Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Инженерно-технологическая академия ЮФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Книги / Книга Проектирование ВПОВС (часть 2)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

4.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 365 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

что количество разрядов АЦП должно быть не менее 12. Точное значение

требуемой разрядности АЦП возможно после анализа конкретного алгоритма определения угловых координат с начальной погрешностью данных 0.

1.4. Математическая постановка задачи пространственного разрешения

угловых координат источников

Для решения задачи пространственного разрешения угловых координат источников сигналов был выбран метод, основанный на использовании свойства ортогональности векторам направлений прихода сигналов с выходов элементов антенной решетки соответствующего минимальному собственному значению матрицы, если число элементов антенной решетки больше количества источников сигналов.

Антенная решетка представляет набор ненаправленных микрофонов,

расположенных эквидистантно в вертикальной плоскости. Там же показано расположение гидрофонов и их нумерация (рис. 1.3).

1	2	3	m
		d
			d
m + 1	m + 2	m + 3	2n

(n – 1)m + 1

(n – 1)m + 2

(n – 1)m + 3

n – 1

Рис. 1.3

Считаем, что измерение ведется на одной частотной компоненте, для которой расстояние между гидрофонами

d
d	2	(1.55)
		(1.55)

где – длина волны.

Амплитуды сигналов постоянны. В каждом микрофоне аддитивно присоединяются гауссова помеха, некоррелированная по каналам приема.

В результате аналитическое выражение для амплитуды напряжения в опорном канале имеет вид:

					A exp				2 d
				x	A exp			1			mx 1		,
				x	1		j	1

sin		1	cos Q nx 1 sin Q									A axp			,
		1			1					1		2		j
					2 d	mx 1 sin								...
	2					mx 1 sin				2		cos Q ]		...
	2									2		1

... A axp					2 d	mx 1 sin		,
... A axp						mx 1 sin		,	(1. 56)
	k	j		k			k		(1. 56)

где A1, A2, …, Ak –	амплитуды сигналов;
1, 2, …, k, –	случайные		фазы, имеющие равномерный закон
распределения в интервале 0 – 180°;
mx – номер столбца антенной решетки;

nх – номер строки антенной решетки; x – номер опорного канала;

1, 2, …, k, – проекция в горизонтальной плоскости пространственного угла, характеризующего направление прихода сигналов.

Q1, Q2, …, Qk – проекция в вертикальной плоскости пространственного угла, характеризующего направление прихода сигналов;

Un – шумовая помеха.

Элементы Р-матрицы взаимных корреляционных моментов сигналов с выходов антенной решетки формируются в виде:

Px	~	y,
Px	y x	y,
i

где ~ – знак усреднения;

* – знак комплексного сопряжения;

x, y 1, m n – номер элемента в антенной решетке; m – число элементов антенной решетки в строке;

п – число элементов антенной решетки в столбце.

Алгоритмы определения угловых координат источников сигналов состоит из следующих этапов:

(1. 57)

1)формирование элементов матрицы Р(m n, m n) – взаимных корреляционных моментов сигналов в соответствии с (1.57);

2)нахождение собственных чисел матрицы Р и расположение их в

убывающем порядке. Старшие собственные числа		,	,...,	по количеству
убывающем порядке. Старшие собственные числа	1	2	k	по количеству

соответствуют k – числу источников сигналов, а младшие m n – k собственных


чисел			,	,...,		,	являются оценками спектральной мощности шума и
чисел	k 1		k 2		m m		являются оценками спектральной мощности шума и
равны или очень близки между собой;
	3)	вычисление					собственного вектора матрицы Р, соответствующего
минимальному собственному значению
минимальному собственному значению								m m ;
	4)	просчет			многочлена образованного скалярным произведением

собственного вектора, вычисленного в п. 3, и вектора направлений с некоторым шагом и по углам и . Многочлен имеет вид:

F x x

j 2

... x

j (m 1)

j (

m 1

m 2

j ( 2 )

... x

j ( (m1) )

j 2 )

2m1

)

(1.58)

		x	2m 2	e j (2 ) ... x			nm	e j (n 1) (m 1) ) ,
			2m 2				nm
где	2 d	sin ,			2 d	sin cos ,
где		sin ,				sin cos ,

Тогда

		1		.
lim				.
		F
		F
Q
		i
	i		,
	i	i

(1.59)

где i 1, K

– номер источника.

Вычисляя многочлен F, соответствующий требуемой точности обнаруже-

ния сигналов шагами и по и , находят угловые координаты сигналов

в местах пиковых выбросов функции	1	.
	F

Так как при малых углах между векторами собственные значения 1 , 2 ,..., k очень близки и,

направлений сигналов

если	i		Q j		,	то


		i		j

источники сигналов при просчете многочлена (1.58) сольются в один. Для определения координат двойного источника необходимо в окрестности точек

	,	, i 1, k;	просчитать многочлен (1.58) с уменьшенным шагом и большей
i	i		просчитать многочлен (1.58) с уменьшенным шагом и большей

разрядностью.

1.5. Разработка и анализ численных алгоритмов

1.5.1. Формирование матрицы взаимных корреляционных моментов

Формирование элементов матрицы Р взаимных корреляционных моментов сигналов осуществляется в соответствии с выражением (1.57 ) по формуле

где

	x y
P	x y	/ l	,
x, y		1

x 1, mxn; y 1, mx;

(1.60)

l1 – количество усреднений.

Матрица Р является эрмитовой размерами (m n) (m n). Эрмитовыми

называются матрицы вида
P + iQ,	(1.61)

где	Р – вещественная и симметричная;
	Q – вещественная и косометрическая,
т. е.
	QT = – Q,	(1.62)

где Т – знак транспонирования.

Значения x, y поступают в 12-разрядном коде. Элементы матрицы взаимных корреляционных моментов Px,y получаются в 25-разрядном двоичном коде.

1.5.2. Алгоритм определения собственных значений

Фундаментальная алгебраическая проблема заключается в определении ,

при которых система однородных уравнений с неизвестными:

			Ax = x;							(1.63)
имеет нетривиальное значение
			(A – I )x = 0.							(1.64)
Нетривиальное решение существует, если матрица (А – I ) особенная, т. Е.
			det(A – I ) = 0							(1.65)
или если записать в виде многочлена						( 1)			0
		...			n 1	( 1)	n	n	0	(1.66)
					n 1		n	n
	0	1		n 1
	0	1		n 1

Выражение (1.63) является характеристическим уравнением матрицы А.

Левая часть (1.63) называется характеристическим номиналом.

Корни (1.63) называются собственными значениями А. Каждому собственному значению соответствует одно нетривиально x. Такое решение называется собственным вектором.

1.5.2.1. Определение собственных значений

Методы определения собственных значений делятся на две основные группы: прямые методы и итерационные. Прямые методы состоят в том, что с помощью подобных преобразований исходная матрица приводится к матрице,

для которой легко находятся коэффициенты характеристического многочлена.

Прямые методы очень чувствительны к ошибкам округления результатов промежуточных вычислений, для матриц большого размера требуются значительные вычислительные затраты для нахождения корней характеристического многочлена.

Устойчивость решения сильно зависит от исходной матрицы А, если она имеет кратные собственные значения, то матрица системы будет обязательно вырожденной. Система с вырожденной матрицей не может иметь устойчивого решения. В силу этих причин применение прямых методов для матриц большого размера и матриц, имеющих кратные собственные значения, не-

приемлемо.

В итерационных методах собственные значения находятся как пределы некоторых числовых последовательностей без предварительного определения коэффициентов характеристического многочлена. Они менее чувствительны к ошибкам округления результатов промежуточных вычислений и поэтому могут применяться для определения собственных значений матриц большого размера.

Среди итерационных методов можно выделить: метод вращений, степенные методы, градиентные методы, основанные на спектральном анализе и др.

Наиболее эффективны методы вращений и степенные методы. Однако скорость сходимости степенных методов невелика и не превышает скорости сходимости геометрической прогрессии, а наличие кратных собственных значений замедляет их сходимость или делает эти методы неустойчивыми.

Наиболее предпочтительным методом является метод вращений (метод Якоби) с понижением нормы для действительных матриц.

Метод Якоби прост, легко распараллеливается, всегда обладает асимптотической квадратической сходимостью. Наличие кратных и близких собственных значений в отличие от других итерационных методов не только не замедляет сходимость, но, напротив, приводит к её ускорению. Что существенно при малых углах между векторами сигналов, так как в этом случае собственные значения матрицы взаимных корреляционных моментов очень

близки. Кроме того, равны или близки младшие собственные значения,

являющиеся оценками спектральной мощности шума на входе антенной решетки, точность определения в методе Якоби собственных значений и векторов сравнима с длиной машинного слова.

Рассмотрим математическое содержание метода. Пусть задана действительная матрица А размера n x n, для которой требуется определить

собственные значения и собственные векторы, и унитарная матрица

T = T1 T2 … Tj … формируется, как последовательность преобразований

Tj. Матрица Tj выбирается так, чтобы максимально уменьшать сумму квадратов модулей недиагональных элементов матрицы А.

Тогда A' = Т–1 А Т будет диагональной с элементами, равными собственным значениям матрицы А, а Т и Т–1 – представляют соответственно

правую и левую систему собственных векторов.

Будем формировать матрицы Tj в виде произведения двух матриц RxS:

R : r	r	cos x,	(1.67)
kk	mm		(1.67)

r	r	sin x,	(1.68)
km	mk		(1.68)

остальные

r		i, j
i, j		i, j

S : Skk Smm chy,

S	km	S	mk	shy,
	km		mk

(1.69)

остальные

i, j

Пара индексов (k, m) выбирается на каждом

циклического перебора. Матрица Тj

будет иметь вид

: t

C ,

остальные ti, j

i, j ,

шаге итерации путем

t	mk	S	2	,	(1.70)

где	c1 cos x chy sin x shy;
	c2 cos x chy sin x shy;
	S1 cos x shy sin x chy;	(1.71)
	S2 sin x chy cos x shy.

Метод состоит в построении последовательности матриц

A	A, A , A		,..., A	,...A	,
0	1	2	j		,

где матрица Аj+1 формируется как произведение

A		T	1	A	T	.
	j 1		j
				j	j

Правое преобразование изменяет лишь элементы

(1.72)

(1.73) k-го и столбца матрицы

Aj:

a i, k C1 a i, k S2 a(i, m),	i 1,
a i,m S1 a i,k C2 a(i,m),

Левое преобразование изменяет лишь элементы k-го и

n,
i 1, n.	(1.74)
	(1.74)

столбца матрицы

a k,i C2 a k,i S2 a(m,i),	i
a m,i S1 a k,i C1 a(m,i),	i

В матрице Т можно получить правые или левые например, получение правых собственных векторов:

1, n

(1.75)

собственные вектора,

t i, k C1 t(i, k) S2 t(i, m), t i, m S1 t(i, k) C2 t(i, m),

Параметр определяется из соотношения

i1, n,

(1.76)

	tg 2x	(a		km	a		mk	)
				km			mk		.	(1.77)
		(a			a			)

				kk		mm
				kk		mm
Параметр у удовлетворяет соотношению (2.18 ):
	thy (ed h		) g 2 e					2	d 2	(1.78)
		2							,	(1.78)
		2
где e = akm – amk
	d (akk amm ) cos 2x akm amk sin 2x,
g 2 aki ami	aik aim cos 2x sin 2x a2 ki a2 mi a2ik a2im . (1.79)
i k ,m									i k ,m
Результирующая матрица будет блочно-диагональной:										блоки размером

1x1 содержат действительные собственные значения, а блоки размером 2x2:

–

		a

		a
		a

jj	a	j, j 1

j, j 1	a		jj

  

(1.80)

соответствуют комплексным собственным значениям.

Приведенную процедуру можно использовать для отыскания собствен-

ных значений комплексной матрицы
A = ReA + JmA.			(1.81)
Для этого её необходимо представить в виде
	Re A	JmA
A		.	(1.82)
	JmA		(1.82)
	JmA	Re a

1.5.3. Нахождение собственного вектора

Нахождение собственного вектора сводится к решению системы

линейных алгебраических уравнений:

(P	E)x 0.	(1.83)
m,n		(1.83)
Рассмотрим существующие методы решения		систем линейных

уравнений. Это прямые итерационные, специальные методы.

К прямым методам относят методы Гаусса, Жордана, Холецкого.

При решении системы Ax = b неизвестен только вектор x. Матрицу А и вектор x можно объединить в расширенную матрицу размерности n (n + 1).

C этой матрицей можно обращаться так же, как и с уравнениями, т.е. две строки могут переставляться и кратное любой строки i может прибавляться к

любой строке.

Это как раз соответствует тому, что выполняется в алгоритме Гаусса. Его

первый шаг включает действия:

1. Найти	a	(0)	0	в первом столбце. Если такого элемента не
		r1

существует, тогда А вырожденная и процедура завершается выдачей матрицы

Ав качестве результата.

2.Поменять местами строки 1 и r матрицы А(0) (если r = 1, то перестановка не требуется).

3. Вычесть fi,1 a1

из строк i 2, n

		a	(0)
f		a	i,1	,
f				,

	i,1	a	(0)
		a
		1,1

, где


i 2, n .			(1.84)

Так как для всех i, i 1, элемент в первом столбце обращается в нуль

		a		(0)	a				a	(0)
				(0)						(0)
a	(1)			i,1				i1	1,1			0,
a	i,1				a	(0)						0,
	i,1					(0)

					1,1
то матрица A(1) примет вид
		a			a				...a				b
				11			12				1n		1
				11			12				1n		1
A(1)				0	a		22		...a		2n		b
A(1)							22				2n		1 .
			...							...
			...							...

				0	a				...a				b
				0	a		n2		...a		nn		b
							n2				nn		1

(1.85)

(1.86)

Нахождение величины r называется выбором ведущего элемента. Обычно поиск ограничивается одним столбцом, и выбор ведущего элемента в этом случае является частичным.

Применение этих шагов n раз сводит А к треугольному виду и выполняя обратную подстановку находим неизвестный вектор x, т.е. система Ax = b в

конечном счете преобразуется в

Rx = C,

(1.87)

где R – верхняя треугольная матрица

r		r	...	r	x			C
	11	12		1n			1			1

	0	r	...	r		x	2		C	2
		22		2n
	...		...			...			...



	0	0	...	r		x			C
							n			n
				nn

(1.88)

Значения неизвестных можно вычислить из (1.88):

xn	Cn	; xn 1	C	n 1	r	x
				n 1	n 1		n
	rnn			rn 1,n 1			(1.89)
	rnn			rn 1,n 1

и т. д. для xn 2 , xn 3 ,..., x3 , x2 , x1

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 365 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Книги

#
01.06.20154.62 Mб84Книга Проектирование ВПОВС (часть 2).pdf
#
01.06.201536.23 Mб94ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПОВС (последнее).doc
#
01.06.201538.01 Mб106ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПОВС (последнее)2.doc