4.4. Дифракция Фраунгофера на отверстии. Точная теория.
Каждая точка отверстия является источником сферичес- ких волн. Рассмотрим участок длиной dx, расположенный внутри отверстия на расстоянии
x от края.
Волны, излучённые с отрезка dx распространяются по всем направлениям (-π/2 < φ < π/2).
Рассмотрим волны, распространяющиеся вдоль прямой, образующей угол φ с перпендикуляром к преграде.
Волны, излучённые с отрезка dx, запаздывают по фазе на
kx sin ,
k v - волновое число (модуль волнового вектора).
4.4. Дифракция Фраунгофера на отверстии. Точная теория.
Запишем уравнение волны, испущенной с участка dx в рассматриваемом направлении. Пусть Е0 – амплитуда волны,
испущенной из всего отверстия в рассматриваемом направле- нии, тогда амплитуда волны, испущенной с участка dx равна
E0x Eb0 dx.
Уравнение волны, испущенной с участка dx в рассматриваемом направлении:
dE Eb0 ei t kxsin dx.
4.4. Дифракция Фраунгофера на отверстии. Точная теория.
dE Eb0 ei t kxsin dx.
Для волны, испущенной из всего отверстия в рассматри- ваемом направлении.
E |
0 |
|
0 |
e |
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
b |
i t kxsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
b |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
E |
|
i |
t kxsin |
|
|
|
|
E |
|
|
||
|
E |
0 |
0 |
|
e |
|
|
|
dx |
0 |
ei t |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
||||
|
|
|
E |
ei t |
|
e ikxsin |
|
|
|
E0e |
i t |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ik sin |
|
||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b e ikxsin dx
0
e ikbsin 1
ikb sin .
4.4. Дифракция Фраунгофера на отверстии. Точная теория.
e ikbsin 1
E E0ei t ikbsin .
Преобразуем полученное выражение к симметричной форме.
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
b |
|
b |
|
b |
|
e ikbsin 1 |
|
e ik |
2 sin e ik |
2 sin |
e ik 2 sin e ik |
2 sin |
|
|||||||
ikbsin |
|
|
|
|
|
|
ikb sin |
|
|
|
||||
|
ik b sin |
e |
ik b sin |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|||
e 2 |
|
2 |
|
e ik |
|
|
e iu e iu |
e iu , |
|
|||||
|
|
2 sin |
|
|||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
2iu |
|
|
|
|
2ik |
2 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
u k b sin . |
|
2 |
4.4. Дифракция Фраунгофера на отверстии. Точная теория.
|
e iu e iu |
sin u |
e iu . |
|
|
||||
|
2iu |
e iu |
u |
|
|
|
|||
|
e ikbsin |
|
|
|
|
|
|||
Итак, |
E E0e |
i t |
1 |
E0e |
i |
t u sin u |
. |
||
|
ikb sin |
|
u |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
где |
u k b sin . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Уравнение волны, испущенной из всей щели в рассматриваемом направлении:
E |
E |
|
b |
|
|
sin u e |
2 |
sin |
. |
||
|
|
i t k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
u |
|
|
|
4.4. Дифракция Фраунгофера на отверстии. Точная теория.
Интенсивность излучения, испущенного из всей щели в
рассматриваемом направлении определяется квадратом амплитуды
I : E 2 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
E2 |
E2 |
|
ei t u |
|
2 sin u . |
||||
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
sin u |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
I I0 |
u |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
u k b sin . |
|
2 |
4.4. Дифракция Фраунгофера на отверстии. Точная теория.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin u |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
I I0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin u |
1. |
|
|
Исследуем полученную функцию. При u → 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
Это максимальное |
значение |
этой |
|
|
|
||||
функции. При возрастании модуля u |
|
|
|
||||||
функция |
будет |
убывать. |
Это |
|
|
|
|||
убывание |
не |
будет монотонным |
|
|
|
||||
вследствие осцилляций числителя. |
|
|
|
|
|||||
Теперь можно определить, при каких |
|
|
|
||||||
значениях |
угла |
дифракции |
|
|
|
|
|||
наблюдаются |
максимумы |
|
и |
|
|
|
|||
минимумы |
|
|
интенсивности |
|
|
|
|||
излучения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.4. Дифракция Фраунгофера на отверстии. Точная теория.
u k b sin , |
k |
2 |
. |
|
|||
2 |
|
|
|
u2 b sin b sin .
2
Функция |
|
|
sin u |
2 |
|
||
|
|
|
|
||||
I |
|
|
|
|
|
|
|
I0 |
u |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
имеет локальные минимумы при |
|
||||||
условии |
|
sin u 0. |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
u m , |
|
b |
|
|
|
||
|
sin |
m , |
bsin m . |
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
4.4. Дифракция Фраунгофера на отверстии. Точная теория.
Функция |
sin u |
2 |
|
I |
|
|
|
I0 |
u |
|
|
|
|
|
|
имеет локальные максимумы (кроме центрального) при условии
sin u 1. u 2m 1 ,
b sin 2m 21 2 ,
b sin 2m 1 2 .
Условия минимумов и максимумов совпали с полученными методом зон Френеля.
Точный расчёт позволяет определить значения интен- сивности для произвольного угла дифракции.
