Фазовая скорость.

Рассмотрим некоторую волновую поверхность, например, плоскость, содержащую т.M. Очевидно, фаза волны в этой плоскости будет меняться с течением времени. Чтобы фаза оставалась постоянной, плоскость должна перемещаться с некоторой скоростьювдоль осиx.

Скорость перемещения определенной фазы волны называется фазовой скоростью .

Найдем фазовую скорость из условия, что

и :

откуда: (57)

Фазовая скорость равна скорости распространения волны.

Волновое уравнение.

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы получить волновое уравнение, воспользуемся для простоты уравнением плоской волны, распространяющейся вдоль оси x:

и найдем и:

(58)

(59)

Из сравнения (58) и (59) получим волновое уравнение:

(60)

Если волна распространяется в произвольном направлении, то волновое уравнение примет вид:

(61)

Групповая скорость.

Совокупность волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, называется волновым пакетом или группой волн. Точка, в которой амплитуда колебаний группы волн максимальна, называется центром группы волн. Скорость, с которой распространяется максимум колебательного процесса (скорость центра группы волн), называется групповой скоростью. Групповая скорость – скорость передачи энергии группой волн.

В зависимости от частоты колебаний может меняться и скорость распространения волны. Зависимость скорости распространения волны от частоты колебаний частиц среды называется дисперсией.

Волновое число k равно:

Дисперсия приводит к нарушению линейной зависимости между k и . Зависимость =(k) называется дисперсионным уравнением или законом дисперсии.

Если среда не обладает дисперсией, то все гармонические волны независимо от частоты распространяются с одной и той же фазовой скоростью и пакет ведет себя как стационарная волна, т.е. , если в среде имеет место дисперсия, то.

Найдем связь между групповой и фазовой скоростями. Преобразуем выражение для фазы волны (51):

(62)

Для сохранения пакета волн необходимо, чтобы в центре пакета находился набор когерентных волн, распространяющихся с одинаковыми скоростями. Для таких волн изменение фазы в зависимости от длины волны должно быть равно нулю:

(63)

Взяв производную по  от (62) и приравняв ее к нулю, после несложных преобразований получим:

(64)

Если , то- дисперсия отсутствует.

Если , то- в среде имеет место нормальная дисперсия.

Если , то- в среде аномальная дисперсия.

Энергия упругой волны. Плотность энергии.

Пусть в среде вдоль оси x распространяется плоская волна:

Выделим малый объем V среды, масса которого M=V, где  - плотность среды.

Все точки этой среды совершают колебания со скоростью u:

Кинетическая энергия частицы , кинетическая энергия всех частиц среды в объемеV

(65)

Кинетическая энергия выделенного объема меняется с течением времени, поэтому найдем среднее значение ее за период . Т.к. среднее за период значение квадрата синуса равно1/2, то

(66)

Частицы среды, совершающие колебательное движение, обладают не только кинетической, но и потенциальной энергией U. Ранее было показано, что средние за период значения кинетической и потенциальной энергии ГО одинаковы. Аналогично, в случае среды, в которой распространяется волна:

(67)

Тогда среднее значение за период энергии среды в объеме V при распространении в ней волны будет равно:

(68)

Энергия упругой волны, заключенная в единице объема называется объемной плотностью энергии волны.

Разделив (24) на V, получим среднюю за период объемную плотность энергии волны:

(69)