А6. Найти длину волны де Бройля λ для атома водорода, движущегося при температуре T = 293 K с наиболее вероятной скоростью.
Дано: |
Решение. |
|||
Длину волны де Бройля для частицы можно определить по |
||||
T = 293 K |
||||
атом H |
формуле |
|||
|
|
h |
, |
|
|
|
|||
λ - ? |
|
p |
||
|
где h – постоянная Планка, p – величина импульса частицы. |
|||
Импульс частицы p mv. Наиболее вероятная скорость при тепловом движении
v 2kT , m
где k – постоянная Больцмана, k = 1,38·10-23 Дж/К.
Для атома водорода (протон + электрон), m = (1836 + 1)·me =1837· 9,1·10-31 кг =
1,67 ·10-27 кг.
Импульс атома: |
2kT |
|
|
p mv m |
|
2mkT . |
|
|
m |
|
|
А6. Найти длину волны де Бройля λ для атома водорода, движущегося при температуре T = 293 K с наиболее вероятной скоростью.
|
|
|
|
Решение (продолжение). |
|
|||||||||||
|
|
|
|
h |
, |
|
|
|
|
p |
2mkT . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
h |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
2mkT |
|
|
|
||||
|
h |
|
|
|
|
|
6,63 10 34 |
|
|
|
1,80 10 10 |
(м). |
||||
2mkT |
|
1,67 |
10 |
27 |
1,38 |
10 |
|
|||||||||
|
2 |
293 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|||
А7. Определить неточность Δx в определении координаты электрона, движущегося в атоме со скоростью V = 1,5·106 м/с, если допускаемая неточность ΔV в определении скорости составляет 10% от её величины. Сравнить полученную неточность с диаметром d атома водорода, вычисленным по теории Бора для основного состояния, и указать, применимо ли понятие траектории в данном случае.
Дано:
V = 1,5·106 м/с ΔV = 0,1V
Δx - ?
x h m Vx
Решение.
Сразу отметим, что v << c, следовательно, импульс электрона
p mv.
Согласно соотношению неопределённостей Гейзенберга
px x h. m Vx x h.
. |
x |
1,05 10 34 |
|
|
0,5 10 10(м). |
||
9,1 10 31 |
0,1 1,5 |
106 |
|||||
|
|
|
|
||||
x R1 0,529 10 10(м).
Очевидно, что понятие траектории в этом случае неприменимо.
А8. Электрон с кинетической энергией T = 15 эВ находиться в металлическом цилиндре диаметром d = 1 мкм. Оценить относительную неточность ΔV/V, с которой может быть определена скорость электрона.
Дано: |
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|||||
T = 15 эВ |
Кинетическая энергия электрона Ek << m0c2 = 0,511 МэВ, |
|||||||||||
d = 1 мкм |
следовательно, импульс электрона |
|
||||||||||
ΔV/V - ? |
|
p |
mV. |
|
|
|
|
|
||||
Согласно соотношению неопределённостей Гейзенберга |
||||||||||||
|
px x h. |
|
|
|
|
|
||||||
|
m Vx x h. |
|
|
|
|
|||||||
|
Vx |
|
|
h |
|
|
|
h |
. |
|
||
|
xm |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
dm |
|
||||||
Кинетическая энергия электрона |
|
|
|
T |
mV 2 |
. |
||||||
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
V |
|
|
2T |
|
|||||
Следовательно, |
|
|
|
m . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
А8. Электрон с кинетической энергией T = 15 эВ находиться в металлическом цилиндре диаметром d = 1 мкм. Оценить относительную неточность ΔV/V, с которой может быть определена скорость электрона.
|
|
|
|
|
|
|
Решение продолжение). |
|
|
|
||||||||||||
|
Vx |
|
h |
|
|
|
h |
. |
|
|
|
|
|
|
V |
2T . |
|
|
||||
|
xm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
dm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Vx |
|
|
h |
|
m |
, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dm |
2T |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Vx |
|
|
|
h |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
d |
2mT |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Vx |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,05 10 34 |
|
|
0,48 10 4. |
||||
d 2mT |
|
1 10 |
|
|
2 |
|
9,1 |
10 |
|
15 1,6 10 |
|
|||||||||||
V |
|
|
6 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
19 |
||||
А9. Во сколько раз дебройлевская длина волны λ частицы меньше неопределённостей Δx её координаты, которая соответствует относительной неопределённости импульса 1%?
Дано: |
Решение. |
|
|
|
||
Δp = 0,01p |
Согласно соотношению неопределённостей Гейзенберга |
|||||
Δx/λ - ? |
px x h. |
|
|
|||
Согласно условию задачи |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0,01px px |
|
. |
|||
|
2 x |
|||||
|
|
|
|
|
||
Длина волны де Бройля для частицы |
|
h |
, |
|
||
p |
|
|||||
|
|
|
|
|
||
где h – постоянная Планка, p – величина импульса частицы, частица движется вдоль оси OX. h
px .
0,01 |
h |
|
h |
. |
x |
|
100 |
15,91. |
|
|
2 x |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
А10. Используя соотношение неопределённостей для координаты и проекции импульса, оценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома l = 0,1 нм.
Дано:
l = 0,1 нм
E1 - ?
Решение.
Из соотношения неопределённостей Гейзенберга оценим импульс электрона, затем, по импульсу определим кинетическую энергию, а потом и полную энергию электрона в атоме.
Согласно соотношению неопределённостей Гейзенберга
x |
|
h |
y |
y h, |
z |
h |
p |
x |
, |
p |
p |
z . |
Известно, что электрон находится в атоме. Будем считать атом сферой. Поэтому неопределённость каждой из координат примем равной диаметру
атома: |
x l , |
y l , |
z l . |
|
Известно, что у электрона имеется некоторый импульс. Предположим, что величина каждой проекции этого импульса не более неопределённости импульса Δp.
px px , |
py py , |
pz pz . |
А10. Используя соотношение неопределённостей для координаты и проекции импульса, оценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома l = 0,1 нм.
Решение (продолжение).
Из соотношения неопределённостей Гейзенберга
неопределённостей координат и проекций импульса следует |
||||||||||||||||||
|
p |
x , |
|
|
|
|
x l |
, |
|
|
px |
|||||||
|
|
|
x |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
px h. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
pxl h, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
Аналогично для других проекций импульса получим |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
py h, |
|
|
pz h. |
|
|
|
||||
Для импульса получаем: |
|
l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
p |
2 |
p |
2 |
p |
2 |
|
h |
|
h |
|
h |
|
|
||
|
|
|
||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
l |
|
l |
|
|
иоценок
px ,
hl 3.
Кинетическая энергия электрона |
|
3h2 |
|
||
T |
p2 |
|
. |
||
2m |
2ml 2 |
||||
|
|
|
|||
А10. Используя соотношение неопределённостей для координаты и проекции импульса, оценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома l = 0,1 нм.
Решение (продолжение).
Полная энергия электрона в атоме
E T W ,
причём потенциальная энергия электрона в атоме отрицательна, W < 0.
W 1 e2 , 4 0 r
r – расстояние от электрона до ядра (радиус атома); r = l/2.
Предположим, что электрон в атоме движется по окружности под действием кулоновой силы. Запишем второй закон Ньютона:
mv2 |
|
|
|
1 |
|
e2 |
. |
||
r |
|
4 0 |
r2 |
||||||
|
|
|
|||||||
mv2 |
|
1 |
|
e2 |
2T. |
||||
4 |
0 r |
||||||||
|
|
|
|||||||
А10. Используя соотношение неопределённостей для координаты и проекции импульса, оценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома l = 0,1 нм.
|
|
Решение (продолжение). |
|
|
|
||||
mv2 |
|
1 |
e2 |
2T. |
W |
1 |
e2 |
. |
|
4 0 |
r |
4 0 |
r |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
Кинетическая энергия электрона связана с потенциальной соотношением:
|
|
T |
1 |
1 |
|
e2 |
|
1 |
|
W |
|
, |
|
|
|
|
W |
|
2T. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
4 0 r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Полная энергия электрона в атоме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
E T W T 2T T. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E T |
3 |
|
h2 |
. |
|
|
|
|
||||||
|
3 h2 |
|
|
|
|
2 ml 2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
|
1,052 10 68 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
||||||||||||
E |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
18,2 10 |
(Дж) = -11,2 эВ. |
|||||||||||||
ml 2 |
9,1 10 34 |
1 10 |
20 |
|||||||||||||||||||