11.	X*=1080	12.	X*=1090
13. x*=1100	14.	X*=1110	15.	X*=1120	16.	X*=2,70
17. x*=2,74	18.	X*=2,76	19.	X*=2,80	20.	X*=2,84
21. x*=0,7	22.	X*=0,9	23.	X*=1,1	24.	X*=1,3
25. x*=1,5.

4.4. Численное интегрирование

Постановка задачи. Пусть требуется вычислить интеграл

b
J = ∫ f (x)dx.	(1)

Если функция f(x) является непрерывной на отрезке [a;b], то интеграл (1) существует и может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница

b
J = ∫ f (x)dx = F(b) − F(a).	(2)

Однако для большинства функций f(x) первообразную F(x) не удается выразить через элементарные функции. Кроме того, функция f(x) часто задается в виде таблицы ее значений для определенных значений аргумента. Все это порождает потребность в построении формул численного интегрирования, или квадратурных формул.

Определение 1. Приближенное равенство

b	N
J = ∫ f (x)dx ≈ (b − a)∑ Ai		f (xi ) = J N	(3)
a	i =1			узлами xi [a;b] и
называется	квадратурной	формулой,	определяемой	узлами xi [a;b] и
коэффициентами Ai.
Величина	RN ( f ) = J − J N		(4)
	RN ( f ) = J − J N		(4)
называется остаточным членом квадратурной формулы.
В зависимости от способа		задания подынтегральной		функции f(x) будем

рассматривать два различных в смысле реализации случая численного интегрирования.

Задача 1. На отрезке [a;b] в узлах xi заданы значения fi некоторой f, принадлежащей определенному классу F. Требуется приближенно вычислить интеграл (1) и оценить погрешность полученного значения.

Так обычно ставится задача численного интегрирования в том случае, когда подынтегральная функция задана в виде таблицы.

Задача 2. На отрезке [a;b] функция f(x) задана в виде аналитического выражения. Требуется вычислить интеграл (1) с заданной предельно допустимой погрешностьюε .

Рассмотрим алгоритмы решения задач 1 и 2.

Алгоритм решения задачи 1.

1. Выбирают конкретную квадратурную формулу (3) и вычисляют JN. Если значения функции f(xi) заданы приближенно, то фактически вычисляют лишь приближенное значение J N для точного JN.

2.Приближенно принимают, что J ≈ J N .

3.Пользуясь конкретным выражением для остаточного члена или оценкой его для выбранной квадратурной формулы, вычисляют погрешность метода

∆1 ≥| J − JN |=|RN ( f )|. 4. Определяют погрешность вычисления J N

∆2 ≥| J N − J N |,

по погрешностям приближенных значений f(xi).

5. Находят полную абсолютную погрешность приближенного значения J N :

| J − J N |≤ ∆1 + ∆2 = ∆

6. Получают решение задачи в виде

J = J N ± ∆ .

Алгоритм решения задачи 2.

1. Представляют ε в виде суммы трех неотрицательных слагаемых

ε = ε1 + ε2 + ε3 ,

где ε1 - предельно допустимая погрешность метода; ε2 - пре-дельно допустимая погрешность вычисления J N ; ε3 - предельно допустимая погрешность округления результата.

2.Выбирают N в квадратурной формуле так, чтобы выполнялось неравенство

∆1 =| J − J N |=|RN ( f )|≤ ε1 .

3.Вычисляют f(xi) с такой точностью, чтобы при подсчете JN по формуле (3)

обеспечить выполнения неравенства

∆2 =| J N − J N |≤ ε2 .

Для этого, очевидно, достаточно вычислить все f(xi) с абсолютной погрешностью

εT

ε2

(b − a)∑| Ai |

i =1

ε3

≠ 0 )

Найденную в

п.3

величину

округляют

(если

с предельно допустимой погрешностью

ε3 до величины J N .

5. Получают решение задачи в виде

J = J N

± ε .

Построение простейших квадратурных формул

Формула прямоугольников. Допустим, что

f (x) C2 [a;b].

Отрезок

[a;b]

_______

разделим

на N равных частичных отрезков [xi-1;xi], где xi=a+ih; i == 0, n

− 1; xN=b;

h =

b − a

Тогда

∫ f (x)dx = ∑

∫ f (x)dx .

(5)

i=1 xi −1

Обозначим среднюю точку отрезка [xi-1;xi] через

ξ =

xi −1

+ xi

(6)

Запишем для функции f(x)

на каждом из отрезков [xi-1;xi] формулу Тейлора с

остаточным членом в форме Лагранжа

(7)

(x) = f (ξi ) +(x −ξi ) f ′(ξi ) +

(x −ξi )2

f ′′(ηi );

ηi (xi−1; xi )

Подставим в правую часть соотношения (5) вместо f(x) ее представление (7)

(x −ξi )

∫ f (x)dx = ∑ ∫[ f (ξi ) +(x −ξi ) f ′(ξi ) +

f ′′(ηi )]dx =

i=1 xi−1

(x −ξi

)

∫

dx + f ′(ξi )

∫

(x −ξi )dx +

∫

f ′′(ηi )dx]

(8)

i=1

= ∑[ f (ξi )

xi−1

(x − ξi )2

Используя для вычисления

∫

f ′′(ηi )dx

вторую теорему о среднем

xi −1

значении функции и, учитывая, что

∫(x − ξi )dx = 0 , получим, что

xi −1

∫ f (x)dx = h∑ f (ξi ) +

∑ f ′′(

ηi

);

ηi

(xi−1, xi )

(9)

i=1

24 i=1

В силу непрерывности

f ′′(x)

существует такая точка η (a;b) , что

(10)

∑ f ′′(ηi ) = Nf ′′(η) .

i=1

Используя (10), получаем

∫ f (x)dx = h∑ f (ξi ) +

Nf ′′(η)

b − a

i=1

или, так как h =

b − a

′′

∫ f (x)dx = (b −a)∑

f (ξi ) +

(11)

(η)

i=1

Приближенное равенство

∫ f (x)dx ≈ (b − a)∑

f (ξi ) = J Nпр

(12)

i =1

называется квадратурной формулой прямоугольников, определяемой

узлами ξi [a;

RN ( f

b] и коэффициентами A =			1		. Величина
b] и коэффициентами A =					. Величина
	i		N
b			N
b	b − a
) = ∫ f (x)dx − J Nпр =	b − a	h2	f	′′(η)		(13)
) = ∫ f (x)dx − J Nпр =	24	h2	f	′′(η)		(13)
a	24

является остаточным членом формулы прямоугольников (12).

Оценка остаточной погрешности формулы прямоугольников может быть записана в виде

\|RN ( f )\|≤	b − a	h2	M 2 = ∆	1 ,	(14)
\|RN ( f )\|≤		h2	M 2 = ∆	1 ,
24
где			M 2	= max\| f ′′(x)\| .
			M 2	= max\| f ′′(x)\| .
				[a;b]

Выражения для остаточного члена (13) и остаточной погрешности (14) показывают, что формула прямоугольников (12) является точной для любой линейной функции, так как вторая производная такой функции равна нулю, и, следовательно, ∆1 = 0 .

Оценим вычислительную погрешность ∆2 формулы прямоугольников,

которая возникает за счет приближенного вычисления значений функции f(x) в узлах

ξi .

Пусть, например, значения f( ξi ) в формуле (12) вычислены с одинаковой

абсолютной погрешностью ∆* ,

тогда

(15)

∆2 =| JN −

N |= (b −a)∑

∆* = (b −a)∆*

i=1

Пример 1. Вычислить с помощью формулы прямоугольников

∫0

с точностью ε

= 10-2.

1 + x

Применяя алгоритм решения задачи 2, представим суммарную погрешность

ε в виде суммы трех слагаемых.

Выберем h из условия

ε =0,01=0,009+0,0005+0,0005.

h2 (b − a)M 2

∆

≤ 0,009 .

Так как M

= max| f ′′(x)|= max

= 2 и (b-a)=1, то h ≤ 0,009 12 < 0,32

(1 + x)3

[0;1]

и, следовательно,

N =

b − a

> 3,1, т.е. N=4, h=0,25, ∆1 = 0,0052 .

Составим таблицу значений функции 1/1+x

с тремя знаками после запятой,

так как ∆2 = ∆* (b − a) ≤ 0,0005,

∆* = 0,0005 .

ξi

0,125

0,375

0,625

0,875

f (ξi )

0,889

0,727

0,615

0,533

Используя формулу (12), получаем

J пр4 = 0,25 (0,899 +0,727 +0,615 +0,533) = 0,25 2,764 = 0,691.

Так как в данном случае погрешность округления равна ε3 = 0,0005,, то

получим

J = 0,691± (0,0052 ± 0,0005) = 0,691± 0,0057 .

Формула трапеций. Предположим, что

f (x) C2 [a;b]. Разделим отрезок [a;b]

на N равных частей, тогда

N xi

∫ f (x)dx = ∑ ∫ f (x)dx ,

(16)

b −a

i=1 xi−1

где

= a +ih;i =

= b; h =

0, N

−1; x

Заменим функцию f(x) на каждом из отрезков [xi-1,xi] первой

интерполяционной формулой Ньютона первой степени

f (x) = f (x

) +

x −xi−1

( f (x ) − f (x

)) +

f ′′(ηi )

(x −x

)(x −x ),

i−1

(17)

ηi (xi−1; xi ).

Подставляя формулу (17) в правую часть (16), интегрируя и используя вторую теорему о среднем значении функции, получим


b	N	f (x	) + f (x )		h3 N
	N	f (x	) + f (x )		h3 N
∫ f (x)dx = ∑h		i−1	i	−		∑ f ′′(ηi );ηi (xi−1; xi ).(18)
∫ f (x)dx = ∑h			2	−		∑ f ′′(ηi );ηi (xi−1; xi ).(18)
a	i=1		2		12 i=1

В силу (10) получаем:

f (x0 ) + f

(xN )

N −1

′′

∫ f (x)dx = h

∑ f (xi )

−

(b − a) f

(η).(19)

i=1

Приближенное равенство

b −a f (x ) +

f (x

)

N −1

J = ∫ f (x)dx ≈

∑ f (xi )

= JNТР

(20)

i=1

называется формулой трапеции. Величина

ТР

′′

RN ( f ) = J − JN

= −

(b −a) f

(21)

(η)

является остаточным членом формулы трапеций. Оценка остаточной погрешности формулы трапеций может быть записана в виде

линейной функции. Вычислительная погрешность формулы трапеций также равна

∆2 = (b −a)∆ .

(23)

Так как остаточные члены формул прямоугольников и трапеций (13) и (21) имеют противоположные знаки, то формулы (12) и (20) дают двухстороннее приближение для интеграла (1), то есть

J Nпр < J < J NТР , если f ˝(x) > 0,

J NТР < J < J Nпр , если f ˝(x) < 0.

В таком случае можно принять, что

J Nпр + J NТР

J ≈

тогда

J Nпр − J NТР

J − J

т.е. погрешность выражается через приближенные значения интегралов.

Пример 2. Вычислить ∫1

по формуле трапеций, полагая N=4; оценить

0 1+ x

полную погрешность результата. Учитывая результаты примера 1, найти

по

формуле (24) и оценку (25).

Применяя алгоритм решения задачи 1, находим:

∆1

(b − a)M 2 =

0,25

1 2 = 0.0104 .

Составим таблицу значений функции 1/(1+x) с тремя знаками после запятой

∆2 = ∆* (b −a) = ∆* ≤ 0,5 10−5 .

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

f (xi )

1,000

0,800

0,667

0,571

0,500

1,000 + 0,500

+ 0,800 + 0,667 +

0,571

= 0,697 .

Суммарная погрешность равна

∆1 + ∆2

= 0,0104 + 0,0005 ≈ 0,011.

(24)

(25)

		Если округлить результат до двух знаков, то
ε3	= 0,70 −0,697 = 0,003							и
J = 0,70 ± (0,0109 + 0,003)= 0,70 ± 0,014 .
		Используя формулы (24) и (25) и результаты примера 1, получим
0,691 < J < 0,697 ;
~		0,691+			0,697
J	=					= 0,694		;
J	=			2		= 0,694		;
				2
		~		0,697 −0,691
		~		0,697 −0,691
J − J			<				= 0,003 ;
J − J			<		2		= 0,003 ;
					2
J = 0,694 ± 0,003.

Формула Симпсона. Предположим, что f (x) C4 [a,в]. Разделим отрезок [a,в] на

N = 2k	равных частей, тогда		к−1 x2i +2
	а		к−1 x2i +2
	∫ f (x)dx =		∑	∫ f (x)dx ,					(26)
	в		i =0	x2i
				x2i
где x	= а+ih ; i =		x	= в; h =	в − а	=	в − а	.
		0,2к −1 ;			в − а		в − а
		0,2к −1 ;
i			2k		N		2к
					N		2к		] длиной 2h по формуле
Заменим функцию f (x) на каждом из отрезков [x2i , x2i +2									] длиной 2h по формуле

Стирлинга второго порядка. Проводя рассуждения, аналогичные сделанным при выводе формуле трапеций, получим квадратурную формулу Симпсона

в	h		k	k −1	C
J = ∫f (x)dx ≈		f (x0 ) + f (x2k ) +4∑f (x2i−1) +2∑f (x2i )			= J2k	(27)
J = ∫f (x)dx ≈	3	f (x0 ) + f (x2k ) +4∑f (x2i−1) +2∑f (x2i )			= J2k	(27)
а	3		i=1	i=1

	с остаточным членом
R	( f ) = J − J C	= −	h4	(в − а) f (IV )(η), η (а,в).	(28)

N	2k	180

Оценка остаточной погрешности формулы Симпсона примет вид

( f

в − а

h4M

= ∆

(29)

)

≤

180

где

= max

f IV

(х)

[a,в]

Вычислительная погрешность формулы Симпсона равна

∆2 = ∆* (в − а).

(30)

Из выражения для остаточного члена формулы Симпсона следует, что она точна для многочленов третьей степени.

Пример 3. Вычислить ∫

по формуле Симпсона с точностью ε = 0,0001.

+ x

0 1

Применяя алгоритм решения задачи II, представим суммарную погрешность ε в

виде суммы трех слагаемых ε = 0,0001 = 0,000045 + 0,000005 + 0,00005.

Выберем h из условия

∆ =

h4 (в − а)

≤ 0,000045.

180

Так как M 4 = max

f (4)(x)

= max

= 24, то

[0.1]

[0.1] (1+ x)5

h ≤ 4				0,45 10−4 180 = 4											3,375 10−4		≈ 0,135 и, следовательно,
								24
N		=		в − а					≥		10			≈ 7,38 ≈ 8.
N		=							≥	1.35				≈ 7,38 ≈ 8.
					h					1.35									0,1254
Таким образом,														N = 8 ,		h = 0,125	и ∆	=	0,1254	24 = 0,0000325.
Таким образом,														N = 8 ,		h = 0,125	и ∆	=		24 = 0,0000325.
																		1	180
Составим таблицу значений функций																			180
Составим таблицу значений функций																		11+x	с пятью знаками после запятой
∆2			= ∆* (b − a) = ∆* ≤ 0,5 10−5
xi								0.000					0.125			0.250	0.375		0.500		0.625	0.750

f (xi )								1.000					0.8888			0.800	0.7272		0.6666		0.6153	0.5714
													9				7		7		8	3

xi								0.875						1.000
f (xi )								0.5333						0.500
										3
Используя формулу (27), получаем:
1			dx					0,125
J = ∫						≈						[1,5+4(0,88889+0,72727+0,61538+0,53333) +2(0,8+0,66667+0,57143)]=
J = ∫		1+x				≈		3
0		1+x						3
=	0,125						[1,5 + 4 2,7648 + 2,03810 2 ] = 0,6931533 .
=							[1,5 + 4 2,7648 + 2,03810 2 ] = 0,6931533 .
		3

Округляя полученный результат, получим

J = 0,69315 ± (0,0000325 + 0,000005 + 0,0000033) = 0,69315 ± 0,000041.

Правило Рунге практической оценки погрешности квадратурных формул.

Пусть

f (x) С4 [а, в]

и интеграл (1) вычисляется по формуле

прямоугольников. Наличие у

f (x) производных

′′′

(x) позволяет при

f (x) и

выводе формулы прямоугольников (7)-(13) получить следующее полезное

соотношение

J = ∫ f (x)dx = J Nnp + ch2 + O(h4 ),

(31)

где

с =

∫ f ′′(x)dx

(32)

постоянная, не зависящая от h . Величина

ch2 называется главной частью

погрешности формулы прямоугольников.

Если

f (x) C4[а,в]

, то справедливо аналогичное соотношение и для формулы

трапеций

J = J TP + c h2 +O(h4 ),

(33)

′′

где

с1 = −

(34)

(x)dx

∫а

не зависит от h .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.06.20153.38 Mб224Mekhanika.doc
#
01.05.20251.11 Mб0Metodicheskie_ukazania_dlya_vypolnenia_kursovog...doc
#
01.06.201526.6 Mб18OARIO_OTChET_BAKALAVRY_97.doc
#
26.03.2016136.19 Кб30Prikaz_MVD_RF__288.docx
#
01.06.2015186.88 Кб17rab_pr_po_lit_5-9_kl.doc
#
01.06.2015694.09 Кб19tasks-task_35714_1.pdf
#
01.06.201556.24 Кб13Введение.docx
#
21.04.2019100.35 Кб11Документ Microsoft Word (11).doc
#
18.11.2019164.35 Кб15Задание для контрольной работы (ФУУ).doc
#
01.05.202514.01 Mб1Задание по производственной практике.docx
#
26.03.2016211.46 Кб48ККЛ по ЭиСт 080500.doc