5.14. Примеры
решения задач.
Квантовые свойства света.
А1. Средняя длина волны излучения лампы накаливания с металлической спиралью равна 1200 нм. Найти число фотонов, испускаемых за единицу времени лампой мощностью 200Вт.
Дано: |
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Число фотонов, испускаемых лампой, можно найти, разделив |
||||||||||||||||||
λ = 1200 нм |
||||||||||||||||||
излучённую энергию на энергию одного фотона: |
|
|||||||||||||||||
P = 200 Вт |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
N E . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
||||||
ΔN/t - ? |
|
|
|
|
|
|
|
c E1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Энергия одного фотона |
E1 h , |
|
|
, |
|
E1 h |
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Излучённая энергия |
E Pt. |
|
E |
Pt |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
N |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
hc |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
N |
|
|
P |
|
|
|
|
Число фотонов, излучённых в единицу времени |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
t |
hc . |
|
||||||||||||||||
|
N |
|
P |
|
200 1, 2 |
10 6 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1, 2 1022. |
|
|
|
|||||||||||
|
t |
hc |
6,63 10 |
34 |
3 |
|
8 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
10 |
Ответ: |
N |
22 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
1, 2 10 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
А2. Длина волны света, соответствующая красной границе фотоэффекта, для некоторого металла λк = 275 нм. Найти работу выхода электрона из металла,
максимальную скорость электронов, вырванных из металла светом длиной волны
λ = 180 нм.
Дано:
λ = 180 нм λк = 275 нм
A - ?
V - ?
Решение.
Фотоэффект можно описать с помощью уравнения Эйнштейна:
h c A mV2 2 .
Красная граница фотоэффекта – это наименьшая длина волны, |
|||||
при которой ещё возможен фотоэффект, поэтому, если |
k , |
||||
mV 2 |
|
c |
|
||
2 |
0. |
h |
|
A. |
|
k |
|
||||
Подставим это выражение для работы выхода в формулу Эйнштейна:
|
|
|
c |
|
|
h |
|
c |
|
|
mV |
2 |
|||
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отсюда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
mV |
2 |
|
|
|
c |
|
|
|
c |
|
|
||||
|
h |
|
|
h |
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
А2. Длина волны света, соответствующая красной границе фотоэффекта, для некоторого металла λк = 275 нм. Найти работу выхода электрона из металла,
максимальную скорость электронов, вырванных из металла светом длиной волны
λ = 180 нм.
Решение (продолжение).
mV 2 |
h |
c |
h |
c |
. |
|||||
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
||
V 2hc |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
m |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
k |
||||
Подстановка числовых данных при водит к следующим ответам:
A 7, 2 10 19 Дж 4,5 эВ.
v = 9,1·105 м/с.
А4. Фотоны с энергией E = 4,9 эВ вырывают электроны из металла с работой выхода А = 4.5 эВ. Найти максимальный импульс p, передаваемый поверхности металла при вылете каждого электрона.
Дано:
A = 4,5 эВ E = 4,9 эВ
p - ?
Решение.
Вылет электрона происходит после поглощения поверхностью
фотона. Запишем закон сохранения импульса для этого процесса: |
||
r |
r |
r |
pph |
pel p. |
|
Здесь pph – импульс фотона, pel – импульс электрона p – импульс,
полученный поверхностью.
Перепишем закон сохранения импульса для этого
процесса в проекциях на ось OX (см. рис.)
pph pel p. p pel pph .
Подставим в это уравнение выражения для импульсов фотона и электрона.
p mv Ec .
Скорость электрона определим из уравнения Эйнштейна.
А4. Фотоны с энергией E = 4,9 эВ вырывают электроны из металла с работой выхода А = 4.5 эВ. Найти максимальный импульс p, передаваемый поверхности металла при вылете каждого электрона.
Решение (продолжение).
E A |
mV 2 |
. |
|
2 |
|||
Отсюда: |
|
V |
2 |
E A . |
|
m |
|||
|
|
Подставим найденное выражение для скорости электрона в формулу для импульса, передаваемого пластине:
p mv |
E |
m |
2 |
E A |
E |
. |
||
c |
m |
|
||||||
|
|
|
|
|
c |
|||
p |
2m E A |
E |
. |
|
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
А5. Найти постоянную Планка h, если известно, что электроны, вырываемые из металла светом с частотой ν1 = 2,2·1015 Гц, полностью задерживаются разностью
потенциалов U |
1 |
= 6,6 В, а вырываемые светом с частотой ν = 4,6·1015 |
Гц – |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
разностью потенциалов U2 = 16,5 В. |
Решение. |
|
|
|
|||||
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Запишем |
уравнение |
Эйнштейна для каждого из двух |
||||||
ν1 = 2,2·1015 Гц |
|
||||||||
|
процессов: |
|
A mV12 ; |
|
|||||
U1 = 6,6 В |
|
h 1 |
|
||||||
ν2 = 4,6·1015 Гц |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
U2 = 16,5 В |
|
|
h 2 |
A |
mV 2 |
|
|||
|
|
|
|
2 |
. |
|
|||
h - ? |
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В каждом из двух случаев запирающее напряжение связано с кинетической |
|||||||||
энергией электрона соотношением |
|
mV 2 |
|
|
|
||||
|
|
|
eU |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перепишем уравнение Эйнштейна для каждого из двух процессов: |
|
||||||||
h 1 A eU1, h 2 A eU2.
А5. Найти постоянную Планка h, если известно, что электроны, вырываемые из металла светом с частотой ν1 = 2,2·1015 Гц, полностью задерживаются разностью
потенциалов U1 = 6,6 В, а вырываемые светом с частотой ν2 = 4,6·1015 Гц – разностью потенциалов U2 = 16,5 В.
Решение (продолжение).
h 1 A eU1, h 2 A eU2.
Вычтем из второго уравнения системы первое:
h 2 h 1 A eU2 A eU1, h 2 1 e U2 U1 .
Отсюда постоянная Планка: |
|
e U2 U1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
h |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
||||
h |
e U2 U1 |
|
1,6 10 19 |
(16,5 |
6,6) |
6,6 10 |
34 |
(Дж·с). |
|||
|
4,6 2, 2 |
10 15 |
|
||||||||
2 1 |
|
||||||||||
А6. В одном из опытов П.Н.Лебедева при падении света угол поворота крестовины, подвешенной на упругой нити, был равен α = 10´. Найти световое давление и мощность падающего света. Диаметр кружка d = 5 мм, расстояние от центра кружка до оси вращения r = 9,2 мм, постоянная момента кручения k =
2,2·10-11 Н·м/рад.
Дано: |
Решение. |
|
|
||
α = 10´. |
«Вертушка Лебедева» |
|
d = 5 мм |
||
находится в равновесии, |
||
r = 9,2 мм |
||
поэтому |
||
k = 2,2·10-11 Н·м/рад |
||
|
Mi 0. |
|
P - ? N - ? |
i |
|
|
(сумма моментов сил, приложенных к телу, равна нулю) |
В проекции на вертикальную ось (см. рисунок)
M M ynp 0,
где M – суммарный момент сил давления света, Mупр – момент сил упругости
нити.
Каждый «лепесток» вертушки с одной стороны зеркальный, а с другой - чёрный. На каждую сторону каждого лепестка действует сила давления света.
А6. В одном из опытов П.Н.Лебедева при падении света угол поворота крестовины, подвешенной на упругой нити, был равен α = 10´. Найти световое давление и мощность падающего света. Диаметр кружка d = 5 мм, расстояние от центра кружка до оси вращения r = 9,2 мм, постоянная момента кручения k =
2,2·10-11 Н·м/рад.
Решение (продолжение).
Суммарная сила давления света, действующая на каждый лепесток, равна по величине
F F1 F2 ,
где F1 - сила давления света, действующая на
зеркальную поверхность, F2 - сила давления
света, действующая на чёрную поверхность.
Величина момента сил давления, действующих на один лепесток вертушки
M1 F1 F2 L.
Вертушка имеет четыре лепестка, поэтому суммарный момент сил давления света
M 4M1 4 F1 F2 L.
Величина момента упругих сил
M ynp k .