физика / Mod1Pr1
.pptКИНЕМАТИКА
Описание движения материальной точки
1
A1. Зависимость пройденного телом пути s от времени t дается уравнением s = A + Bt + Ct2 + Dt3, где B = 0,01 м/с, С = 0,14 м/с2 и D = 0,01 м/с3. Через какое время t после начала движения тело будет иметь ускорение a0 = 1 м/с2? Найти среднее ускорение
<a> тела за этот промежуток времени. Какова будет величина скорости тела в этот |
||||||||||||||||||||||
момент времени? |
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
||||||||||||||
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Материальная точка движется прямолинейно. |
|
|||||||||||||||||
s = A + Bt+Ct2+Dt3 |
|
|||||||||||||||||||||
B = 0,01 м/с |
|
|
Выберем ось OX направленной вдоль |
|
||||||||||||||||||
C = 0,14 м/c2 |
|
|
траектории точки. В этом случае величина |
|
||||||||||||||||||
D = 0,01 м/с3 |
|
|
пройденного пути равна s = x(t) - x(t0). |
|
|
|
||||||||||||||||
a = a0 |
= 1 м/с |
2 |
|
Начало координат выберем так, что x(t0) = 0. Тогда кинематическое |
||||||||||||||||||
|
|
уравнение движения имеет вид: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
v - ? |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x(t) = A + Bt+Ct2 + Dt3. |
|
|
|||||||||||||
<a> - ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Проекция скорости на ось OX: |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
v |
|
(t) dx |
|
|
A Bt Ct2 |
Dt3 |
|
B 2Ct 3Dt2. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
dt |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Проекция ускорения на ось OX: |
|
dvx |
|
|
|
d |
|
|
B 2Ct 3Dt2 |
2C 6Dt. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ax (t) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||||
По условию ax = a0 = 1 м/с, поэтому |
t a0 |
2C 1 2 0,14 12(c). |
||||||||||||||||||||
|
a |
x |
a 2C 6Dt. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6D |
6 0,01 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2
A1. Зависимость пройденного телом пути s от времени t дается уравнением s = A + Bt + Ct2 + Dt3, где B = 0,01 м/с С = 0,14 м/с2 и D = 0,01 м/с3. Через какое время t после начала движения тело будет иметь ускорение a =1 м/с2? Найти среднее ускорение <a> тела за этот промежуток времени. Какова будет величина скорости тела в этот момент времени?
Проекция среднего ускорения на ось OX:
ax (t) vx (t) vx (t0 ) . t t0
Проекция скорости на ось OX: vx (t) B 2Ct 3Dt2 ,
t0 0.
Проекция среднего ускорения:
|
ax (t) |
v |
(t) v |
(t |
0 |
) |
|
B 2Ct 3Dt2 |
B 2Ct |
0 |
3Dt |
0 |
|
||||
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
t |
t0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
t t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
B 2Ct 3Dt2 |
B |
2C |
3Dt 2 0,14 |
3 |
0,02 |
12 |
|
0,64(м / с2 ). |
||||||||
t |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: t = 12 c; <a> = 0,64 м/с2.
3
А2. Камень, брошенный горизонтально, упал на землю через время t = 0,5 с на расстоянии l = 5 м по горизонтали от места бросания. С какой высоты h брошен камень? С какой скоростью 0 он брошен? С какой скоростью он упадет на землю?
|
Какой угол составит вектор скорости камня с горизонтом в точке его падения на |
||||||||||||||||
|
землю. |
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|||||
|
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
|
|
пренебречь |
силой |
|
|
|
||||||||
|
t = 0,5 c |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
l = 5 м |
|
сопротивления |
воздуха, |
то |
|
|
|
|||||||||
|
V0 - ? |
|
вдоль оси OX камень движется |
|
|
|
|||||||||||
|
h - ? |
|
равномерно, а вдоль оси OY – |
|
|
|
|||||||||||
|
|
равноускоренно, |
с ускорением |
|
|
|
|||||||||||
|
V |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
равным |
g |
|
и |
направленным |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
вниз. Траектория показана |
на |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
рисунке |
(начало |
координат |
– |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
под точкой бросания). |
|
|
|
|
|
|||||||||
Кинематические уравнения движения камня: |
Отсюда: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x(t) = x0 + v0xt, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) = v0xt, |
|
||||||||
|
y(t) y |
|
v |
t |
ayt2 |
. |
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0 y |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
gt |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t) h |
|||
По условию задачи и в результате выбора |
2 |
. |
|||||||||||||||
системы отсчёта: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x0 = 0, y0 = h, v0y = 0, ay = -g. |
4 |
А2. Камень, брошенный горизонтально, упал на землю через время t = 0,5 с на расстоянии l = 5 м по горизонтали от места бросания. С какой высоты h брошен камень? С какой скоростью 0 он брошен? С какой скоростью он упадет на землю?
Какой угол составит вектор скорости камня с горизонтом в точке его падения на
землю.
Решение (продолжение)
Итак, кинематические уравнения движения
x(t) = v0xt, |
y(t) h |
gt |
2 |
. |
|
|
|||
2 |
|
|||
|
|
|
|
Когда камень упадёт на землю, x = l, y = 0 (см. рис.).
x(t) = v t = l, |
v0x l . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0x |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
l |
|
5 |
c 10(c). |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0x |
|
t |
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y(t) h |
gt |
2 |
|
h |
gt |
2 |
hм |
gt |
2 |
10 (0,5)2 |
1, 25( ). |
|
2 |
0, |
2 |
, |
2 |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5
А2. Камень, брошенный горизонтально, упал на землю через время t = 0,5 с на расстоянии l = 5 м по горизонтали от места бросания. С какой высоты h брошен камень? С какой скоростью 0 он брошен? С какой скоростью он упадет на землю?
Какой угол составит вектор скорости камня с горизонтом в точке его падения на землю.
|
Решение (продолжение) |
|
2 |
|
||
|
|
gt |
. |
|||
x(t) = v0xt, |
y(t) h |
|
|
|
||
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Из уравнений движения определим, как зависят от времени проекции скорости на оси координат.
vx (t) dx |
|
|
d |
v0xt v0x v0. |
|||||
|
dt |
||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
d |
|
|||
v |
|
(t) dy |
|
|
h gt |
gt. |
|||
y |
|
|
|
||||||
|
dt |
|
dt |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
Величина скорости в любой момент времени:
v(t) vx2 vy2 vx2 gt 2 vx2 g2t2 .
Величина скорости в момент падения (t = 0,5 c):
v(t) |
|
|
2 |
2 |
2 |
10 |
2 |
(10 |
0,5) |
2 |
11,1( / ). |
|
|
|
|||||||||||
|
vx |
g |
tм с |
|
|
6 |
А2. Камень, брошенный горизонтально, упал на землю через время t = 0,5 с на расстоянии l = 5 м по горизонтали от места бросания. С какой высоты h брошен камень? С какой скоростью 0 он брошен? С какой скоростью он упадет на землю?
Какой угол составит вектор скорости камня с горизонтом в точке его падения на землю.
|
Решение (продолжение) |
|
2 |
|
||
|
|
gt |
. |
|||
x(t) = v0xt, |
y(t) h |
|
|
|
||
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
vx (t) v0. |
vy (t) gt. |
|||||
Тангенс угла, образуемого вектором скорости с осью OX в любой момент времени (см.
рис.):
tg vy gt . vx v0
В момент падения (t = 0,5 c): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gt |
|
|
10 0,5 |
|
||
arctg |
|
|
arctg |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
26 . |
|||
|
|
|
|
10 |
|
|
||
|
v0 |
|
|
|
|
|
||
|
Ответ: |
h = 1,25 м; |
v0 = 10 м/с, v = 11,1 м/с, φ = 26˚. |
|||||
7
A3. Камень брошен горизонтально со скоростью 0 = 15 м/с. Найти нормальное аn и тангенциальное а ускорения камня через время t = 1 с после начала движения.
Дано:
0 = 15 м/с t = 1 с
аn - ? а - ?
Решение
Вектор ускорения камня во время полёта всегда направлен вниз, а по величине равен g (см.рис.).
Вектор ускорения камня можно представить, как сумму двух векторов, перпендикулярных друг
другу r r r r
a an at g.
Углы между вектором скорости и осью OX и векторами полного и нормального ускорения равны, как острые углы со взаимно перпендикулярными сторонами (см.рис.).
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
vy |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
cos vx |
|
|
|
|
arn |
|
|
|
, |
|
sin |
|
|
|
|
art |
|
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
v |
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
||||
an gvx |
|
|
gvx |
|
, |
a |
gvy |
|
|
|
gvy |
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
8 |
|||||||||||||
v |
|
|
vx2 vy2 |
t |
|
|
|
vx2 vy2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A3. Камень брошен горизонтально со скоростью 0 = 15 м/с. Найти нормальное аn и тангенциальное аt ускорения камня через время t = 1 с после начала движения.
Решение (продолжение)
an gvx |
|
gvx |
, a |
gvy |
|
gvy |
. |
|
|||||||
vx2 vy2 |
v |
|
|||||
v |
|
t |
|
vx2 vy2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Камень падает в поле силы тяжести и воль оси OX движется равномерно, а вдоль оси OY – с постоянным ускорением g. Проекции скорости камня зависят от времени так (см. решение предыдущей задачи):
vx (t) v0 , |
|
vy (t) gt. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставим выражения для модулей проекций скорости в формулы для an и at: |
||||||||||||
aм с |
|
gv0 |
|
|
9,8 15 |
|
|
8, 2( / 2 ), |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
n |
v2 |
g2t2 |
|
|
152 9,82 |
12 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aм с |
|
g2t |
|
|
9,82 1 |
|
|
5, 4( / 2 ). |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n |
v2 |
g2t2 |
|
|
152 9,82 |
12 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Ответ: a |
|
= 8,2 м/c2; |
a |
= 5,4 м/с2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
9 |
|
А4. Камень брошен горизонтально со скоростью 0 = 10 м/с. Найти радиус кривизны R траектории камня через время t = 3 с после начала движения.
Дано:
0 = 10 м/с t = 3 с
R - ?
Решение
Вектор ускорения камня во время полёта всегда направлен вниз, а по величине равен g (см.рис.).
Вектор ускорения камня можно представить, как сумму двух векторов, перпендикулярных друг
другу r r r r
a an at g.
Углы между вектором скорости и осью OX и векторами полного и нормального ускорения равны, как острые углы со взаимно перпендикулярными сторонами (см.рис.).
|
|
|
|
r |
|
|
an gvx |
|
gvx |
|
gv0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
cos vx |
|
|
|
arn |
|
|
|
, |
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
v |
|
|
|
g |
|
|
|
|
v |
|
vx2 vy2 |
|
v02 g2t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10