7.3.Волны де Бройля. Примеры решения задач.
А1. Найти длину волны де Бройля для электронов, прошедших разность потенциалов U1 = 1 В, U2 = 100 В.
Дано:
U1 = 1 В U2 = 100 В
λ1 - ? λ2 - ?
Величину
выразим
импульс:
Решение.
Длину волны де Бройля для частицы можно определить по формуле
hp ,
где h – постоянная Планка, p – величина импульса частицы.
импульса определим из закона сохранения энергии, для чего сначала кинетическую энергию частицы в нерелятивистском случае через
|
mv2 |
|
mv2 m |
|
m2v2 |
|
p2 |
|
||
Ek |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
2 |
2 |
2m |
2m |
|||||||
|
|
m |
|
|
|
|||||
Согласно закону сохранения энергии в нерелятивистском случае |
|||||
W Ek 0, |
qU |
p2 |
0, |
||
2m |
|||||
|
p2 |
|
|
||
qU |
. |
|
|
||
2m |
|
|
|||
|
|
|
|
||
А1. Найти длину волны де Бройля для электронов, прошедших разность потенциалов U1 = 1 В, U2 = 100 В.
Решение (продолжение).
|
|
|
qU |
|
p2 |
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
2m |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда |
|
|
p |
2mqU . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Длина волны де Бройля для частицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
h |
. |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2mqU |
|
|
|
|
||||
Для электрона |q| = e = 1,6·10-19 Кл, m = 9,1·10-31 кг. |
|
|
|
||||||||||||
|
h |
|
|
|
|
6,63 10 34 |
|
|
1,23 10 9 |
(м). |
|||||
2mqU |
2 9,1 |
10 |
31 |
|
1,6 |
10 |
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
А2. Найти длину волны де Бройля для пучка протонов, прошедших разность потенциалов U1 = 1 В, и U2 = 200 В .
Дано: |
|
|
|
Решение. |
|
|
||||||||
U1 = 1 В |
Длину волны де Бройля для частицы можно определить по формуле |
|||||||||||||
U2 = 200 В |
|
h |
|
где h – постоянная Планка, |
||||||||||
|
p , |
|||||||||||||
λ1 - ? |
p – величина импульса частицы. |
|||||||||||||
Согласно |
закону |
сохранения энергии |
в нерелятивистском |
|||||||||||
λ2 - ? |
||||||||||||||
|
случае |
|
|
qU |
p |
2 |
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
2m |
|
|
||||||
|
|
|
p |
2mqU . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Длина волны де Бройля для частицы |
|
|
h |
|
|
h |
. |
|||||||
|
|
|
2mqU |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
||||
Для протона |q| = e = 1,6·10-19 Кл, m =1836·me =1836· 9,1·10-31 кг = 1,67 ·10-31 кг.
Подстановка числовых данных позволяет получить следующие результаты:
λ1 = 29 пм, λ2 =2,9 пм.
А3. Найти длину волны де Бройля для: а) электрона, движущегося со скоростью V = 106 м/с; б) атома водорода, движущегося со средней квадратичной скоростью при температуре T = 300 K; в) шарика массой m = 1 г, движущегося со скоростью V = 1 см/с.
Дано:
V1 = 106 м/с
T = 300 K V3 = 1 см/с
λ1 - ? λ2 - ? λ3 - ?
Решение.
Длину волны де Бройля для частицы можно определить по формуле
hp ,
где h – постоянная Планка, p – величина импульса частицы.
mvh ,
так как во всех трёх случаях v << c.
|
h |
|
6,63 10 34 |
|
0,73 10 9 |
(м). |
||
m v |
9,1 10 31 1,6 |
10 19 |
106 |
|||||
1 |
|
|
|
|||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
А3. Найти длину волны де Бройля для: а) электрона, движущегося со скоростью V = 106 м/с; б) атома водорода, движущегося со средней квадратичной скоростью при температуре T = 300 K; в) шарика массой m = 1 г, движущегося со скоростью V = 1 см/с.
Решение (продолжение).
Во втором случае определим импульс атома при тепловом движении:
E |
mv2 |
|
p2 |
|
3 |
kT, |
|
|
|
||||
k |
2 |
|
2m |
|
2 |
|
|
|
|
|
где k – постоянная Больцмана, k = 1,38·10-23 Дж/К.
Для атома водорода (протон + электрон), m = (1836 + 1)·me =1837· 9,1·10-31 кг =
1,67 ·10-27 кг.
p |
2m |
3 kT 3mkT . |
|
|
2 |
Длина волны де Бройля
|
|
h |
|
h |
|
|
6,63 10 34 |
|
|
1,44 10 10 (м). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
p |
3mkT |
|
3 1,67 |
10 |
27 |
1,38 |
10 |
3 10 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
2 |
|
|
А3. Найти длину волны де Бройля для: а) электрона, движущегося со скоростью V = 106 м/с; б) атома водорода, движущегося со средней квадратичной скоростью при температуре T = 300 K; в) шарика массой m = 1 г, движущегося со скоростью V = 1 см/с.
Решение (продолжение).
В третьем случае импульс шарика:
p mv.
Длину волны де Бройля для шарика можно определить по формуле
mvh .
3 |
h |
|
|
6,63 10 34 |
6,63 10 29(м). |
||
mv |
1 10 3 |
1 10 2 |
|||||
|
|
|
|||||
А4. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U = 200 В, имеет длину волны де Бройля λ = 2,02 нм. Найти массу частицы, если её заряд численно равен заряду электрона.
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
||||||
U = 200 В |
Длину волны де Бройля для частицы можно определить по формуле |
||||||||||||||||||||||||||||
λ = 2,02 нм |
|||||||||||||||||||||||||||||
q = e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
, |
|
где h – постоянная Планка, |
|||||||||||
m - ? |
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
p |
|
|
p – величина импульса частицы. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
mv , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как в нашем случае v << c. |
|||||||||||||||||
Согласно закону сохранения энергии |
|
eU mv |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
v |
2eU |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
h |
|
. |
|
|
h2 |
|||||||
|
m . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
, |
||||||||||||||||
|
|
mv |
|
|
|
2eU |
|
2meU |
|
||||||||||||||||||||
|
|
m |
|
|
|
2meU |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m |
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6,632 10 68 |
|
|
|
1,67 10 27(кг). |
|||||||||||||
|
2 |
2 |
eU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 2,02 |
2 |
10 |
18 |
1,6 |
|
19 |
2 10 |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
||||||||||||||||||
А5. α-частица движется по окружности радиусом r = 8,3 мм в однородном магнитном поле, напряжённость которого H = 18,9 кА/м. Найти длину волны де Бройля λ для α-частицы.
Дано: |
Решение. |
|||
Длину волны де Бройля для частицы можно определить по |
||||
r = 8,3 мм |
||||
формуле |
h |
|
||
H = 18,9 кА/м |
|
|||
|
|
|
, |
|
|
p |
|||
λ - ? |
|
|
||
где h – постоянная Планка, p – величина импульса частицы. |
||||
|
||||
Импульс частицы определим из второго закона Ньютона:
mvr 2 qvB.
Частица движется по окружности под действием силы Лоренца.
mv |
qB, |
p mv qBr. |
r |
|
|
Индукция магнитного поля |
B 0 H. |
|
p q 0 Hr.
А5. α-частица движется по окружности радиусом r = 8,3 мм в однородном магнитном поле, напряжённость которого H = 18,9 кА/м. Найти длину волны де Бройля λ для α-частицы.
Решение (продолжение).
|
|
|
|
|
|
|
h |
, |
|
|
p q 0 Hr, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
Для α-частицы |q| = +2e = 3,2·10-19 Кл, |
|
m = (2·1836 + 2·1838)·me = |
||||||||||||
= 4·1837· 9,1·10-31 кг = 6,69 ·10-27 кг. |
|
|
|
|
||||||||||
|
h |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
q 0 Hr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
6,63 10 34 |
|
|
|
1,80 10 10(м). |
||||
|
12,56 10 |
7 |
3,2 10 |
19 |
18,9 |
3 |
3 |
|||||||
|
|
|
|
10 8,3 10 |
|
|||||||||