А7. Камень, привязанный к веревке, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти массу m камня, если известно, что разность между максимальной и минимальной силами натяжения веревки T=10 Н .
Дано:T=10 Н m - ?
Решение
Камень движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Это
ускоренное движение с ускорением
r r a an ,
которое перпендикулярно вектору скорости.
r v2 an R ,
v – величина скорости, R – радиус окружности.
В верхней точке окружности согласно второму закону |
|
|||
Ньютона |
r |
r |
r |
|
|
man1 |
mg |
T1. |
|
В проекции на вертикальную ось OY (см. рисунок) |
|
|||
|
man1 mg T1, |
|
||
|
man1 mg T1, |
1 |
||
А7. Камень, привязанный к веревке, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти массу m камня, если известно, что разность между максимальной и минимальной силами натяжения веревки T=10 Н .
Решение (продолжение)
В нижней точке окружности согласно второму закону
Ньютона |
r |
r |
r |
|
|
man2 |
mg |
T2 . |
|
В проекции на вертикальную ось OY (см. рисунок) |
2 |
|||
|
man2 mg T2 . |
|||
Величина an зависит только от скорости и радиуса, а их величины по условию постоянны, поэтому
an1 an2 an .
Из уравнений (1) и (2) выразим величины сил натяжения и учтём, что величина нормального ускорения постоянна:
T1 man mg, T2 man mg.
А7. Камень, привязанный к веревке, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти массу m камня, если известно, что разность между максимальной и минимальной силами натяжения веревки T=10 Н .
Решение (продолжение)
T1 man mg, T2 man mg.
T T2 T1 man mg ma mg 2mg.
Отсюда масса камня |
|
|
|
|
|
|
mкг |
T |
|
10 |
0,5 |
. |
|
2g |
2 10 |
|||||
|
|
|
|
Ответ: m = 0,5 кг.
А8. Гирька, привязанная к нерастяжимой нити длиной l = 30 см, описывает в горизонтальной плоскости окружность радиусом R = 15 см. С какой частотой
вращается гирька?
Дано:
l = 30 см R = 15 см
- ?
Решение
Согласно второму закону Ньютона
ma T mg.
Гирька движется по окружности, |
|||||||
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
r |
|
a |
an , |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
R. |
|
|
|
||||||
|
an |
|
|
R 4 |
|
||
Перепишем второй закон Ньютона в виде проекций на оси координат (см. рисунок).
man Tx .
0 Ty mg.
Tx T sin , Ty T cos .
man T sin , mg T cos .
А8. Гирька, привязанная к нерастяжимой нити длиной l=30 см, описывает в горизонтальной плоскости окружность радиусом R=15 см. С какой частотой
вращается гирька?
Решение (продолжение)
man T sin , mg T cos .
an tg , |
|
|
|
|
4 2 2 R |
tg . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgα найдём из треугольника AOB. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
tg |
|
|
BO |
|
|
|
|
|
R |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 2 2 R |
|
|
|
AO |
|
|
|
l2 R2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
R |
|
, |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
g |
. |
|
|
|||||
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
l2 R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l2 R2 |
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
9,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,98 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
Ответ: m = 0,98 Гц. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0,32 0,152 |
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
А9. Самолет, летящий со скоростью = 900 км/ч, делает “мертвую петлю”. Каким
должен быть ее радиус R, чтобы наибольшая сила F, прижимающая летчика к сидению, была равна: а) пятикратной силе тяжести, действующей на летчика; б) десятикратной силе тяжести, действующей на летчика?
Дано:
= 900 км/ч
а) F= 5 mg б) F = 10 mg
R - ?
Решение
Согласно третьему закону Ньютона «прижимающая» сила F равна по величине силе
реакции N.
F N .
В нижней точке «мёртвой петли» согласно второму закону
Ньютона |
r |
r |
r |
|
man mg |
N. |
|
В проекции на вертикальную ось OY (см. рисунок)
man mg N.
Отсюда
N mg man .
А9. Самолет, летящий со скоростью = 900 км/ч, делает “мертвую петлю”. Каким
должен быть ее радиус R, чтобы наибольшая сила F, прижимающая летчика к сидению, была равна: а) пятикратной силе тяжести, действующей на летчика; б) десятикратной силе тяжести, действующей на летчика?
По условию задачи
n = 5, или n = 10.
Решение (продолжение)
N mg man .
|
N n mg, |
|
|
|
|
||
nmg mg m |
v2 |
, |
|||||
|
R |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
n 1 |
g v2 |
, |
|
|||
|
|
R |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
R |
|
v2 |
|
|
. |
|
|
|
n 1 g |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R(nм 5) 1600 |
, |
||||||
R(nм 10) 700 .
A10. Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите в плоскости экватора с запада на восток. На какой высоте h от поверхности Земли должен находиться этот спутник, чтобы он был неподвижен по отношению к наблюдателю, находящемуся на поверхности Земли у экватора?
Дано: |
|
|
Решение |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
m = 6·1024кг |
|
На спутник действует |
сила |
||||
R = 6380 км |
|
тяжести, которая второму закону |
|||||
|
T = 24 ч |
|
|
Ньютона |
создаёт |
нормальное |
|
|
|
|
|||||
|
h - ? |
|
(центростремительное) |
|
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
ускорение. |
Если |
ось |
OY |
|
|
|
|
направить |
по |
направлению |
|
|
|
|
|
ускорения (см. рисунок), то |
|
||
man G mMr2 ,
где m – масса спутника, M – масса Земли, r – радиус орбиты.
r R h,
где R – радиус Земли, r – радиус орбиты, h – высота.
an G |
M |
|
, |
an 2r |
4 2 |
R h , |
|
R h |
2 |
T |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
||
A10. Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите в плоскости экватора с запада на восток. На какой высоте h от поверхности Земли должен находиться этот спутник, чтобы он был неподвижен по отношению к наблюдателю, находящемуся на поверхности Земли у экватора?
Решение (продолжение)
4 2 |
R h G |
M |
, |
|||
T 2 |
|
R h 2 |
||||
|
R h 3 |
GMT 2 |
, |
|
||
|
|
|
4 2 |
|
|
|
|
|
R h 3 |
GMT 2 |
, |
|
|
|
|
4 2 |
|
|||
|
|
|
|
|
||
h 3 GMT 2 R. 4 2
hм 3 |
6,67 10 11 |
6 |
1024 |
24 3600 |
2 |
6,38 106 |
3,6 |
107 |
36000 . |
км |
|
4 2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|