РАБОТА, МОЩНОСТЬ, МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
3.1. Работа силы. Мощности средняя и мгновенная.
Работой постоянной силы F const (над материальной точкой) на |
|
|||||||
перемещении |
S(t1, t2 ) называется величина |
|
|
|||||
|
A F S |
|
. |
(1 а) |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[А]=Н∙м Дж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Раскрывая скалярное произведение, получим |
|
|
|
|||||
|
A |
F |
|
S |
cos |
, |
|
(1 б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где F, S |
– угол между силой и перемещением. |
|
|
|||||
1
PS1. Определение работы данной силы, действующей на материальную точку, не зависит от того, сколько вообще сил на нее действуют.
PS2. Если рассматривать перемещение S |
|
материальной точки как сумму |
|||||||
|
последовательных перемещений |
S1 |
, S2 , ..., Sn , |
|
|||||
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
S Si ri |
, |
|
(2) |
|||
|
|
|
|
i 1 |
i 1 |
|
|
||
то работа на перемещении S представится также в виде суммы: |
|
||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
A Ai , |
|
(3) |
|||
где |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Ai F Si F ri |
(4) |
||||
– работа силы F на i-м перемещении. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||
|
Таким образом, работа величина скалярная и обладает |
||||||||
|
свойством аддитивности. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
F |
Если сила зависит от положения материальной точки |
|
|||||||
F(r ) |
,то простое определение работы (1) теряет смысл. |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
3
Точное определение работы неоднородной силы |
F F(r) может быть |
||||||
записано через криволинейный интеграл вдоль кривой |
L между точками а |
||||||
и в. |
A |
|
|
|
|
|
|
|
F(r )dr. |
|
|
(5 ) |
|||
|
|
|
L |
|
|
|
|
Под знаком интеграла в (5) |
|
– сила, действующая на материальную |
|||||
F(r ) |
|||||||
точку в точке Q кривой |
L |
|
с радиусом-вектором |
r , dr |
– бесконечно малое |
||
перемещение материальной точки |
из точки |
Q |
за бесконечно малый |
||||
промежуток времени – |
dt |
(см. рис. 3.1). |
|
|
|
||
Отметим, что при |
F const |
из (5) получается выражение (1). |
|||||
Средней за промежуток времени ( t t2 t1 |
) |
мощностью силы |
|||
называется величина |
Nср |
А |
|
|
|
|
t , |
|
(6) |
||
|
|
|
|||
где А – работа любой силы за промежуток времени ( |
t t2 t1 ). |
||||
4
Мгновенной мощностью любой силы называется величина
N A |
|
|
dt |
. |
(7) |
|
Физический смысл мощности – работа, совершаемая за единицу времени, [N]= Дж/с = Вт.
Используя выражение (7) и (1), можно получить
|
(8) |
N F . |
Отсюда, в частности, видно, что сила, перпендикулярная скорости, имеет нулевую мощность и работы не совершает.
Поэтому центростремительная сила работы не совершает. К ней относится и сила Лоренца.
5
Если на материальную точку действуют две или несколько сил и |
F – сумма |
||
действующих сил, |
F Fк |
|
|
|
, |
(9) |
|
|
к |
||
то из определения (5) следует, что работа силы F должна вычисляться как |
|||
сумма работ сил : Fк |
AF AFк |
. |
(10) |
|
к |
||
Мощности сил также складываются: |
|
|
|
|
NF NFк |
. |
(11) |
|
к |
|
|
3.2. Кинетическая энергия системы. Теорема о кинетической энергии.
Кинетической энергией материальной точки называется величина
|
k |
m 2 |
|
|
|
2 |
, |
(12) |
|
где m – масса МТ, |
|
|||
– модуль скорости материальной точки; [k] = Дж. |
|
|||
Кинетической энергией механической системы (набор материальных |
||
точек ) называется величина |
K ki |
|
|
(13) |
|
|
i |
|
где ki – кинетическая энергия i-й материальной точки; i=1, 2,…, n.
6
Найдем связь между изменением кинетической энергии материальной точки за некоторый промежуток времени и работой, действующих на нее сил.
Перепишем уравнение движения МТ в виде
|
|
, |
|
md Fdt |
|
||
где F – сумма сил, действующих на МТ. |
|
|
|
Умножим уравнение (14) на вектор скорости |
скалярно: |
||
|
|
. |
|
m d F dt |
|
||
Рассмотрим левую и правую части (15) отдельно. |
|||
Во-первых, отметим математический факт: |
|
|
|
d( 2 ) d( ) 2 d |
. |
||
(14)
(15)
Отсюда следует, что изменение кинетической энергии МТ выражается |
|
|||||
так: |
m 2 |
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
m d |
. |
(16) |
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
dk |
|
Таким образом, левая часть (15) – это величина . |
|
|
Правую же часть равенства можно записать в виде |
|
|
|
, |
(17) |
F dt Ndt |
||
где N– мощность силы F (сумма мощностей всех сил, действующих на 7 МТ).
Равенство (15) перепишем в форме |
|
|
|
dk A |
|
. |
(18) |
Здесь A – сумма работ любых сил, действующих на МТ, за промежуток |
|||
времени dt . |
|
|
|
Проинтегрировав (18) по промежутку ( t , t |
2 |
), получаем |
|
1 |
. |
(19) |
|
k(t1,t2 ) A(t1,t2 ) |
|
||
Равенство (19) называют теоремой о кинетической энергии
для материальной точки: изменение кинетической энергии МТ за некоторый промежуток времени равно сумме работ действующих на МТ сил.
Записав равенство (19) для каждой материальной точки, входящей в состав механической системы,
|
ki (t1 , t2 ) Ai (t1 , t2 ) |
(20) |
и просуммировав n равенств (20), получаем для системы: |
|
|
, |
K (t1 , t2 ) A (t1 , t2 ) |
|
(21) т.е. изменение кинетической энергии механической |
||
системы (за некоторый промежуток времени равно сумме работ всех
сил, действующих на систему.
8
3.3. Консервативные и неконсервативные силы. Потенциальная энергия. Примеры консервативных сил.
Пусть в некоторой области существует статическое силовое
поле. На МТ в этой области действует сила F F(r ) , зависящая от положения материальной точки.
Сила |
F |
называется консервативной, если работа силы |
|
над материальной точкой при ее перемещении из точки а в точку в |
|||
не зависит |
от |
формы траектории, соединяющей |
а и в, а |
определяется только начальным (а) и конечным (в) положениями материальной точки (см. рис. 3.3).
Математически это свойство записывается в виде
9
|
|
|
|
|
|
F(r )dr |
F(r )dr |
A(rа , rв ) . |
(22) |
||
L1 |
|
L2 |
|
|
|
Работа силы F(r ) при движении МТ вдоль кривой из а в в и работа на той же кривой при движении из в в а отличаются знаками,
|
|
|
|
|
F (r )dr |
F (r.)dr |
(23) |
||
L1 (в а) |
|
L1 (а в) |
|
|
10
|
|
|
|
|
С учетом этого, сила |
F F(r ) |
|
|
|
называется консервативной, если ее работа |
||||
над материальной точкой на любом замкнутом контуре |
равна нулюL |
, т.е. |
||
|
|
|
|
|
|
F (r )dr 0 |
. |
(24) |
|
Любой замкнутый контур отмечен кружком на интеграле. |
|
|
||
|
L |
|
|
|
Интеграл (24) называется циркуляцией вектора по замкнутому контуру
. |
L |
F |
|
|
Интегрирование (24) в конечных пределах изменения консервативной силы
позволяет ввести понятие изменения |
|
|
потенциальной энергии МТ |
||
|
|
|
|
П(r ) |
|
|
|
в |
|
. |
(25) |
|
|
||||
Понятие (25) можно переписать в упрощенной форме |
|
||||
П(rа ) |
П(rв ) |
Fdr |
. |
(26) |
|
|
|
|
|
||
|
|
а |
|
|
|
Работа консервативных сил совершается только за счёт убыли |
|
потенциальной энергии. |
Aконс П |
|
|
11