Затухающие колебания.

Любое реальное колебание происходит в какой-либо среде, которая оказывает сопротивление движению. На преодоление сопротивления среды расходуется часть энергии колеблющегося тела. Происходит рассеяние энергии и уменьшение амплитуды колебаний.

Колебания, амплитуда которых медленно уменьшается с течением времени, называются затухающими.

При достаточно малых скоростях сила сопротивления оказывается пропорциональной скорости:

(23)

где r – коэффициент сопротивления, характеризующий взаимодействие тела со средой (r0). Знак «-» показывает, что сила сопротивления направлена противоположно скорости.

II закон Ньютона при наличии сил сопротивления примет вид:

(24)

Ведем обозначения:, где- частота собственных колебаний ГО;, где- коэффициент затухания. Тогда (24) перепишется в виде:

(25)

(25) – дифференциальное уравнение затухающих колебаний ГО.

Для решения этого уравнения введем новую переменную z, связанную с x соотношением:

(26)

Найдем и:

Подставим в (25) и вынесем за скобки

Разделим на :

или:

(27)

Предполагая, что сопротивление среды мало , обозначими запишем (27) в виде:

(28)

Его решение имеет вид:

(29)

С учетом (26) получим уравнение затухающих колебаний:

(30)

Из (30) видно, что затухающие колебания можно рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по закону: (31) Циклическая частота затухающих колебаний: (32)

период затухающих колебаний:

(33)

Выясним теперь физический смысл коэффициента затухания .

Пусть - промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшилась вe раз. -время релаксации.

Найдем отношение амплитуд, соответствующих моментам времени t и (t+):

(34)

по определению  имеем , откуда:

и (35)

Следовательно, коэффициент затухания есть величина, обратная тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в e раз.

Найдем теперь отношение двух амплитуд A_t и A_(t+T), отстоящих друг от друга на период:

(36)

Натуральный логарифм отношения двух амплитуд, отстоящих друг от друга на период, называется логарифмическим декрементом затухания:

(37)

С учетом (36)

(38)

Обозначим через Ne – число колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается в e раз.

Тогда и, т.е. логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается вe раз.

Для характеристики колебательной системы, кроме логарифмического декремента затухания, используется также величина:

(39)

называемая добротностью контура.

Заметим, что все приведенные здесь вывода верны при . Если затухание велико, то возникающее движение не является колебательным и носит апериодический характер.