ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Рассмотрим движение МТ массой

,mна которую действует сила ;

F

r

. – радиус-вектор МТ, проведенный из точкиp О m,

– ее

импульс. Введём два определения.

Моментом импульса МТ относительно точки О называется величина

(1)

l r ,

p .

Моментом силы F относительно точки О называется величина

(2)

M r , F .

Если F – сумма сил, действующих на МТ

F Fk ,

(3)

то

k

M Mk ,

(4)

где

k

(5)

M k r , Fk .

dp

dl

dt

F,

dt

M .

(10)

Это уравнение вращательного движения МТ (уравнение моментов).

2

L li ,

(11)

i

где li – момент импульса i-й материальной точки.

Продифференцировав (11) по времени и используя уравнение

движения (10), получаем

dL

Mi ,

(12)

dt

i

где Mi – сумма моментов всех сил, действующих на i-ю мат. точку.

Сумму в правой части (12) представим в виде двух слагаемых:

(ex)

Mi M (ex) M (in) ,

(13)

где M

i

M (in) –

– сумма моментов внешних сил, действующих на систему, а

входящие в состав системы.

Докажем, что

M (in) 0.

(14)

Для доказательства рассмотрим взаимодействие i-й и k-й материальных точек .

Силы

Fi,k и

F

, которыми материальные точки действуют друг на друга,

k ,i

подчинены третьему закону Ньютона, Fi,k Fk ,i 0,

(15)

С учетом (15) получаем

Mi,k M k ,i 0.

(16)

M (in)

В сумму

моменты внутренних сил входят парами, и для каждой пары

С учётом этого, переписываем (12) в виде:

dL

(ex)

(17)

dt M ,

dLz

M z(ex) .

(18)

dt

(ex)

0

Lz const :

(20)

M z

Рассмотрим вращательное движение МТ массой mi

по окружности

радиуса ri

с линейной скоростью

. Относительно

неподвижной в

пространстве оси вращения имеем для момента импульса:

l m r m r 2 w

(21)

i

i

i i

Введем величину

i m r 2

,

(22)

которая называется моментом инерции

i

i

МТ относительно оси.

Для системы МТ момент инерции может быть записан в виде (6):

I mi ri

2

i

и называется моментом инерции системы МТ относительно оси.

Если тело однородно, то момент инерции может быть представлен как

I r2dm

(23)

Для момента импульса системы МТ ( аналогично) имеем:

r

r

(24)

L I w

оси получаем.

I1 1

I2 2

(28)

или, более подробно,

(Ic Iч1 ) 1

(Ic Iч2 ) 2 .

Для конечной угловой скорости получаем

I1

(Ic Iч1 )

.

2

I2

1

(Ic Iч2 )

1

(29)

Таким образом, угловая

скорость вращения системы

уменьшается.

Теорема Штейнера.

Пример №1. Пусть имеется тонкий однородный стержень длиной

L и

массой m . Однородность означает, что масса участка стержня

пропорциональна длине этого участка

l .

Тогда линейную плотность массы

можно записать

m

' l

,

(30)

или ввести функцию (l) , где l – расстояние от данной точки стержня до его

левого конца, которая определяется равенством:

dm .

(31)

dl

Однородность тонкого стержня означает, что для всех точек стержня

const.

(32)

Выделим

бесконечно

малый

кусочек

стержня

(элемент) dl

(см. рис.

4.7) с

массой dm

(материальная точка). Найдем

момент

инерции

этого

элемента

относительно оси,

dI dm l 2 ,

(33)

Момент инерции всего стержня:

I dI l2dm.

(34)

dm dl.

(35)

Учитывая однородность стержня, запишем

m

const.

(36)

L

Тогда

m

(37)

dm L dl.