1. Маховое колесо, момент инерции которого I = 245 кг·м2, вращается с частотой = 20 об/c. Через время t = 1 мин после того, как на колесо перестал действовать момент сил М, оно остановилось. Найти момент сил трения Мтр и число оборотов N, которое сделало
колесо до полной остановки после прекращения действия сил. Колесо считать однородным диском.
|
|
|
Решение |
|||||
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем уравнение основного закона |
|||||||
|
||||||||
I = 245 кг·м2 |
|
динамики вращательного движения: |
||||||
= 20 об/c |
|
I Mтр . |
||||||
t = 1 мин |
|
|||||||
|
|
В проекциях на ось OX: |
||||||
Mтр - ? |
||||||||
|
I |
M . |
||||||
N - ? |
|
|||||||
|
|
xтр |
||||||
Отсюда проекция вектора углового ускорения на ось OX: |
||||||||
|
|
x |
|
Mтр |
. |
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
I |
|||
Величина углового ускорения постоянна, векторы углового ускорения и угловой скорости направлены противоположно. Проекция угловой скорости колеса на ось OX:
0 t. |
1 |
1. Маховое колесо, момент инерции которого I = 245 кг·м2, вращается с частотой = 20 об/c. Через время t = 1 мин после того, как на колесо перестал действовать момент сил М, оно остановилось. Найти момент сил трения Мтр и число оборотов N, которое сделало
колесо до полной остановки после прекращения действия сил. Колесо считать однородным
диском.
Решение (продолжение)
Колесо остановится, поэтому |
|
0 t 0. |
|
|
|
|
|||||||
Величина (модуль) вектора углового ускорения: |
|
|
|
|
|
||||||||
0 , |
0 2 , |
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
t |
I |
|
M . |
|
t |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
xтр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для модулей векторов: |
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|||
|
Mтр I I |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
245 |
2 3,14 |
20 |
513 |
|
|
. |
|||||
|
Mтр IН |
t |
м |
|
60 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2
1. Маховое колесо, момент инерции которого I = 245 кг·м2, вращается с частотой = 20 об/c. Через время t = 1 мин после того, как на колесо перестал действовать момент сил М, оно остановилось. Найти момент сил трения Мтр и число оборотов N, которое сделало
колесо до полной остановки после прекращения действия сил. Колесо считать однородным
диском.
Решение (продолжение)
Величина углового перемещения колеса изменяется как
0t t2 . 2
Из двух кинематических уравнений движения получаем |
||||
систему уравнений: |
|
t2 |
|
|
0t |
, |
|||
|
||||
0 |
t 0.2 |
|
||
Величину углового ускорения ε получим из второго уравнения и подставим в первое:
|
|
|
, |
|
t |
t2 |
t |
|
t2 |
|
|
t |
. |
||
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|||||||||
|
t |
|
|
|
0 |
|
2 |
0 |
2t |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0t |
. |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Маховое колесо, момент инерции которого I = 245 кг·м2, вращается с частотой = 20 об/c. Через время t = 1 мин после того, как на колесо перестал действовать момент сил М, оно остановилось. Найти момент сил трения Мтр и число оборотов N, которое
сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил. Колесо считать
однородным диском.
Решение (продолжение)
20t .
Величину углового перемещения φ выразим через число оборотов, сделанных до остановки, а начальную угловую скорость – через начальную частоту вращения:
2 N, |
|
0 2 . |
|
|||
После подстановки получим: |
|
|
|
2 t . |
|
|
2 N |
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
Отсюда полное число оборотов колеса до остановки: |
||||||
N |
|
t |
|
20 60 |
600. |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
||||
Ответ: Мтр = 513 H·м, N =4600.
5. Маховое колесо, момент инерции которого I = 245 кг·м2, вращается с частотой = 20 об/с. После того как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось, сделав N = 1000 об. Найти момент сил трения Мтр и время t, прошедшее
от момента прекращения действия вращающегося момента до остановки колеса.
Дано: |
|
|
Решение |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = 245 кг·м2 |
|
Запишем уравнение основного закона |
|||||
= 20 об/c |
|
динамики вращательного движения: |
|||||
N = 1000 |
|
I Mтр . |
|||||
|
|
||||||
Mтр - ? |
|
В проекциях на ось OX: |
|||||
t - ? |
|
I |
M . |
||||
|
|||||||
|
|
|
xтр |
||||
Отсюда проекция вектора углового ускорения на ось OX: |
|||||||
|
|
x |
|
Mтр |
. |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
I |
||
Величина углового ускорения постоянна, векторы углового ускорения и угловой скорости направлены противоположно. Угловое перемещение колеса
t |
t2 |
. |
|
0 |
2 |
|
5 |
|
|
5. Маховое колесо, момент инерции которого I = 245 кг·м2, вращается с частотой = 20 об/с. После того как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось, сделав N = 1000 об. Найти момент сил трения Мтр и время t, прошедшее
от момента прекращения действия вращающегося момента до остановки колеса.
Решение (продолжение)
Величина угловой скорости колеса изменяется как
0 t. |
|
|
|
Колесо остановится, поэтому |
|
|
|
0 |
t 0. |
|
|
Из двух кинематических уравнений движения получаем |
|||
систему уравнений: |
|
2 |
|
0t t |
|
, |
|
0 |
t 0.2 |
|
|
Величину углового ускорения ε получим из второго уравнения и подставим в первое:
|
|
|
, |
|
t |
t2 |
t |
|
t2 |
|
|
t |
. |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|||||||
|
t |
|
|
0 |
|
2 |
0 |
2t |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6
5. Маховое колесо, момент инерции которого I = 245 кг·м2, вращается с частотой = 20 об/с. После того как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось, сделав N = 1000 об. Найти момент сил трения Мтр и время t, прошедшее
от момента прекращения действия вращающегося момента до остановки колеса.
Решение (продолжение)
20t .
Величину углового перемещения φ выразим через число оборотов, сделанных до остановки, а начальную угловую скорость – через начальную частоту вращения:
2 N, |
0 2 . |
|
После подстановки получим: |
2 N |
2 t . |
|
||
|
|
2 |
Откуда время движения до остановки:
t2N 2 1000 100 c .
20
7
5. Маховое колесо, момент инерции которого I = 245 кг·м2, вращается с частотой = 20 об/с. После того как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось, сделав N = 1000 об. Найти момент сил трения Мтр и время t, прошедшее
от момента прекращения действия вращающегося момента до остановки колеса.
Решение (продолжение)
Теперь вернёмся к динамическому уравнению движения и найдём величину момента сил трения. Для проекций на ось OX:
|
I |
|
M . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
xтр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Величина момента сил трения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Или, для краткости, |
|
Mтр |
|
I |
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Mтр I . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Как было получено ранее, |
|
|
|
0 |
, |
t |
2N |
. |
|
||||||||
Теперь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
2 |
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
t |
|
2N |
|
|
2N |
|
|
N . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
5. Маховое колесо, момент инерции которого I = 245 кг·м2, вращается с частотой = 20 об/с. После того как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось, сделав N = 1000 об. Найти момент сил трения Мтр и время t, прошедшее
от момента прекращения действия вращающегося момента до остановки колеса.
|
|
Решение (продолжение) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mтр I , |
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
3,14 400 |
308 |
|
|
. |
|||
Mтр IН |
N |
м 245 |
1000 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: t = 100 c; Мтр = 308 H·м.
9
2. На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции которого I = 0,1 кг м2, намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом h0 = 1 м. Через какое время t груз опустится до пола? Найти
кинетическую энергию Ек груза в момент удара о пол и силу натяжения нити Т. Трением
пренебречь.
Дано:
m = 0,5 кг I = 0,1 кг·м2 R = 20 cм h0 = 1 м
t - ?
Ек - ? Т - ?
Решение
Прежде всего, запишем динамическое уравнение движения груза. Из второго закона
Ньютона:
ma mg T.
Для проекций на ось OY:
may mg T.
Если учесть, что груз опускается, то
ma mg T ,
где a - величина (модуль) проекции ускорения на ось OY
a = const., начальная скорость груза равна нулю, следовательно кинематическое уравнение движения можно записать так:
y h |
at2 |
. |
|
|
2 |
10 |
|||
|
|
|||
|
|
|
2. На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции которого I = 0,1 кг м2, намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом h0 = 1 м. Через какое время t груз опустится до пола? Найти
кинетическую энергию Ек груза в момент удара о пол и силу натяжения нити Т. Трением
пренебречь.
Решение (продолжение)
Через время t груз окажется на земле (y = 0), поэтому
|
at2 |
|
at2 |
t |
2h |
y h |
2 0, |
h |
2 , |
a . |
Величину ускорения можно определить из уравнения второго закона
Ньютона |
ma mg T , |
|
но для этого нужно знать величину силы натяжения нити T.
Запишем уравнение основного закона динамики вращательного
движения для барабана: |
|
|
|
I |
|
||
T |
, R . |
||
|
|
1 |
|
В проекциях на ось OZ, перпендикулярную плоскости рисунка:
I T1 R.
Из третьего закона Ньютона |
T |
T1 |
T. |
11 |
|
2. На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции которого I = 0,1 кг м2, намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом h0 = 1 м. Через какое время t груз опустится до пола? Найти
кинетическую энергию Ек груза в момент удара о пол и силу натяжения нити Т. Трением
пренебречь. |
Решение (продолжение) |
|
|
|
I T1 R, |
|
I TR. |
Величину углового ускорения ε можно выразить через величину
линейного ускорения a: a
R .
Теперь можно записать |
систему уравнений, |
из которой можно |
|||||||||||
определить a и T: |
|
|
I a TR, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ma mg T. |
|
|
|
|
|
|||
|
TR2 |
|
|
TR2 |
T |
mR2 |
1 |
|
|||||
a |
|
, |
m |
|
mg T, |
|
|
mg, |
|||||
I |
I |
|
I |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
T mg |
. |
|
|
|
12 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
I mR2 |
|
|
|
|||||
2. На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции которого I = 0,1 кг м2, намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом h0 = 1 м. Через какое время t груз опустится до пола? Найти
кинетическую энергию Ек груза в момент удара о пол и силу натяжения нити Т. Трением
пренебречь.
Решение (продолжение)
T mg |
|
I |
|
0,5 9,8 |
|
0,1 |
|
4,1 H |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
I mR2 |
0,1 0,5 0, 22 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найдём величину линейного ускорения a: |
|
|
|
|
||||||||
a |
TR2 |
|
R2 |
mg |
I |
|
|
mR2 |
g. |
|
||
I |
I |
I mR2 |
I mR2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставим выражение для a в формулу для времени движения груза:
|
|
|
|
2h |
|
2h |
|
I mR |
2 |
|
|
|
||||
|
|
t |
|
a |
|
|
g |
|
mR2 |
. |
|
|
||||
|
2h |
I mR |
2 |
|
2 1 |
0,1 0,5 0,22 |
1,1 c . 13 |
|||||||||
t |
g |
|
mR |
2 |
|
|
9,8 |
|
|
0,5 |
0,2 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции которого I = 0,1 кг м2, намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом h0 = 1 м. Через какое время t груз опустится до пола? Найти
кинетическую энергию Ек груза в момент удара о пол и силу натяжения нити Т. Трением
пренебречь.
Решение (продолжение)
Кинетическая энергия груза |
|
|
|
Ek mv |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скорость груза |
|
|
|
|
|
v at, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где |
|
|
a |
|
mR2 |
|
g, |
|
|
|
|
|
|
|
2h |
I mR2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
I mR2 |
|
|
|
t |
|
g |
|
mR2 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mR2 |
|
|
|
mv2 |
|
ma2t2 |
|
m |
mR2 |
|
|
|
|
2h |
|
I |
mR2 |
|
mgh |
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ek |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
g |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|||||||||
2 |
2 |
|
2 |
|
g |
mR |
|
|
|
|
I mR |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
I mR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
mR2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 0,22 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||
Ek mghДж |
|
0,5 9,8 |
1 |
|
|
0,5 0,22 |
0,82 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
I mR2 |
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ответ: t = 1,1 c; Ek = 0,82 Дж; Т = 144,1 H.
3. Две гири с разными массами соединены нитью, перекинутой через блок, момент инерции которого I = 50 кг м2 и радиус R = 20 см. Момент сил трения вращающегося блока Мтр = 98,1 Н м. Найти разность сил натяжения нити Т2 – Т1 по обе стороны
блока, если известно, что блок вращается с угловым ускорением = 2,36 рад/c2. Блок считать однородным диском.
Дано:
Mтр = 98,1 Н·м
I = 50 кг·м2 R = 20 cм
= 2,36 рад/c2
Т2 – Т1 - ?
Решение
Вращательное движение блока описывается основным законом динамики вращательного движения.
Запишем для блока:
I |
|
|
|
|
|
. |
||
T |
, R |
|
T |
, R |
M |
тр |
||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
Для проекций на ось OZ, направленную перпендикулярно
плоскости рисунка.
I T1R T2 R Mтр .
Согласно третьему закону Ньютона
|
T1 |
|
|
T1 |
|
, |
|
T2 |
|
|
|
T2 |
|
, |
|
T2 |
|
|
|
T1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I T2 T1 R Mтр . |
15 |
||||||||||||||
3. Две гири с разными массами соединены нитью, перекинутой через блок, момент инерции которого I = 50 кг м2 и радиус R = 20 см. Момент сил трения вращающегося блока Мтр = 98,1 Н м. Найти разность сил натяжения нити Т1 – Т2 по обе стороны
блока, если известно, что блок вращается с угловым ускорением = 2,36 рад/c2. Блок считать однородным диском.
Решение (продолжение)
I T2 T1 R Mтр .
Из этого уравнения получаем: |
I Mтр |
|
|
||||
|
|
T2 T1 |
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
R |
|
|
|
T2 |
T1 |
50 2,34 |
98,1 |
1080 |
H . |
||
|
|
0,2 |
|
|
|
||
Ответ: T2 – T21 =1,08 кН.
16
3А. Две гири с разными массами соединены нитью, перекинутой через блок, момент инерции которого I = 50 кг м2 и радиус R = 20 см. Момент сил трения вращающегося блока Мтр = 98,1 Н м. Найти разность сил натяжения нити Т2 – Т1 по обе стороны
блока, если известно, что массы гирь m1 = 1 кг, m2 = 1,5 кг. Блок считать однородным
диском. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Дано: |
|
Решение |
|
|
|
|
||
Mтр = 98,1 Н·м |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
I = 50 кг·м2 |
Поступательное движение гирь описывается |
|||||||
R = 20 cм |
вторым законом |
Ньютона, |
а вращательное |
|||||
m1 = 1 кг |
движение блока – основным законом динамики |
|||||||
m2 = 1,5 кг |
вращательного движения. |
|
|
|
||||
|
Запишем для гирь и блока: |
r |
|
|
||||
Т2 – Т1 - ? |
r |
|
r |
|
|
|||
m1a1 |
m1g T1. |
|
|
|||||
|
|
|
||||||
|
r |
|
r |
r |
|
|
||
|
m2a1 |
m2 g T2 . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
I T , R |
T , R M |
тр |
|||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|||
Перепишем систему уравнений. Для этого первое и второе уравнения запишем для проекций на вертикальную ось OY, а третье – для проекций на ось OZ, направленную
перпендикулярно плоскости рисунка. |
17 |
3А. Две гири с разными массами соединены нитью, перекинутой через блок, момент инерции которого I = 50 кг м2 и радиус R = 20 см. Момент сил трения вращающегося блока Мтр = 98,1 Н м. Найти разность сил натяжения нити Т2 – Т1 по обе стороны
блока, если известно, что массы гирь m1 = 1 кг, m2 = 1,5 кг. Блок считать однородным диском.
Решение (продолжение)
m1a1 m1g T1,m2a1 m2 g T2 ,
I T1R T2 R Mтр .
Согласно третьему закону Ньютона
|
T1 |
|
|
T1 |
|
, |
|
T2 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
T2 |
|
T1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Нить нерастяжима, поэтому |
|
a2 |
|
a1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
Величину углового ускорения ε можно выразить через величину линейного ускорения a:
|
a |
. |
18 |
|
|||
|
R |
|
|
3А. Две гири с разными массами соединены нитью, перекинутой через блок, момент инерции которого I = 50 кг м2 и радиус R = 20 см. Момент сил трения вращающегося блока Мтр = 98,1 Н м. Найти разность сил натяжения нити Т2 – Т1 по обе стороны
блока, если известно, что массы гирь m1 = 1 кг, m2 = 1,5 кг. Блок считать однородным диском.
Решение (продолжение)
Система уравнений приобретает вид:
m1a m1g T1,
m2a m2 g T2 ,
I Ra T2 R T1R Mтр .
Вычтем из второго уравнения первое и выполним элементарные преобразования в третьем:
m1 m2 a m2 m1 g T2 T1 ,
I |
a |
T2 T1 R Mтр . |
|
R |
|||
|
19 |
3А. Две гири с разными массами соединены нитью, перекинутой через блок, момент инерции которого I = 50 кг м2 и радиус R = 20 см. Момент сил трения вращающегося блока Мтр = 98,1 Н м. Найти разность сил натяжения нити Т2 – Т1 по обе стороны
блока, если известно, что массы гирь m1 = 1 кг, m2 = 1,5 кг. Блок считать однородным диском.
Решение (продолжение)
m1 m2 a m2 m1 g T2 T1 , I Ra T2 T1 R Mтр .
Разделим первое уравнение на второе: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
m1 m2 R |
|
m2 m1 |
g T2 |
T1 |
|
, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
I |
T2 |
T1 R Mтр |
|
|
|
|
|||||
1 |
2 |
|
2 |
|
1 |
2 |
1 |
|
||||||||
1 |
|
|
тр |
|
2 |
|
|
|||||||||
m m |
|
T |
T R M |
|
|
m g T T , |
||||||||||
|
|
R I m |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 m2 T2 T1 |
R2 m1 m2 Mтр R I m2 m1 g I T2 T1 , |
|||||||||||||||
20
3А. Две гири с разными массами соединены нитью, перекинутой через блок, момент инерции которого I = 50 кг м2 и радиус R = 20 см. Момент сил трения вращающегося блока Мтр = 98,1 Н м. Найти разность сил натяжения нити Т2 – Т1 по обе стороны
блока, если известно, что массы гирь m1 = 1 кг, m2 = 1,5 кг. Блок считать однородным
диском.
Решение (продолжение)
m1 m2 T2 T1 R2 m1 m2 Mтр R I m2 m1 g I T2 T1 ,
2 |
1 |
1 |
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
тр |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
m m R |
2 |
|
m M R Ig m m , |
|||||||||||
T T I |
|
m |
||||||||||||||
|
T2 |
T1 |
|
m1 m2 Mтр R Ig m2 |
m1 |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
I m1 m2 |
R2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 1,5 |
|
98,1 |
0,2 50 |
9,81 |
|
1,5 |
1 |
|
|
|
|
||
T2 |
T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5,9 |
|
H . |
||||
|
|
|
|
50 |
|
1 1,5 0,22 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
21
4. Найти линейные скорости движения центров шара, диска и обруча, скатывающихся без проскальзывания с наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости h = 0,5 м, начальная скорость всех тел 0 = 0. Сравнить найденные скорости
со скоростью тела, соскальзывающего с наклонной плоскости при отсутствии трения.
Решение
Дано:
h = 0,5 м0 = 0
v - ?
Задачу решим с помощью закона сохранения энергии. Любое из трёх перечисленных в условии тел участвует в двух движениях – поступательном с скоростью v и вращательном вокруг своего центра масс. Поэтому кинетическая энергия тела складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения.
В системе действуют только консервативные силы |
|
|
(трения нет), поэтому изменение полной механической |
|
|
энергии равно нулю. |
E 0. |
|
|
|
|
|
Ek U 0. |
|
Ekпост Ekвращ U 0. |
22 |
|
4. Найти линейные скорости движения центров шара, диска и обруча, скатывающихся без проскальзывания с наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости h = 0,5 м, начальная скорость всех тел 0 = 0. Сравнить найденные скорости
со скоростью тела, соскальзывающего с наклонной плоскости при отсутствии трения.
Решение (продолжение)
Ekпост Ekвращ U 0.
U U2 U1 mgh,
потенциальная энергия тела в поле силы тяжести уменьшилась. Ekпост mv222 mv212 mv2 2 ,
кинетическая энергия поступательного движения тела увеличилась.
I 22 I 12 I 2 ,
2 2 2
кинетическая энергия вращательного движения тела увеличилась. Здесь ω - угловая скорость вращения тела.
mv2 |
|
I 2 |
mgh 0. |
|
2 |
2 |
|||
|
23 |
4. Найти линейные скорости движения центров шара, диска и обруча, скатывающихся без проскальзывания с наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости h = 0,5 м, начальная скорость всех тел 0 = 0. Сравнить найденные скорости
со скоростью тела, соскальзывающего с наклонной плоскости при отсутствии трения.
Решение (продолжение)
mv2 I 2 mgh 0. 2 2
Любое из тел катится без проскальзывания, поэтому
Rv .
mv2 |
|
Iv2 |
v2 |
I |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
mgh. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 mgh. |
|
|
2 |
|||
2 |
2R |
2 |
|
R |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
v |
2mgh |
. |
||
|
||||
|
m |
I |
|
|
|
R2 |
|||
|
|
|||
По этой общей формуле можно найти скорость любого из трёх тел, для этого достаточно подставить выражение для момента инерции соответствующего тела.
24