4.10. Вычисление интенсивности излучения при дифракции Френеля.
d a12 sin d d , |
|
sin d |
|
rdr |
. |
||||||
a1 |
a1 a2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
rdr |
|
|
a1 |
|
|
|
|
|||
d a1 |
|
d |
|
|
|
rdrd . |
|
||||
a1 a1 a2 |
a1 |
a2 |
|
||||||||
Подставим полученное выражение в интеграл: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ika1 ikr |
|
|
|
|
||||
E(P) K E0 e |
e |
ei t d |
|
||||||||
|
|
a1 |
r |
|
|
|
|
||||
|
|
ika1 |
ikr |
|
i t |
a1 |
|
|
||
|
|
e |
e |
|
|
|
||||
|
K E0 |
|
e |
|
|
|
rdrd |
|||
|
|
a1 a2 |
||||||||
|
r, |
a1 |
r |
|
|
|
r |
|||
|
E0eika1 ei t |
|
|
|
|
|
E0eika1 ei t |
|||
|
K eikr drd |
2 |
m K eikr dr. |
|||||||
a1 a2 |
a1 a2 |
|||||||||
|
r, |
|
|
|
|
r |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
4.10. Вычисление интенсивности излучения при дифракции Френеля.
|
E0e |
ika |
i t rmax |
|
||
E(P) 2 |
1 e |
|
|
K eikr dr. |
||
a1 |
a2 |
|||||
|
r |
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
Теперь воспользуемся разбиением волнового фронта на зоны Френеля и сначала подсчитаем вклад в напряжённость поля от одной зоны Френеля, зоны номер m.
Будем считать, что коэффициент в пределах одной зоны Френеля постоянен. Для каждой зоны K(ψ) имеет своё определённое значение.
K(ψ) = Km(ψ) = Km.
4.10. Вычисление интенсивности излучения при дифракции Френеля.
Вклад в напряжённость поля от одной зоны Френеля номер m равен
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E0eika1 ei t rm |
|
ikr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Em |
2 Km |
|
|
|
|
|
|
r |
e |
|
|
dr. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ik a2 m 1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
e |
ikr |
dr |
|
|
1 |
|
|
|
|
ikrm |
e |
ikrm 1 |
|
|
|
1 |
ik a2 m |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
rm 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
ik |
|
m |
|
|
ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ik |
|
|
|
m |
|
|
|
|
||||||||||
|
ik a2 |
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ik a2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
e |
|
|
2 |
e |
|
|
|
2 |
e |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 e |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
2 |
|
|
|
m |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i ka2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 e i ei ka2 m |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 e |
|
|
|
|
2 |
e |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4.10. Вычисление интенсивности излучения при дифракции Френеля.
2 i 1 e i e 2 |
|
|
|
|
2 i |
|
1 |
1 e |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i ka m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
ka |
m |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eim i |
ika |
|
|
|
i |
|
m 1 |
|
|
|
ika2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i i e |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
e |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
i e |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
im |
|
ika |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим полученное значение интеграла в формулу для |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
напряжённости поля от одной зоны Френеля номер m: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
E0eika1 ei t |
|
rm |
ikr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E0eika1 ei t |
|
i |
|
1 |
m 1 |
|
ika2 |
|
||||||||||||
Em 2 Km |
|
|
|
r e |
|
dr |
2 Km |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
a1 a2 |
|
|
a1 a2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
1 |
m 1 |
|
|
|
|
E0eik a1 a2 |
|
i t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Km |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4.10. Вычисление интенсивности излучения при дифракции Френеля.
Итак, вклад в напряжённость поля в точке наблюдения от одной зоны Френеля номер m равен
Em P 2i 1 |
m 1 |
|
E0eik a1 a2 |
i t |
. |
|
|
Km |
|
e |
|
||
|
a1 a2 |
|
||||
Напряжённость поля в точке наблюдения, создаваемая всеми зонами Френеля равна сумме вкладов от каждой зоны.
E P Em (P) E1(P) E2 |
(P) E3 (P) ... |
||||
2i e |
mi t E0eik a1 a2 |
|
K1 K2 |
K3 K4 ... . |
|
|
a1 a2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим сумму в скобках. Коэффициенты Ki для соседних зон не сильно отличаются друг от друга, поэтому
Km Km 1 Km 1 .
2
4.10. Вычисление интенсивности излучения при дифракции Френеля.
Сумму в скобках можно теперь представить так:
|
|
|
|
|
K |
|
K |
|
|
|
K |
|
|
K |
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|||
K K |
|
K |
|
.... |
1 |
|
|
K |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
K |
|
|
|
... |
||
2 |
3 |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||
1 |
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
Слагаемые в квадратных скобках можно считать равными нулю. Таким образом, при полностью открытом фронте остаётся только первое слагаемое и последнее слагаемое, соответствующее очень большому
номеру зоны.
E(P) 12 E1(P) Em (P) .
При полностью открытом волновом фронте (m → ∞)
E(P) 12 E1(P).
4.10. Вычисление интенсивности излучения при дифракции Френеля.
Интенсивность пропорциональна квадрату напряжённости.
I : E2 (P) 1 |
E1 (P) Em (P) 2 . |
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
||
I I0 |
|
i ei t |
|
eik a1 a2 |
|
K1 Km |
|
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
. |
||||||||
|
a1 a2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
K1 Km |
|
2 |
|
|
|||
I I0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
a1 a2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
4.10. Вычисление интенсивности излучения при дифракции Френеля.
A3. Найти радиусы первых пяти зон Френеля для плоской волны, если расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения =1м. Длина волны света =500 нм.
Ответ: =0,71 мм, =1,0 мм, =1,22 мм, =1,41мм, =1,58 мм.
A1. Свет от монохроматического источника (λ = 600 нм) падает нормально на диафрагму с диаметром отверстия d = 6 мм. За диафрагмой на расстоянии L = 3 м от нее находится экран. Какое число m зон Френеля укладывается в отверстии диафрагмы, если точка наблюдения находится на экране напротив центра отверстия? Каким будет центр дифракционной картины на экране – темным или светлым?
Дано: |
|
Решение |
|
||
|
|
|
λ = 600 нм |
|
|
L = 3 м |
|
|
d = 6 мм |
|
|
|
|
|
m - ? |
|
|
Ответ: m = 5; центр дифракционной картины будет светлым.