1.6.
Вектор Умова-Пойнтинга.
1.6. Вектор Умова-Пойнтинга.
Известно, что плотность энергии электрического поля |
|||||||||
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
wэ |
|
E D |
|
0 E2 |
, |
||||
2 |
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
а плотность энергии магнитного поля |
|
||||||||
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
w |
H |
B |
|
0 H 2 . |
|||||
|
|
|
|
||||||
м |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
Эти выражения можно получить из уравнений Максвелла. Рассмотрим
уравнения: |
r |
B |
|
|
|
|
, |
|
(1) |
||
|
rotE |
|
|||
|
r |
t |
|
|
|
|
r |
D |
. |
(2) |
|
|
rotH |
j |
|
t
Умножим уравнение (1) на вектор H скалярно, а уравнение (2) умножим скалярно на вектор E.
1.6. Вектор Умова-Пойнтинга.
|
r |
r |
|
|
r |
|
|
|
H , rotE |
|
H , |
B . |
|||
|
|
|
|
t |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Если магнитная проницаемость постоянна,
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
r |
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
H |
, rotE 0 |
H , |
|
t |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
r |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
H |
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
H |
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
r r |
|
|||||||||
|
r r |
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 H |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 BH |
|
||||||||||
H ,rotE |
|
0 |
H , |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
t |
|
|
|
2 t |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
r r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
H , rotE |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.6. Вектор Умова-Пойнтинга.
Аналогично преобразуем второе уравнение:
r r D rotH j
t .
Мы рассматриваем непроводящую среду, поэтому j = 0. |
||||||||||||||||||||||||
|
r |
r |
|
r D |
|
|
r E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r r |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 E |
2 |
|
1 ED |
||||||||||||||
E, rotH |
E, |
|
|
0 |
E, |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
2 |
t |
|
|
2 t |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Итого, мы получили два уравнения: |
|
|
|
|
|
r r |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
BH |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
H , rotE |
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
r r2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ED |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
E,rotH |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
r r
ED .
t 2
Вычтем из второго уравнения первое:
1.6. Вектор Умова-Пойнтинга.
|
|
|
|
|
|
|
|
r r |
r r |
|
r r |
|
|
r r |
|
ED |
|
BH |
|
||||
E, rotH H , rotE |
|
|
|
2 |
, |
||
t |
2 |
t |
|||||
r |
r |
r |
|
r |
|
ED |
BH |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E, rotH H ,rotE t |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из векторного анализа известно тождество: |
|
|
|
|
|||||||||
|
r |
r |
|
r |
r |
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
B, rotA |
A,rotB |
. |
|
|||||||
|
div A, B |
|
|
|
|
|
|||||||
Применив это тождество, получим: |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
||||
|
r |
r |
|
r |
r |
|
|
|
|
r |
|
||
|
E, rotH |
H , rotE div H , E |
, |
||||||||||
.
r div H ,
r |
|
ED |
BH |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
E |
|
|
|
|
|
. |
|
|
t |
2 |
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6. Вектор Умова-Пойнтинга.
r r div H , E
|
ED |
BH |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
t |
2 |
|
. |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Выясним физический смысл полученного выражения. Обозначим
|
S |
|
|
- вектор Умова-Пойнтинга. |
||||||
|
E, H |
|
||||||||
|
r r |
r r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ED |
BH |
wэм - |
плотность |
энергии |
электромагнитного |
||||
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
поля. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Преобразуем левую часть уравнения: |
|
|||||||||
|
|
|
|
div |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H , |
E div E, H |
divS. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
divS |
|
эм |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
1.6. Вектор Умова-Пойнтинга.
Применим к левой части уравнения теорему Остроградского-Гаусса: |
||
|
r |
r r |
divSdV Ñ |
Sd . |
|
V |
|
|
Здесь - поверхность, окружающая объём V.
Чтобы равенство не нарушилось, вычислим интеграл по объёму V и в правой части:
|
|
wэм |
dV |
|
WЭМ . |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
V |
t |
|
|
t |
||||
Здесь Wэм - энергия электромагнитного поля в объёме V. |
|||||||||
Итого, получилось: |
|
r r |
|
||||||
|
ÑSd |
|
|
WЭМ . |
|||||
|
t |
||||||||
|
|
r r |
|
|
|
|
|||
|
ÑSd |
WЭМ . |
|||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|||
1.6. Вектор Умова-Пойнтинга.
|
|
|
|
|
|
r r |
|
|
|
Ñ |
Sd |
WЭМ . |
||
|
||||
|
|
t |
||
Таким образом, поток вектора Умова-Пойнтинга через некоторую
замкнутую поверхность равен убыли энергии электромагнитного поля в объёме, ограниченном этой замкнутой поверхностью.
Согласно определению, |
S E, H . |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
S E H. |
|
Эти векторы образуют правую тройку.
E и H лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, направление S совпадает с направлением распространения волны.
1.7.Энергия, переносимая электромагнитной волной.
1.7. Энергия, переносимая электромагнитной волной.
Известно, что плотность энергии электромагнитного поля
r r r r
ED BH
2
Если в пространстве распространяется электромагнитная волна, то в данной точке пространства
|
|
|
|
|
|
0 E |
|
0 H. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
0 |
E. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
Плотность энергии магнитного поля |
|
|
|
|
r r |
|
|||||||||||
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
H , |
B |
|
0 H 2 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 E2 |
|
E, D |
wэ. |
||
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
м |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
0 |
|
|
2 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В любой момент времени |
wм wэ. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||