5.5. Введение в теорию игр п лиц

Во многих реальных ситуациях в процессе принятия решений участвует более двух игроков. Рассмотрим случай, когда участников игры трое или более. Пусть N= {1, 2,..., п} — мно­жество игроков, х_i — стратегия i-го игрока, X_i — множество стратегий i-го игрока; f_i (x₁,…, x_n) — функция выигрыша i-го игрока в зависимости от выбранных стратегий x₁,…, x_n (ситуация игры). Такую игру на­зывают игрой п лиц. Введем определения характеристической функции.

Определение. Функцию v(S) называют характеристической функцией для игры п лиц, если для любого подмножества S множества игроков N (SN) v(S) — максимальный суммарный гарантированный выигрыш иг­роков подмножества S при условии их оптимальных совместных дейст­вий. Или в математическом виде

(5.6.)

Оптимальная стратегия для коалиции гарантирует с одной сторо­ны, что сумма индивидуальных выиг­рышей не будет меньше того, что мо­жет себе обеспечить коалиция в целом, а с другой стороны, что выигрыш каж­дого игрока не должен быть меньше того количества, которое он может се­бе обеспечить самостоятельно.

5.6. Позиционные игры

Рассмотрим в заключение еще один пример анализа рыноч­ного поведения с помощью аппарата теории игр, когда задача по своей структуре несколько отличается от задач, обсуждавшихся ранее. Предположим следующую ситуацию. На рынке некоторого про­дукта доминирует производитель-монополист (Фирма 1), и моно­польное положение приносит ему 12 млрд. руб. прибыли. Высокая прибыль в данном секторе привлекает других производителей, и, в частности, Фирма 2 решает вопрос: построить ли ей свой завод и начать на нем производство такого же товара? Однако ей известно, что Фирма 1 может предпринять некоторые действия в ответ на вторжение.

С одной стороны, Фирма 1 может снизить объем своего производства, уступая часть рынка Фирме 2 и деля с ней получае­мую прибыль. В этом случае каждая из фирм получит по 6 млрд. руб. прибыли. С другой стороны, Фирма 1 может сохранить объем своего производства. В этом случае рост совокупного предло­жения товара Фирмами 1 и 2 снизит цену на этот товар, и, как следствие, прибыль Фирмы 1 упадет до 5 млрд. руб.

Одновременно снижение цен приведет к тому, что Фирма 2, сделавшая предвари­тельные затраты для выхода на новый для нее рынок, понесет чис­тые убытки: она потеряет на этом деле 2 млрд. руб. В случае, если Фирма 2 воздерживается от вступления на рынок, она ничего не выигрывает и не проигрывает (ее прибыль равна 0 млрд. руб.). Фирма 1 продолжает получать монопольную прибыль в 12 млрд. руб. Если же Фирма 1 вдруг решит в этой ситуации снизить объем своего производства, ее прибыль упадет до 8 млрд. руб.

В принципе сформулированная конечная неантагонистическая игра двух лип может быть описана следующей матрицей выигры­шей (первыми указаны выигрыши Фирмы 1 в млрд.руб.):

Стратегия Фирмы 1 Сохранить объем Снизить объем производства производства

Однако заметим, что описанная игра по своим условиям отлича­ется от уже рассмотренных игр. Если ранее мы предполагали, что игроки принимают свои решения одновременно, не зная о решении партнера (что было весьма существенно!), то в данной игре Фирма 1 принимает решение, уже зная о решении, избранном Фирмой 2, и это в корне меняет ситуацию.

Игры подобного типа, где задается последовательность принятия решений игроками, называются позиционными играми; число игро­ков и шагов в них может равняться 2, 3 и т.д. К позиционным многошаговым играм двух лиц, где игроки принимают решения, зная о всех предыдущих решениях партнера, можно отнести, например, шахматы и шашки.

В силу отмеченных особенностей структуры позиционной игры ее более наглядно представляет не матрица выигрышей, а дерево решении (или, в общем случае, граф решений), приводящее игроков из исходной позиции в конечные. Так, описанную игру Вступление на рынок можно представить следующим деревом (рис. 5.1.), ветви которого соответствуют решениям партнеров, а у каждой из вися­чих вершин указаны выигрыши игроков (как и ранее, первыми указаны выигрыши Фирмы 1, в млрд.руб.).

Решение Фирмы 2 Решение Фирмы 1 Выигрыши

Сохранить (5;-2)

Вступить

Снизить (6;6)

Сохранить (12;0)

Воздержаться

Снизить (8;0)

Рис. 5.1 - Дерево решений для игры Вступление па рынок

Вершины дерева игры называются позициями; позиции, непо­средственно следующие за некоторой позицией, называются аль­тернативами; позиции, не имеющие альтернатив, называются окон­чательными, а ведущие в них пути - партиями (так, описанная игра имеет четыре партии). Часть дерева решений, описывающая игру из некоторой позиции после нескольких начальных шагов партнеров, называется подигрои, и ее решение может представлять самостоя­тельную задачу.

Описанная игра Вступление на рынок имеет две пары стратегий (две партии), удовлетворяющих условию равновесия по Нэшу: парт­ия, когда Фирма 2 решает воздержаться от вступления на рынок, а Фирма 1 сохраняет объем своего производства, и партия, когда Фирма 2 решает вступить на рынок, а Фирма I, в свою очередь, снижает объем производства. Легко убедиться, что в каждой из этих двух партий отступление каждого из игроков от своей стратегии приво­дит к уменьшению его выигрыша.

Возникает вопрос: реализация какой из этих двух равновесных партий наиболее вероятна? В непозиционной игре, в которой игро­ки принимают решение одновременно и независимо друг от друга, реализация обеих партий была бы равновероятна, т.е. у исследова­теля нет никаких причин ожидать, что один из исходов будет встре­чаться чаще при многократной реализации этой игры.

Однако в позиционной игре необходимо учитывать, что Фирма 1 принимает решение, уже зная о решении, принятом Фирмой 2. При этом менеджеры Фирмы 2, которая должна сделать первый шаг, при выборе своей стратегии могут рассуждать следующим об­разом: «Если мы не вступим на рынок со своей продукцией, то в любом случае мы ничего не потеряем.

С другой стороны, если мы решим внедриться на рынок, не исключено, что Фирма 1 сохранит объем своею производства, и для нас это обернется потерями в 2 млрд.руб.» Затем, следуя принципу максимизации своего мини­мального выигрыша, Фирма 2 должна была бы избрать стратегию "Воздержаться от вступления на рынок" - ее прибыль в этом случае максимальна (0 млрд.руб. больше, чем -2 млрд.руб.).

Эти, казалось бы, логичные рассуждения не учитывают одной из главных предпосылок теории игр - предположения о рациональном поведении игроков, стремящихся к максимизации своих выигры­шей. В данном случае это заставляет менеджеров Фирмы 2 задать себе вопрос: "А насколько вероятна реализация Фирмой I стратегии "Сохранить объем производства", если мы вторгнемся на рынок? Ведь в этом случае Фирма 1 получит меньшую прибыль (5 млрд.руб.), чем в случае, если она снизит объем своего производства и поделит­ся частью рынка с нами, получив при этом 6 млрд.руб.» В итоге, учитывая, что Фирма 1 будет вести себя рационально, ее ответом на вступление Фирмы 2 на рынок должно стать снижение объема сво­его производства, а не реализация угрозы сохранить прежний объем производства и подавить Фирму 2.

В данном случае в теории игр речь идет о правдоподобности угроз. В обсуждаемой игре угроза Фирмы 1 сохранить объем произ­водства в ответ на вторжение Фирмы 2 на рынок является неправдо­подобной, поскольку ее реализация приводит к меньшему выигры­шу по сравнению с другими исходами.

Учитывая этот факт, можно утверждать, что наиболее вероятной будет реализация партии, когда Фирма 2 вступает на рынок, а Фирма 1 в ответ на это вторжение снижает объем своего производства: эта партия равновесна по Нэшу и, кроме того, учитывает степень правдоподобности угрозы Фирмы 1 сохранить объем своего производства и подавить таким образом Фирму 2.

Рассмотрим пример игры Вступление но рынок с несколько из­мененными исходными данными. Дерево решений этой игры и вы­игрыши фирм в млрд.руб. представлены на рис. 5.2.

Решение Фирмы 2 Решение Фирмы 1 Выигрыши

Сохранить (4;-2)

Вступить

Снизить (3;6)

Сохранить (12;0)

Воздержаться

Снизить (8;0)

Рис. 5.2 - Дерево решений для игры Вступление па рынок

Анализ игры, представленной на рис. 5.2., показывает, что уг­роза Фирмы 1 сохранить объем своего производства является впол­не правдоподобной: прибыль Фирмы 1 в этом случае (4 млрд. руб.) не меньше, чем в случае, если она снизит объем своего произ­водства и уступит часть рынка Фирме 2 (3 млрд.руб.). И вообще, стратегия Фирмы 1 "Сохранить объем производства" является доминирующей, т.е., следуя этой стратегии, Фирма 1 получает боль­шую прибыль, чем в случае реализации другой своей стратегии "Снизить объем производства", - независимо от решений Фирмы 2. Учитывая этот факт, Фирма 2, во избежание лишних потерь, долж­на избрать стратегию "Воздержаться от вступления на рынок". Как следствие, в данном случае наиболее вероятной является реализация равновесной партии, когда Фирма 2 воздерживается от вступления на рынок, а Фирма 1 сохраняет объем своего производства, продол­жая пользоваться монопольным положением.

Рассмотренный пример описывает случай так называемой ус­тойчивой монополии, когда фирма-монополист в состоянии эф­фективно реализовать угрозу подавления своих потенциальных парт­неров. Это может объясняться естественными условиями производ­ства, его технологическими особенностями, факторами, позволяю­щими фирме-монополисту гибко реагировать на действия против­ников (большой запас мощностей, реклама, вложения в перспек­тивные исследования и т.п.). Поэтому вполне естественным выгля­дит желание государственных органов контролировать, а по воз­можности и ограничивать деятельность подобных фирм - устойчи­вых монополистов.

Таким образом, проблемы рыночного взаимодействия могут быть эффективно описаны и исследованы в терминах теории игр.