2.2 Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона.
Получим уравнение равновесного адиабатического процесса для
идеального газа. На основании I начала термодинамики имеем: |
|
|
|
||||||||||||
Учитывая A PdV ,dU |
|
|
m i A dU |
|
|
|
(8) |
||||||||
|
|
|
RdT |
, получаем |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
m i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PdV |
RdT |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
PV |
|
(9) |
||||
Далее продифференцируем уравнение Менделеева-Клапейрона ( |
RT |
||||||||||||||
|
m |
): |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
PdV VdP m R dT |
|
|
(10) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
исключаем из (9) и (10) |
выражение |
m RdT |
|
|
|
||||||||||
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем: |
PdV |
(PdV VdP) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
откуда |
2 |
|
|
|
|
|
PdV i 2 VdP 0 |
|
|
|
|||||
Теперь вспомним, что |
i 2 |
|
C |
|
|
i |
|
|
|
(11) |
|||||
i |
|
|
P и разделяем переменные: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
CV |
dP |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dV |
|
|
(12) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
P |
|
|
|
21
После интегрирования обеих частей уравнения получим:
lnV ln P ln Cили |
ln(PV ) lnC |
(здесь С- константа интегрирования). |
|
Итак, уравнение Пуассона для равновесного адиабатического процесса: имеет
вид |
PV const |
(13) |
|
Уравнению можно придать другой вид, используя уравнение Менделеева-
Клапейрона. |
|
P |
m |
RT |
|
Выразим из уравнения М.-К. давление |
|
V и подставим в (13): |
|
||
TV 1 |
|
const |
|
||
|
|
||||
|
mR |
|
|
1 |
(14) |
|
|
|
|
||
Поскольку показатель адиабаты всегда больше единицы, из последнего уравнения ясно видно, что газ охлаждается при расширении и нагревается при сжатии.
Аналогично выражая из уравнения М.-К. объем и подставляя его в (13)
получим еще одно уравнение для адиабатического процесса: |
|
T P 1 const2 |
(15) |
График адиабатического процесса в координатах P-V имеет более крутой вид по сравнению с изотермой (рис.2).
22
23
2.3 Работа при адиабатическом процессе.
Вычислим работу, совершаемую идеальным газом при адиабатическом |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
процессе. |
|
|
V2 |
|
|
|
|
|
PV |
PV |
|
|
|
|
|
|
|
|
V1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
A PdV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
P P1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V2 |
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
V2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A PV dV |
|
PV |
|
|
dV |
p V |
V dV |
|
P1V1 |
|
V 1 |
|
V2 |
|
P1V1 |
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 1 |
V |
|
|
|
1 1 |
V |
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
V1 |
|
|
1 V 1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
V1 |
|
|
|
|
|
|
|
V1 |
|
|
|
|
V1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PV |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
PV |
|
|
|
V |
1 |
PV |
|
|
V |
1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
A |
1 |
|
|
1 |
V 1 |
|
( 1)V 1 1 |
|
|
( 1) |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
V |
|
V |
|
V |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A m |
RT |
|
|
|
|
|
V1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Или с помощью М-К: |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( 1) |
V2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(16)
1
V1 1
(17)
24