А11. Какую энергетическую светимость R имеет абсолютно черное тело, если максимум спектральной плотности его энергетической светимости приходится на длину волны λ = 484 нм?
Дано:
λ0 = 484 нм k = 1
R - ?
T b ,
0
Решение.
Согласно закону Стефана – Больцмана энергетическая светимость абсолютно чёрного тела
R T 4.
Температуру нагретого тела можно определить из закона Вина:
0 Tb .
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||
|
|
|
2,9 10 |
3 |
|
|
|
|||||
R |
b |
|
|
5,67 10 8 |
|
|
|
|
|
7,35 |
107 (Вт/м2). |
|
|
|
4,84 10 |
7 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: R = 73,5 МВт/м2.
А12. На какую длину волны λ приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела, имеющего температуру, равную температуре человеческого тела, то есть T = 310 К?
Дано: |
|
|
|
Решение. |
|
|
||
T = 310 K |
Согласно закону Вина длина волны, на которую приходится |
|||||||
k = 1 |
||||||||
|
максимум энергетической светимости нагретого тела |
|||||||
λ0 - ? |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
||
|
|
b |
|
2,9 10 3 |
9,3 10 6 |
(м). |
||
|
T |
310 |
|
|||||
|
|
|
|
|||||
Ответ: λ = 9,3 мкм.
А13. Поверхность тела нагрета до температуры T = 1000 К. Затем одна половина этой поверхности нагревается на ΔT = 100 К, другая охлаждается на ΔT = 100 К. Во сколько раз изменится энергетическая светимость R поверхности этого тела?
Дано:
T = 1000 K ΔT = 100 К
T1 = T + ΔT T2 = T - ΔT
R2/R1 - ?
Решение.
Интегральная энергетическая светимость R – энергия, излучаемая в единицу времени с единицы площади поверхности
тела к поверхности всех частотах.
R WSt ,
где S – площадь поверхности излучающего тела.
Согласно закону Стефана – Больцмана энергетическая светимость абсолютно чёрного тела R k T 4.
Энергия, излучаемая телом до нагрева и охлаждения его частей
W RSt k T 4St.
Так как тело разделено на две половины, энергия, излучаемая телом
W W1 W2 k T14 S2 t k T24 S2 t.
А13. Поверхность тела нагрета до температуры T = 1000 К. Затем одна половина этой поверхности нагревается на ΔT = 100 К, другая охлаждается на ΔT = 100 К. Во сколько раз изменится энергетическая светимость R поверхности этого тела?
Решение (продолжение).
W W1 W2 k T14 S2 t k T24 S2 t.
Отношение энергетических светимостей
R |
|
W St |
|
|
k T 4 |
S |
t k T 4 S t |
|
|
T 4 |
S |
T 4 |
S |
|
|
|
4 |
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1 2 |
|
|
2 2 |
|
|
1 |
|
|
2 2 |
|
|
T1 |
T2 |
. |
|||||||||||
R |
St W |
|
|
|
|
k T 4St |
|
|
|
ST 4 |
|
|
|
2T 4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
R |
|
T14 T24 |
|
|
T T 4 T T 4 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2T 4 |
|
|
|
|
|
2T 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
1100 4 900 4 |
|
1,06. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
2 1000 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: увеличится в 1,06 раз.
А14. На сколько уменьшится масса Солнца за год вследствие излучения? За какое время τ масса Солнца уменьшится вдвое? Температура поверхности Солнца T = 5800 К. Излучение Солнца считать постоянным.
Дано: |
|
Решение. |
|
||
T = 5800 K |
Масса Солнца уменьшится в результате излучения им |
||||
t1 = 1 год |
|||||
энергии. Согласно формуле Эйнштейна |
|||||
m/m0 = 0,5 |
|
E mc |
2 |
, |
|
|
следовательно, |
|
|||
K - ? |
W |
, |
|||
|
|||||
|
|
m c2 |
|||
где E – энергия, излучённая Солнцем за время t.
Согласно закону Стефана – Больцмана энергетическая светимость нагретого тела R k T 4.
Энергия, излучаемая телом площади S
W RSt k T 4St.
Для Солнца коэффициент нечёрности k = 1.
W T 4St 4 r2 T 4t,
А14. На сколько уменьшится масса Солнца за год вследствие излучения? За какое время τ масса Солнца уменьшится вдвое? Температура поверхности Солнца T = 5800 К. Излучение Солнца считать постоянным.
Решение (продолжение).
W T 4St 4 r2 T 4t,
следовательно, |
|
|
|
Радиус Солнца r 6,96 108 м |
||
|
m W2 |
|
4 r2 T 4t |
|
|
|
|
c |
|
c2 |
|
|
|
|
4 3,14 6,96 2 |
1016 5,67 10 |
8 5,8 4 1012 365,25 24 3,6 103 |
17 |
||
|
|
9 |
1016 |
1,4 |
10 (кг). |
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: Δm = 1,4·1017кг;
Спектр солнечного излучения представляет собой излучение абсолютно черного тела при Т = 6259 К.
Неужели
Солнце
абсолютно
черное?!
Железный шар диаметром d = 10 см, нагретый до температуры T = 1227 ºС, остывает на открытом воздухе. Через какое время τ его температура понизится до 1000 К? Отношение энергетических светимостей железа и абсолютно чёрного тела k = 0,5. Теплопроводностью воздуха пренебречь. Плотность железа ρ = 7900 кг/м3.
Дано:
T1 = 1500 K T2 = 1000 К d = 10 см
= 7900 кг/м3 k = 0,5
- ?
Решение.
Количество теплоты, запасённое шаром, убывает вследствие излучения энергии, а также процессов теплопроводности и конвекции. При температурах, указанных в условии задачи среди процессов теплопередачи преобладает излучение. Поэтому можно считать, что убыль теплоты шара равна количеству излучённой энергии.
|
dQ dW. |
dQ cmdT, |
dW k T 4Sdt, |
где c - удельная теплоёмкость железа, m – масса шара, T – температура шара в текущий момент времени, S – площадь поверхности шара, k – коэффициент нечёрности, t - время.
cmdT k T 4Sdt.
Железный шар диаметром d = 10 см, нагретый до температуры T = 1227 ºС, остывает на открытом воздухе. Через какое время τ его температура понизится до 1000 К? Отношение энергетических светимостей железа и абсолютно чёрного тела k = 0,5. Теплопроводностью воздуха пренебречь. Плотность железа ρ = 7900 кг/м3.
Решение (продолжение).
cmdT k T 4Sdt.
Разделим переменные в последнем уравнении.
TdT4 kcmS dt.
За время от 0 до температура шара уменьшится от T1 до T2. Проинтегрируем левую часть уравнения в пределах от T1 до T2, а правую – от 0 до .
T2 |
dT |
|
k S |
|
|
T T 4 |
dT 0 cm |
dt. |
|||
1 |
|
|
|
|
|
T2 |
dT |
|
k S |
|
|
T T 4 |
dT |
|
0 dt. |
||
cm |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
Железный шар диаметром d = 10 см, нагретый до температуры T = 1227 ºС, остывает на открытом воздухе. Через какое время τ его температура понизится до 1000 К? Отношение энергетических светимостей железа и абсолютно чёрного тела k = 0,5. Теплопроводностью воздуха пренебречь. Плотность железа ρ = 7900 кг/м3.
|
|
|
|
|
|
Решение (продолжение). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
T2 dT |
|
|
|
k S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
T T 4 |
dT |
|
|
|
0 dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
cm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
k S |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T 3 |
T 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
3k 4 r2 |
|
|
|||||||
S 4 r2 , |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
m |
3 r3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
T23 |
|
T13 |
|
|
c4 r3 |
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
3k |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
2c d |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
T2 |
|
T1 |
|
2c d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T 3 |
3k |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
Ответ: τ = 1503 c = 25 мин. 3 с.
А9. Диаметр вольфрамовой спирали в электрической лампочке d = 0,3 мм, длина спирали l = 5 см. При включении лампочки в сеть напряжением U = 127 В через лампочку течет ток I = 0,31 А. Найти температуру спирали. Считать, что при установившемся равновесии все выделяющееся в нити тепло теряется в результате излучения. Отношение энергетической светимости вольфрама и абсолютно черного тела для данной температуры k = 0,31.
Дано:
d = 0,3 мм l = 5 см U = 127 В I = 0,31 А k = 0,31
T - ?
Решение.
Излучается то тепло, которое выделяется в результате прохождения электрического тока
QR Qi .
В результате прохождения тока выделяется тепло
QR I 2 Rt.
Сопротивление спирали лампы
R Sl ,
где ρ - удельное сопротивление вольфрама, l
сечения спирали. |
|
|
4 l |
|
|
S |
d 2 |
R |
, |
||
|
, |
|
|||
4 |
d 2 |
||||
– длина спирали, S – площадь
QR I 2 4dl2 t.
А9. Диаметр вольфрамовой спирали в электрической лампочке d = 0,3 мм, длина спирали l = 5 см. При включении лампочки в сеть напряжением U = 127 В через лампочку течет ток I = 0,31 А. Найти температуру спирали. Считать, что при установившемся равновесии все выделяющееся в нити тепло теряется в результате излучения. Отношение энергетической светимости вольфрама и абсолютно черного тела для данной температуры k = 0,31.
Решение (продолжение).
Интегральная энергетическая светимость R – энергия, излучаемая в единицу времени с единицы площади поверхности тела к поверхности всех частотах.
|
|
R |
|
Qi |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
S t |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
где S1 – площадь поверхности спирали. |
RS1t. |
|||||||
В результате излучения выделяется тепло Qi |
||||||||
Будем считать проволоку спирали цилиндром, |
S1 dl. |
|||||||
Согласно закону Стефана - Больцмана R k T 4. |
|
|
||||||
|
Q k T 4 dlt. |
|
|
|
||||
QR Qi . |
i |
|
|
|
|
4 l |
|
|
|
|
|
Q I 2 |
t. |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
R |
d 2 |
|
|
|
4 l |
|
|
|
|
||
|
2 |
4 |
|
|
|
|||
I |
|
|
t k T dlt. |
|
|
|||
|
d 2 |
|
|
|||||
А9. Диаметр вольфрамовой спирали в электрической лампочке d = 0,3 мм, длина спирали l = 5 см. При включении лампочки в сеть напряжением U = 127 В через лампочку течет ток I = 0,31 А. Найти температуру спирали. Считать, что при установившемся равновесии все выделяющееся в нити тепло теряется в результате излучения. Отношение энергетической светимости вольфрама и абсолютно черного тела для данной температуры k = 0,31.
Решение (продолжение).
|
2 |
4 l |
|
|
|
|
4 |
|
|
|||
I |
|
|
|
|
t k T |
|
|
dlt. |
|
|||
|
|
d 2 |
|
|
|
|||||||
T 4 |
|
|
4I |
2 l |
|
|
|
4I 2 |
. |
|||
|
k dl d 2 |
|
k 2d3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
T |
4 |
4I 2 |
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
k |
2d |
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||