3.2.2. Условия максимума и минимума при интерференции.
E1 E10 cos( 1t k1x1 1), |
E2 E20 cos( 2t k2 x2 2 ). |
Мы рассматриваем волны, исходящие из одного источника, но прошедшие в точку наблюдения разными путями. Поэтому будем считать, что выполняются следующие условия:
1)частоты колебаний в обеих волнах равны;
2)начальные фазы колебаний равны между собой и будем считать их равными нулю
E1 E10 cos( t k1x1 ), |
E2 E20 cos( t k2 x2 ). |
||||
Интенсивность результирующей волны в точке наблюдения |
|
||||
r |
r |
2 |
n |
r r |
. |
I n E1 |
E2 |
|
E12 2 E1E2 E22 |
||
3.2.2. Условия максимума и минимума при интерференции.
E2 
E12 
2 
E1E2 
E22 
.
Средние величины вычисляем за время, значительно превосходящее период колебаний волны, t0 >> T .
|
1 t0 |
|
cos2 t k1x1 dt |
E12 |
t0 0 |
E102 |
cos2 12 1 cos 2
|
E2 |
t0 |
1 cos 2 t 2k1x1 dt |
E2 |
|
E2 |
t0 |
dt. |
2t0 |
0 |
2 |
2t0 |
0 cos 2 t 2k1x1 |
||||
|
10 |
|
|
10 |
|
10 |
|
|
Остановимся на вычислении второго слагаемого (интеграла).
3.2.2. Условия максимума и минимума при интерференции.
|
|
|
|
|
|
I2 |
E2 |
|
t0 |
|
2 t 2k1x1 dt |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2t0 |
|
0 cos |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos cos sin sin cos |
|
|||||||||||
|
|
E2 |
|
t0 |
2k1x1 dt |
E2 |
t0 |
|
|||||||||
|
2t0 |
|
0 cos 2 t sin |
2t0 |
0 sin 2 t cos 2k1x1 dt |
||||||||||||
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
||
|
|
|
|
E2 |
t0 |
|
|
|
|
|
E2 |
t0 |
|||||
|
|
|
10 |
sin 2k1x1 |
cos |
2 t |
dt |
|
10 |
cos 2k1x1 |
sin 2 t dt. |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2t0 |
0 |
|
|
|
|
|
2t0 |
0 |
|||||
|
|
Если t0 >> T, то |
|
t |
|
|
|
|
T f (t)dt. |
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
f (t)dt |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
t0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
3.2.2. Условия максимума и минимума при интерференции.
|
Если t0 >> T, то |
|
1 |
t0 |
|
|
1 |
|
T |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
f (t)dt |
|
f (t)dt. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
t0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
T cos 2 t dt T sin 2 t |
dt 0. |
|||||||||||
|
Поэтому |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
E2 |
t0 |
|||||
|
E2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
10 |
sin |
2k1x1 |
|
cos |
|
2 t dt |
10 cos 2k1x1 sin 2 t dt 0. |
||||||||
|
||||||||||||||||
|
2t0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2t0 |
0 |
||
|
|
|
I2 |
|
|
E2 |
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2t0 |
|
0 cos 2 t 2k1x1 dt 0. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E2 |
|
|
E2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2.2. Условия максимума и минимума при интерференции.
Среднее значение квадрата напряжённости второй волны вычисляется |
|||
аналогично. |
|
E2 |
|
E2 |
|
||
20 . |
|||
2 |
|
2 |
|
|
|
||
Осталось вычислить среднее значение произведения напряжённостей первой и второй волны.
|
|
|
|
1 t0 |
E01E02 cos t k1x1 cos t k2 x2 |
dt |
||||||
|
E1E2 |
|
|
0 |
||||||||
|
t0 |
|||||||||||
|
|
cos cos |
1 |
cos cos |
|
|||||||
|
E01E02 |
t |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
0 |
cos t k1x1 |
t k2 x2 |
dt |
|
|||||||
|
|
|||||||||||
|
2t0 0 |
|
|
|
|
|
|
E01E02 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
cos 2 t k1x1 k2 x2 dt |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t0 0 |
|
|
|
3.2.2. Условия максимума и минимума при интерференции.
|
E01E02 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
cos t k1x1 t k2 x2 |
|
dt |
||||||||
2t0 |
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
E01E02 |
|
t |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
cos 2 t k1x1 k2 x2 dt |
||||
|
|
|
|
|
2t0 |
|||||||
|
|
|
|
E01E02 |
t |
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
cos k2 x2 |
k1x1 dt. |
||||||
|
|
|
2t0 |
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
Второй интеграл равен нулю. Это было показано при вычислении среднего значения квадрата напряжённости первой волны.
E01E02 |
t |
|
|
|
E01E02t0 |
|
|
0 |
cos k2 x2 k1x1 dt |
cos k2 x2 k1x1 |
|||||
|
|
||||||
2t0 0 |
|
E01E02 |
|
2t0 |
|||
|
|
|
cos k2 x2 k1x1 . |
||||
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
3.2.2. Условия максимума и минимума при интерференции.
Таким образом, среднее значение квадрата напряжённости электрического
поля двух когерентных волн, за время t0 >> T |
|
|
|
|
|
|
||||||
E2 E2 |
2 E E |
|
E2 |
|
E2 |
E2 |
|
|
cos(k x k x ). |
|||
2 |
10 |
20 E E |
20 |
|||||||||
1 |
1 |
2 |
|
2 |
2 |
10 |
2 |
2 |
1 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Величина результирующей интенсивности излучения определяется аргументом косинуса в последней формуле.
Наиболее наглядным результат будет для случая одинаковых амплитуд E01 = E02 = E0.
E2 |
E02 |
|
E02 |
E02 |
cos(k2 x2 k1x1) 2E02 1 cos k2 x2 k1x1 . |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
E2 |
2E02 1 cos k2 x2 k1x1 . |
3.2.2. Условия максимума и минимума при интерференции.
I 2I0 1 cos k2 x2 k1x1 .
Величина косинуса может принимать значения от -1 до +1. В зависимости от этого интенсивность излучения будет принимать значения от 0 до 4I0.
Рассмотрим подробнее величину, являющуюся аргументом косинуса. |
||
Волновое число |
k |
. |
|
|
v |
Если одна из волн проходит весь путь или часть пути в среде, отличающейся от той, в которой распространяется другая волна, то нужно учитывать, что скорости света в разных средах различны, а частоты одинаковы:
k2 x2 k1x1 |
x2 |
|
x1 |
n2 x2 |
|
n1x1 |
n2 x2 n1x1 . |
|
v |
|
v |
c |
|
c |
c |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
3.2.2. Условия максимума и минимума при интерференции.
|
|
|
|
|
|||
|
k2 x2 k1x1 |
|
n2 x2 n1x1 . |
|
|||
|
|
|
|
c |
|
|
|
Обозначим: |
k |
, |
L1 n1x1, |
L2 |
n2 x2 . |
||
|
|
c |
|
|
|
|
|
k2 x2 k1x1 k L2 L1 .
Величину x будем называть геометрической длиной луча, а величину L = nx будем называть оптической длиной луча.
Величину δ = L2 – L1 = n2x2 – n1x1 будем называть оптической разностью
хода двух лучей. Отметим, что при определении оптической разности хода следует учитывать, что при отражении от оптически более плотной среды фаза колебаний в волне изменяется на π.
k2 x2 k1x1 k .
3.2.2. Условия максимума и минимума при интерференции.
E2 
2E02 1 cos k2 x2 k1x1 2E02 1 cos k .
Рассмотрим условия, при выполнении которых интенсивность может достигать максимума и минимума.
1. I Imax при cos k 1. cos k 1.
k 2 m, m 0,1, 2,3...
2 2 m,
m .
Интерференционный максимум интенсивности наблюдается тогда, когда оптическая разность хода равна целому числу длин волн.