4.11.Примеры решения задач. (Дифракция Френеля).
A1. Свет от монохроматического источника (λ = 600 нм) падает нормально на диафрагму с диаметром отверстия d = 6 мм. За диафрагмой на расстоянии L = 3 м от нее находится экран. Какое число m зон Френеля укладывается в отверстии диафрагмы, если точка наблюдения находится на экране напротив центра отверстия? Каким будет центр дифракционной картины на экране – темным или светлым?
|
|
|
|
Решение |
|
||
Дано: |
|
На |
рисунке |
показан |
|||
|
|||||||
λ = 600 нм |
|
примерный |
вид |
разбиения |
|||
L = 3 м |
|
волнового |
фронта |
на |
зоны |
||
d = 6 мм |
|
Френеля. |
|
|
|
||
|
|
Согласно правилу |
построе- |
||||
m - ? |
|||||||
|
ния зон |
Френеля |
длина |
||||
|
|
||||||
|
|
отрезка |
lm |
L m |
, |
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
где m – номер последней открытой зоны.
С другой стороны, по теореме Пифагора,
l2 |
L2 R2 . |
l2 |
m |
m |
m |
L2 Lm m2 2 .
4
A1. Свет от монохроматического источника (λ = 600 нм) падает нормально на диафрагму с диаметром отверстия d = 6 мм. За диафрагмой на расстоянии L = 3 м от нее находится экран. Какое число m зон Френеля укладывается в отверстии диафрагмы, если точка наблюдения находится на экране напротив центра отверстия? Каким будет центр дифракционной картины на экране – темным или светлым?
|
|
|
|
|
|
Решение (продолжение) |
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
lm |
L Rm . |
|
lm2 L2 Lm m2 |
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
||||||||||||||||
Отсюда |
2 |
R |
2 |
2 |
Lm m |
2 |
2 |
, |
R |
2 |
Lm m |
2 |
|
2 |
, |
||||||
L |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
m |
|
|
|
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
d 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Rm2 Lm , |
|
Rm2 Lm , |
|
m |
d 2 |
. |
|
|||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4L |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
d 2 |
36 10 6 |
|
|
|
1 |
101 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
2 |
5. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
4L |
4 3 6 10 7 |
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ: m = 5; центр дифракционной картины будет светлым.
A3. Найти радиусы первых пяти зон Френеля для плоской волны, если расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения L = 1 м. Длина волны света λ = 500 нм.
Дано: |
|
Решение |
|
λ = 500 нм |
Согласно |
правилу построе- |
|
L = 1 м |
|||
m = 5 |
ния зон |
Френеля |
длина |
Rm - ? |
отрезка lm L m |
, |
|
|
|
2 |
|
где m – номер последней открытой зоны.
С другой стороны, по теореме Пифагора,
l2 |
L2 R2 . |
l2 |
m |
m |
m |
L2 Lm m2 2 .
4
Отсюда |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
R |
2 |
2 |
Lm m |
2 |
, |
R |
2 |
Lm m |
2 |
, |
||
L |
|
L |
|
|
|
|
|
||||||
|
m |
|
|
|
4 |
|
m |
|
|
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A3. Найти радиусы первых пяти зон Френеля для плоской волны, если расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения L = 1 м. Длина волны света λ = 500 нм.
Решение (продолжение)
Rm2 Lm ,
Rm Lm .
Подставляя в эту формулу номера зон, m = 1, 2, 3, 4, 5, получим ответ.
Ответ: R1 = 0,71 мм, R2 = 1,0 мм, R3 = 1,22 мм, R4 = 1,41мм, R5 = 1,58 мм.
A2. Посередине между экраном и источником света (λ = 500 нм) находиться круглый непрозрачный диск радиусом R = 0,5 мм. Каково должно быть расстояние между источником света и экраном для того, чтобы диск закрыл первые две зоны Френеля?
Дано:
λ = 500 нм R = 0,5 мм a1 = a2
L - ? |
Решение |
|
Диск закрывает две зоны Френеля, а радиусы зон Френеля определяются формулой, где m = 2,
Rm |
a1a2 |
m . |
||
a1 |
a2 |
|||
|
|
|||
Диск расположен посередине между источником и экраном, поэтому
a1 a2 , |
L 2a1. |
A2. Посередине между экраном и источником света (λ = 500 нм) находиться круглый непрозрачный диск радиусом R = 0,5 мм. Каково должно быть расстояние между источником света и экраном для того, чтобы диск закрыл первые две зоны Френеля?
Решение (продолжение)
R |
a1a2 |
|
|
|
|
m . |
|
|
a1 a2 , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
m |
a1 a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
R2 |
|
|
|
m |
a m . |
|
|||||||
|
|
1 |
2 |
|
||||||||||
|
2a |
|
||||||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a |
2R2 |
, |
L 2a |
4R2 |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
m |
|
|
|
1 |
|
m |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
4R2 |
|
4 0.25 10 |
6 |
|
|||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
||
|
m |
2 5 10 7 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: L = 1 м.
A4. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии от точечного источника монохроматического света (λ = 600 нм). На расстоянии a1 = 0,5L от
источника помещена круглая непрозрачная преграда диаметром d = 1 см. Найти расстояние L, если преграда закрывает только центральную зону
Френеля.
Дано:
λ = 600 нм d = 1 см m = 1
L - ? |
Решение |
|
Диск закрывает только центральную зону Френеля, поэтому в формуле для радиусов зон Френеля m = 1.
Rm |
a1a2 |
m . |
||
a1 |
a2 |
|||
|
|
|||
L a1 a2 , |
a1 0,5L, |
a1 a2 , |
|
R |
0, 25L2 |
. |
|
m |
L |
|
|
|
|
|
|
A4. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии от точечного источника монохроматического света (λ = 600 нм). На расстоянии a1 = 0,5L от
источника помещена круглая непрозрачная преграда диаметром d = 1 см. Найти расстояние L, если преграда закрывает только центральную зону Френеля.
Решение (продолжение)
R 0, 25L . |
|
|
R2 0, 25L . |
|||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
R2 |
|
, |
L |
d 2 |
||
|
. |
|||||||
0, 25 |
||||||||
L |
d 2 |
|
1 10 4 |
167 |
||||
|
6 10 6 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: L = 167 м.
A5. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии L = 4 м от точечного источника монохроматического света (λ = 500 нм). Посередине между экраном и источником света помещена диафрагма с круглым отверстием. При каком радиусе R отверстия центр дифракционных колец, наблюдаемых на экране,
будет наиболее темным?
Дано:
λ = 500 нм L = 4 м
m = 2
R - ? |
Решение |
|
Центр дифракционной картины будет наиболее тёмным, если открыты только две зоны Френеля.
Открыты две зоны Френеля, значит в формуле для радиусов зон Френеля m = 2.
Rm |
a1a2 |
m . |
||
a1 |
a2 |
|||
|
|
|||
Диск расположен посередине между источником и экраном, поэтому |
||||||||
a a |
|
, |
a a |
|
L, |
a1 |
L |
. |
2 |
2 |
|
||||||
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A5. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии L = 4 м от точечного источника монохроматического света (λ = 500 нм). Посередине между экраном и источником света помещена диафрагма с круглым отверстием. При каком радиусе R отверстия центр дифракционных колец, наблюдаемых на экране, будет наиболее темным?
|
|
Решение (продолжение) |
|
|||||||
|
|
Rm |
|
|
|
a1a2 |
|
m . |
|
|
|
|
|
|
|
a1 a2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rm |
|
L2 |
m |
1 |
Lm . |
|||
|
|
|
4L |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
R |
1 |
Lm |
1 |
|
4 2 50 10 8 |
10 3 |
||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: R = 1мм.