Методы оценки погрешностей

Пусть - точное значение какой-либо величины, которое, как правило, неизвестно, и - её приближенное значение, найденное каким-либо способом.

Абсолютной погрешностью приближенного значения называется абсолютная величина разности между соответствующим точным значением и его приближенным значением , то есть .

Предельная абсолютная погрешность является верхней оценкой абсолютной погрешности приближенного значения , т.е. . В дальнейшем значение принимается в качестве абсолютной погрешности приближенного значения . В этом случае истинное значение находится в интервале .

Относительной погрешностью приближенного значения величины называется отношение абсолютной погрешности этого значения к модулю соответствующего точного значения (): , так как чаще всего неизвестно, то .

Значащей цифрой числа считается любая цифра в его десятичной записи, отличная от нуля и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного разряда.

Под верной цифрой числа, понимается его значащая цифра, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит данная значащая цифра.

Правила округления:

Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все его цифры, стоящие справа от n-й значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями.

При этом:

1. если первая из отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняются без изменения;

2. если первая из отброшенных цифр больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляется единица;

3. если первая из отброшенных цифр равна 5 и среди остальных отброшенных цифр имеются ненулевые, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу;

4. если первая из отброшенных цифр равна 5 и все остальные отброшенные цифры являются нулями, то последняя оставшаяся цифра сохраняется неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная.

Оценка погрешностей результатов при выполнении операций над приближенными числами:

1. Абсолютная погрешность суммы приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей этих чисел:

;

2. Абсолютная погрешность разности приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого:

;

3. Относительная погрешность частного не превышает суммы относительных погрешностей делимого и делителя:

;

4. Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел:

;

5. Относительная погрешность m-й степени числа в m раз больше относительной погрешности самого числа:

;

6. Относительная погрешность корня m-й степени неотрицательного числа в m раз меньше предельной относительной погрешности подкоренного числа:

.

Лабораторная работа №1

Задания:

1. Округляя точное значение A до трех значащих цифр, определить абсолютную и относительную погрешности полученного приближенного значения.

2. Определить абсолютную погрешность приближенного значения по его относительной погрешности .

3. Решить задачу: при измерении длины с точностью до 5 м получено км, а при определении другой длины с точностью до 0,5 см, получено м. Какое измерение по своему качеству лучше?

4. Определить количество верных знаков n в числе , если известна его предельная абсолютная погрешность х.

5. Определить количество верных знаков в числе а, если известна его предельная относительная погрешность .

6. Найти сумму приближенных значений (=1, 2, 3), считая все знаки (=1, 2, 3) верными, т.е. абсолютная погрешность каждого слагаемого не превосходит половины единицы младшего разряда этого слагаемого. Определить предельные абсолютную и относительную погрешности суммы.

Правило: Чтобы сложить числа, имеющие различные абсолютные погрешности, и найти погрешность суммы, следует:

1. выделить наименее точные числа, т.е. числа с наибольшей абсолютной погрешностью;

2. остальные числа округлять, сохраняя один запасной десятичный знак по сравнению с ранее выделенными наименее точными слагаемыми;

3. сложить числа, учитывая все сохраненные знаки;

4. полученные результаты округлить на один знак;

5. полную абсолютную погрешность суммы складывать из трех компонент:

а) суммы предельных абсолютных погрешностей исходных чисел;

б) абсолютной величины суммы ошибок округления слагаемых

(с учетом знаков ошибок округления) из п.2;

в) заключительной погрешности округления результата из п.4.

7. Найти абсолютную и относительную погрешности при вычислении объема цилиндра, если числовые значения высоты h и радиуса основания R имеют все верные знаки.