6.3. Моделирование систем массового обслуживания с использованием метода Монте-Карло

Рассмотренные аналитические методы анализа СМО ис­ходят из предположения, что входящие и исходящие потоки требо­ваний являются простейшими. Зависимости, используемые в этих методах для определения показателей качества обслуживания, спра­ведливы лишь для установившегося режима функционирования СМО.

Однако в реальных условиях функционирования СМО име­ются переходные режимы, а входящие и исходящие потоки требо­ваний являются далеко не простейшими. В этих условиях для оцен­ки качества функционирования систем обслуживания широко ис­пользуют метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Основой решения задачи исследования функционирования СМО в реальных условиях является статистическое моделирование входя­щего потока требований и процесса их обслуживания (исходящего потока требований).

Для решения задачи статистического моделирования функциони­рования СМО должны быть заданы следующие исходные данные:

• описание СМО (тип, параметры, критерии эффективности рабо­ты системы);

• параметры закона распределения периодичности поступлений требований в систему;

• параметры закона распределения времени пребывания требова­ния в очереди (для СМО с ожиданием);

• параметры закона распределения времени обслуживания требо­ваний в системе.

Решение задачи статистического моделирования функционирова­ния СМО складывается из следующих этапов.

1. Вырабатывают равномерно распределенное случайное чис­ло ξ_i.

2. Равномерно распределенные случайные числа преобразуют в величины с заданным законом распределения:

• интервал времени между поступлениями требований в систему (Δt);

• время ухода заявки из очереди (для СМО с ограниченной дли­ной очереди);

• длительность времени обслуживания требования каналами (Δt₀).

3. Определяют моменты наступления событий:

• поступление требования на обслуживание;

• уход требования из очереди;

• окончание обслуживания требования в каналах системы.

4. Моделируют функционирование СМО в целом и накапливают статистические данные о процессе обслуживания.

5. Устанавливают новый момент поступления требования в си­стему, и вычислительная процедура повторяется в соответствии с изложенным.

6. Определяют показатели качества функционирования СМО путем обработки результатов моделирования методами математи­ческой статистики.

7. Моделирование потребления

В данном разделе приведены математические модели экономики, отражающие основные понятия и свойства экономических процессов и явлений. Они представляют эффективный инструмент исследования сложных экономических проблем.

Функции полезности

Пусть имеется n различных товаров. Обозначим некоторый набор товаров n-мерным вектором

,

где x_i - количество i-го товара в наборе.

Считается, что любой потребитель может сказать о двух произвольных наборах, какой из них ему более желателен или что он не видит разницу между наборами. Говорят, что такой выбор потребителя характеризуется отношением предпочтения. Он характеризуется тем, что если набор предпочтительнее, а набор предпочтительнее набора , то набор предпочтительнее набора . Полагаем, что каждый потребитель принимает решение о потреблении, покупках и т.д., исходя из своего предпочтения.

Примем, что на множестве потребительских наборов определена функция

значение которой на потребительском наборе равно оценке потребителя для этого набора. Такая функция называется функцией полезности потребителя, или функцией потребительского предпочтения. Она является потребительской оценкой, уровнем удовлетворения потребителя при приобретении им данного набора товаров .

Если функция полезности дифференцируема, то она имеет следующие свойства:

1. .

Первые частные производные функции полезности называются предельными полезностями продуктов. Из свойства следует, что если при неизменных количествах других продуктов, то . Это означает, что возрастание потребления одного продукта при неизменном потреблении других приводит к росту потребительской оценки. Следует отметить, что вектор является градиентом функции и показывает направление наибольшего роста функции. Для функции полезности ее градиент представляет вектор предельных полезностей продуктов.

2. ,

т.е. предельная полезность любого товара уменьшается с ростом его потребления. Это утверждение является законом Госсена (немецкий экономист, первым установивший эту закономерность).

3. .

Это свойство означает, что предельная полезность каждого продукта увеличивается с ростом количества другого продукта.

Некоторые виды функций полезности:

- неоклассическая:

;

- квадратическая:

u() = ;

• логарифмическая:

,

где для .

Припишем каждому потребительскому набору , принадлежащему пространству товаров, некоторую количественную оценку данного набора со стороны потребителя Таким образом, на пространстве товаров мы зададим функцию полезности потребителя.

Функцией полезности потребителя называют функцию , которая удовлетворяет следующим условиям:

1. Для любых двух наборов товаров и , таких, что выполняется .

2. Для любых двух наборов товаров и , таких, что выполняется .

Значение, которое принимает функция полезности на конкретном наборе товаров, называют полезностью данного набора.

Всегда ли на пространстве товаров можно задать функцию полезности? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема Дебре: для стандартных предпочтений потребителя всегда можно построить функцию полезности.

С понятием функции полезности связано понятие предельной полезности какого либо вида товара.

Предельной полезностью -го вида товара ( - marginal utility (англ.)) называют дополнительную полезность, которую получит потребитель от потребления каждой дополнительной единицы товара данного вида

Функция полезности потребителя обладает следующими свойствами:

1. C увеличением потребления какого либо товара значение функции полезности потребителя возрастает:

2. C увеличением потребления какого либо товара предельная полезность данного вида товара убывает (закон Госсена):

.

3. Если с увеличение потребления -го вида товара увеличивается потребление-го товара, то предельная полезность-го вида товара увеличивается: :

.

Замечание: данное свойство имеет место лишь в том случае, когда товары являются взаимозаменяемыми.

Функция полезности для совершенных товарозаменителей:

Данное семейство функций полезности описывает предпочтения потребителя соответствующие полностью взаимозаменяемым товарам, т. е. ситуации, когда уменьшение потребление, какого либо вида товара может быть компенсировано потреблением дополнительных единиц любого другого товара. Коэффициенты представляют собой пропорции, в которых один товар может быть заменен другим.

Пример: рассмотрим пространство товаров, включающее в себя два вида товара:

- количество карандашей синего цвета,

- количество карандашей красного цвета.

Очевидно, что эти товары являются полностью взаимозаменяемыми. Функция полезности потребителя показывает, что в наборе товаров каждые 2 единицы синих карандашей могут быть заменены 3 единицами красных (и наоборот) без изменения полезности набора для данного потребителя.