5.5.Определение числа степеней свободы электромагнитного излучения в полости.

Пусть теперь волны распространяются в трёхмерной полости. Уравнения этих

волн

1 Acos t kx x ky y kz z ,

2 Acos t kx x ky y kz z ,

3 Acos t kx x ky y kz z ,

4 Acos t kx x ky y kz z ,

5 Acos t kx x ky y kz z ,

6 Acos t kx x ky y kz z . k1 k2 k3 k4 k5 k6 k.

Складывая волны попарно, как мы это делали для двумерного случая, получим следующее уравнение стоячей волны:

Отметим, что при подсчёте стоячих волн приходящихся на интервал значений волнового вектора от k до k + dk мы должны суммировать только точки вазового пространства в 1/8 всего фазового объёма, потому что одна стоячая волна соответствует одному значению модуля волнового вектора.

Фазовый объём (объём в пространстве волновых векторов), приходящийся на одно состояние (одну стоячую волну)

где V – объём всей полости.

Число точек, попадающих внутрь некоторого объёма фазового пространства Ω

N .1

Число точек, попадающих внутрь тонкого сферического слоя объёмом dΩ в фазовом

пространстве dN d .

1

Объём dΩ 1/8 части тонкого сферического слоя в фазовом пространстве

Число стоячих волн приходящихся на интервал значений волнового вектора от k

до k + dk

Определим число стоячих волн приходящихся на интервал частот от ω до ω + dω и от ν до ν + dν.

5.6. Формула Рэлея – Джинса.

Ультрафиолетовая катастрофа.

Мы определили число степеней свободы электромагнитного излучения в полости вокруг абсолютно чёрного тела, приходящееся на интервал частот от

Энергия излучения в частотном интервале от ω до ω + dω

Вспомним определение спектральной плотности энергии электромагнитного излучения: 1 dE

w V d .

Итак, спектральная плотность энергии электромагнитного излучения в полости вокруг абсолютно чёрного тела

w 2kT .

2 2c3

w 2kT .

2 2c3

Как мы показали ранее (см. п. 5.4) плотность энергии электромагнитного излучения в полости связана с излучательной способностью чёрного тела

формулой

r w4c .

Теперь мы можем найти излучательную способность чёрного тела.

Нагретое тело находится в термодинамическом равновесии с излучением, поэтому температуры тела и излучения равны.

Для того, чтобы удобнее было сравнивать полученный результат с законом Вина, излучательную способность чёрного тела выразим через длину волны.

При λ → ∞ излучательная способность убывает, что согласуется с законом Вина. Но при λ → 0 r (λ, T) → ∞, что закону Вина противоречит.