Можно считать, что сила тяжести приложена к материальной точке, находящейся в центре тяжести, – точке С. Начальное и конечное значение угловой координаты этой точки равны соответственно 1 60 ;2 0 (см. рис. 4.11). На рис. 4.11 ось OZ направлена к наблюдателю.

Теорема о кинетической энергии для вращательного движения.

Элементарная работа силы, приложенной к материальной точке, δА . Fdr

Сила F - внешняя. Очевидно, что работа внутренней силы над твердым телом должна определяться точно так же.

Поскольку определение работы осталось прежним, теорема о

Левая часть (73) – изменение кинетической энергии твердого тела за бесконечно малый промежуток времени dt , правая – алгебраическая сумма элементарных (за время dt ) работ всех сил, действующих на тело (т.е. на все материальные точки тела).

Применим теорему (73) к случаю чисто вращательного движения твердого тела, например, к вращению тела с неподвижной осью. Действующая на вращающееся твердое тело внешняя сила “включает” внутренние силы в твердом теле. Тормозная колодка в рассмотренном выше примере действует на элементы тела, расположенные на поверхности барабана (по рис. 4.12), в результате чего тормозятся все элементы тела. Это – результат действия внутренних сил.

Запишем суммарную работу в виде

Составим таблицу соответствия для динамических величин, характеризующих поступательное и вращательное движения .

Для вращательного движения это момент инерции I , момент импульса L , момент силы M и проекции этих векторов Lz , M z .Перечисленные величины аналогичны массе m , импульсу p, силе F и проекциям px , Fx соответственно.

Таблица 2

4.5 Гироскоп. Угловая скорость прецессии.

Гироскоп – это быстро вращающееся массивное тело.

Примером гироскопа является хорошо известный вам с детства волчок. Гироскоп обладает очень интересным свойством, которое состоит в том, что

попытка изменить ориентацию оси вращения приводит к тому, что ось гироскопа начинает вращаться. Такое вращение называется прецессией.

На рис. 4.13 показан вращающийся волчок. Будем считать, что он закреплен в точке О; – угловая скорость вращения гироскопа. В момент, когда сделан рис. 4.13, ось гироскопа лежит в плоскости чертежа, С – центр тяжести волчка, r радиус-вектор центра тяжести, проведенный из точки О.

На рис. 4.14 показаны вектор момента импульса волчка

L. относительно точки О, продольная (по отношению к вектору g ) и поперечная его составляющие L||и L .

Рис. 4.13 и 4.14 соответствуют одному и тому же моменту времени, векторы L , L|| , L лежат в плоскости чертежа.

26

– момент силы тяжести относительно т.О. Вектор . M направлен “от нас” – как показано на рис. 4.14.

Бесконечно малое изменение момента импульса

волчка (за время dt) –

dL Mdt

– это вектор, также направленный “от нас”. Таким образом, получаем

27

На рис. 4.15 показано движение вектора L . Он описывает конус с углом раствора 2 , конец вектора L движется по окружности радиуса L с центром в точке О – она также показана на рисунке. Ось конуса вертикальна. Ось волчка,

с которой совмещён вектор L также описывает конус, т.е. вращается вокруг вертикальной оси. Это вращение и называется прецессией гироскопа. Угловая

скорость прецессии в данном случае направлена вертикально вверх

28