Волновая оптика.
1.
Электромагнитные волны.
1.1.Уравнения Максвелла и волновое уравнение.
Список литературы
1.И.В.Савельев. Курс общей физики, т.2, и т.3.
2.Н.Н.Заичкин. Лекции по общему курсу физики. ч. VI. Оптика.
3.Сборник вопросов, упражнений и задач по дисциплине «Физика», Часть 3. (№2616 - 3).
4.Методическое пособие к решению задач по курсу физики в системе РИТМ. Часть 3. (№3126 - 3).
5.Н.И.Калитеевский. Волновая оптика.
6.А.Н.Матвеев. Оптика.
Волновая оптика.
1.
Электромагнитные волны.
1.1.Уравнения Максвелла и волновое уравнение.
1.1. Уравнения Максвелла и волновое уравнение.
Электромагнитное поле описывается уравнениями Максвелла:
r |
|
B |
, |
|
|||
rotE |
|
||||||
r |
0, |
t |
|
|
|
||
divB |
|
|
D |
|
|||
r |
r |
|
, |
||||
rotH j |
|
t |
|||||
divD |
, |
r |
|
|
|||
|
|
|
|||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
E, |
|
||||
r |
|
0 |
r |
|
|
||
B 0 H , |
|
||||||
j E.
Рассмотрим однородную и изотропную, электрически нейтральную, непроводящую среду.
const.; |
const.; |
0; |
0. |
1.1.Уравнения Максвелла и волновое уравнение.
Врассматриваемой среде (ε = const., μ = const., = 0, = 0) эти уравнения можно переписать так:
|
|
|
|
r |
0 H |
, |
|
|
|
|
|||
|
|
rotE |
|
|
(1) |
|
|||||||
|
|
|
|
r |
0, |
|
t |
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
divH |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
r |
|
|
E |
, |
|
|
|
(3) |
|
|
|
rotH |
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
r |
|
t |
|
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
divE 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислим ротор от правой и левой части уравнения (1). |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rot rotE rot 0 H |
, |
|
|
||||||||
r |
r r r |
|
|
r r r |
|
r r |
t |
|
r r r |
r |
|||
|
|
r |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
rot rotE |
, |
|
, E E , |
, E E |
|||||||||
, E |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.1. Уравнения Максвелла и волновое уравнение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
r |
|
|
r r r |
r r r |
r r r |
r r r |
r |
||||||||||||
rot |
rotE |
|
, |
|
|
|
|
|
, E |
E , |
, E E |
||||||||||
, E |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
r |
r |
|
|
|
r |
r |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
divE, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, E |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
, E r |
grad divE , |
|
|
||||||||||||
Согласно уравнению (4) |
|
r |
divE |
0. |
|
r |
|
|
|
|
|||||||||||
r r |
r |
|
|
r |
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
r |
, E |
grad |
divE |
0. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
, E E E.
После вычисления ротора от левой части уравнения (1) получаем:
r |
H . |
E 0rot |
|
|
t |
1.1. Уравнения Максвелла и волновое уравнение.
Вычислим ротор от правой части уравнения (1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
H |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
rot |
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
rotH |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Согласно уравнению (3) |
|
|
|
r |
|
|
E . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
rotH |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
E . |
|||||||
rot |
|
|
|
|
|
rotH |
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
После вычисления ротора от правой и левой части уравнения (1) получаем:
r |
|
2 |
E . |
E |
|
|
|
0 |
|
0 t2 |
|
1.1. Уравнения Максвелла и волновое уравнение.
r |
|
2 |
E . |
E |
|
|
|
0 |
|
0 t2 |
|
Сравним полученное уравнение с общим видом дифференциального
волнового уравнения:
r 1 2 , v2 t2
где v – фазовая скорость распространения волны.
Полученное нами уравнение для напряжённости электрического поля совпадает волновым уравнением, если
|
1 |
0 0. |
|
|
||
|
|
v2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Решениями волнового уравнения являются плоские волны вида |
||||||
r |
|
|
|
rr |
t |
|
,t) 0e |
i kr |
. |
||||
(r |
|
|
||||
1.1. Уравнения Максвелла и волновое уравнение.
Решениями волнового уравнения для вектора напряжённости |
||||
электрического поля также являются плоские волны. |
||||
r |
r |
r |
rr |
|
i kr t |
. |
|||
E |
(r |
,t) E0e |
|
|
В данном случае в пространстве распространяются колебания напряжённости электрического поля.
Фазовая скорость распространения в пространстве таких колебаний: v12 0 0 ,
v |
1 |
. |
0 0 |
1.1. Уравнения Максвелла и волновое уравнение.
Аналогично можно вывести волновое уравнение, рассматривая напряжённость магнитного поля. В рассматриваемой среде (ε = const.,
μ = const., = 0, = 0): |
r |
0 H |
, |
|
|
|
rotE |
(1) |
|||
|
r |
0, |
t |
|
(2) |
|
divH |
|
|
||
|
r |
|
E , |
|
(3) |
|
rotH |
|
|||
|
r |
|
0 t |
|
(4) |
|
divE 0. |
|
|
||
Вычислим ротор от правой и левой части уравнения (3). |
|||||||||||
|
|
r |
|
rot |
|
0 |
E |
|
|||
rot |
rotH |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
Выполним преобразования, как и в предыдущем случае, |
|||||||||||
воспользуемся уравнением (2) и получим: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
r |
|
|
|
|
2 |
H . |
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 t2 |
|
|
|
||