Вынужденные колебания осциллятора под действием синусоидальной силы.

Колебания, которые совершаются за счет работы внешних сил, называются вынужденными, а действующая сила – вынуждающей.

Рассмотрим простейший случай – воздействие на систему внешней силы, меняющейся по гармоническому закону:

(40)

где и- соответственно амплитудное значение и частота вынуждающей силы.

Запишем II закон Ньютона для вынужденных колебаний:

(41)

и вводя обозначения и, получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний ГО:

(42)

Сразу после приложения вынуждающей силы возникает переходный режим вынужденных колебаний, при котором система участвует в двух колебаниях – свободных затухающих колебаниях и незатухающих колебаниях с частотой  вынуждающей силы. Однако через некоторое время  свободные колебания системы практически прекращаются. Система переходит в состояние установившихся вынужденных колебаний, которые происходят по тому же закону и с той же частотой, с которой меняется вынуждающая сила.

Поэтому естественно предположить, что решение (42) должно иметь вид:

(43)

Неизвестные амплитуду и начальную фазу найдем с помощью векторной диаграммы этого колебания.

Построим векторную диаграмму для начального момента времени t0. Функция изобразится вектором, направленным по осиOx. Функция

изобразится вектором длиной, отложенным от осиOx под углом (-). Ускорение изобразится векторомдлиной, направленным противоположно вектору. Наконец, функция

изобразится вектором длиной , перпендикулярным, из треугольника видно, что

Следовательно, амплитуда установившихся вынужденных колебаний равна:

(44)

а начальная фаза определяется из соотношения:

(45)

Резонансные кривые

Из (44) следует, что амплитуда A вынужденных колебаний зависит от частоты собственных колебаний, от частоты, амплитудывынуждающей силы и коэффициента затухания.

На рис. представлен график зависимости амплитуды A вынужденных колебаний от частоты и вынуждающей силы. Пусть , тогда. Пусть возрастает и стремится к. Если, то с ростомрастет амплитудаA и при A обращается в бесконечность.

В реальных условиях , поэтому приамплитуда растет не до бесконечности, а до некоторого максимального значенияA_max.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте собственных колебаний называется резонансом.

Частота , при которойA=A_max, называется резонансной частотой.

3. При дальнейшем возрастании () амплитудаA уменьшается.

Найдем резонансную частоту из условия минимума подкоренного выражения (44). Для этого возьмем производную пои приравняем к нулю..

,

откуда видно, что при , при.

Найдем сдвиг фаз при резонансе:

Если мало, тои. Если, тои, т.е. смещение при вынужденных колебаниях отстает по фазе от вынуждающей силы на