Книги / Книга Проектирование ВПОВС (часть 2)

Квазиоптический подход является сочетанием приближенного описания нелинейного распространения плоских волн с линейной теорией дифракции,

причем дифракция учитывается в приближении поперечной диффузии. Он позволяет провести исследование нелинейного распространения волн или пучков с различными амплитудными распределениями, а также сфокусированных пучков в идеальных и диссипативных средах, генерации

гармоник в пучках, параметрического взаимодействия звуковых пучков и т.д.

Поэтапный подход, развиваемый в работах Островского Л.А. и Сутина А.М., заключается в разделении процесса распространения волны на этапы линейной дифракции и нелинейного искажения. В ближней зоне излучателя, на первом этапе, учитывается только нелинейность. На втором этапе, в процессе дальнейшего распространения волны, рассматривается линейная дифракция

нелинейно-искаженной волны.

распространения ультразвуковых пучков, к которым приводят метод малого параметра и квазиоптический подход.

При исследовании волновых процессов в качестве малого параметра, как

21

состояние среды, в которой распространяется акустическая волна, можно представить следующим образом:

порядок малого параметра М. Поэтому, разлагая нелинейные функции в основных уравнениях гидродинамики в ряды по степеням этих величин и ограничиваясь различным числом членов этих рядов, можно получать

уравнения различных приближений.

Уравнение Бюргерса. В случае распространения плоских волн в нелинейной диссипативной среде при некоторых упрощающих

предположениях из общих уравнений гидродинамики выводится указанное выше уравнение Бюргерса:

распространения плоских волн. Решение этого уравнения при гармоническом возбуждении обычно представляется в виде ряда

22

ряда. При этом решение уравнения (1.18) описывается следующим равенством:

Из этого выражения следует, что если велико, то амплитуда сигнала

существенно зависит от ее начального значения, причем в этом случае звуковая волна экспоненциально затухает с увеличением расстояния x. При малых значениях нелинейность проявляется сильно и амплитуда звукового давления практически не зависит от своего начального значения, а определяется только свойствами среды.

Уравнение Бюргерса позволяет провести исследование и явления параметрического излучения. Так, в работе Фенлона путем решения

обобщенного уравнения Бюргерса

где n 0; 0,5; 1 методом последовательных приближений было показано, что функция направленности пучка разностной частоты для дальнего поля равна произведению функций направленности первичных волн.

Уравнение ХЗК. Как показано в работе Н.С. Бахвалова, Я.М. Жилейкина и Е.А. Заболотской [4], разлагая нелинейные функции в уравнениях гидродинамики в ряды и сохраняя в них члены, порядок малости которых не выше чем M 2 , можно получить нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных третьего порядка, которое учитывает затухание и дифракцию волн:

23

звукового давления штрих опущен для краткости.

Уравнение (1.22) без учета затухания впервые было получено в 1969 г. в

работе Е.А. Заболотской и Р.В. Хохлова [20] с использованием метода медленно меняющегося профиля в рамках квазиоптического подхода. Вывод его из уравнений гидродинамики с учетом затухания выполнен в 1970 г. В.П.

Кузнецовым в работе [21]. Поэтому оно называется уравнением Хохлова – Заболотской – Кузнецова (уравнение ХЗК).

Это уравнение приводит к результатам, более точно соответствующим экспериментальным, по сравнению с моделью Вестервельта или уравнением Бюргерса. Поэтому в настоящее время оно широко применяется для описания узких акустических пучков. Это уравнение используется и в данной работе при исследовании явления параметрического излучения.

Первое слагаемое уравнения ХЗК определяет изменение плотности среды вдоль оси пучка, второе и третье – учитывают влияние соответственно нелинейности и затухания. Поперечный лапласиан ответственен за дифракционные изменения в пучке. Так как точное общее решение уравнения ХЗК не найдено, то его исследование обычно осуществляется приближенными методами. В частности, опуская в нем те или иные члены, получают упрощенные уравнения, позволяющие анализировать в отдельности влияние нелинейности, затухания или дифракции на распространение акустических волн.

В последние годы найден класс точных частных решений уравнения Хохлова – Заболотской, т.е. уравнения (1.22), но без учета затухания.

Полученные решения являются комплексными и соответствуют распределению Гаусса на поверхности излучателя колебательной скорости плоской или сферической волны. Поэтому они не могут применяться при других типах волн и граничных условий.

24

При решении уравнения ХЗК чаще всего рассматриваются гармонические колебания, причем левое граничное условие, определяется распределением акустического давления или плотности среды на поверхности излучателя. В большинстве известных работ амплитуда принимается распределённой по закону Гаусса

Пренебрегая вторым слагаемым в уравнении (1.22), получают линейное уравнение ХЗК первого приближения. Его решение, при краевом условии

(1.23), ищется в виде A(r, x)sin . Подстановка этого решения в уравнение ХЗК первого приближения приводит к следующему параболическому

уравнению:

Это уравнение описывает изменения амплитуды и направления фазового фронта акустической волны.

Подвергая уравнение (1.24) прямому преобразованию Ганкеля с учетом граничного условия (1.23) и разрешая его, получают изображение искомого решения. Обратное преобразование дает

Это хорошо известное выражение для амплитуды решения линейного

приближения уравнения ХЗК [21] описывает влияние как дифракции, так и затухания. Амплитуда (1.25) является комплексной величиной. Действительная амплитуда и фаза колебаний определяется формулами:

25

Однако в целом использовать данный подход для построения моделей распространения акустических волн с целью повышения качества зондирования в системах поиска и обнаружения оказывается не эффективным. Данный подход чаще всего используется как тестирующий для оценки качества методов, основанных на более простых подходах, в частности на основе лучевой акустики.

1.2.1. Лучевая акустика

Лучевая акустика базируется на тех же принципах, что и оптика. Однако

вотличие от оптики длина волны в данном случае не является малой для диапазона слышимых звуков. Учитывая то, что скорость распространения звука

вморской среде выше чем в воздушной, то для используемых в локации частот волны в морской среде являются короткими. Это позволяет, хотя и ограниченно, применить для анализа лучевой метод моделирования распространения звуковых волн в морской среде.

1.2.1.1. Волновые фронты

Рассмотрим случай распространения волны от импульсного точечного источника в однородной среде. В данном случае распространение давления от точечного источника будет иметь сферический характер. Следовательно,

давление можно определить как функцию времени и расстояния f(Сt-r). Тогда

скорость звука в среде. На рисунке 1.1 показано распространение акустической волны в однородной среде.

26

W=Cdt

Рис. 1.1.

Давление в точке r=0 равно Р(0)=Р0 , тогда через время t1 r1=ct1 давление

Величина t0 имеет различные значения для различных волновых фронтов, но постоянна во времени и пространстве для данного волнового фронта. Функция

W, очевидно, имеет размерность длины.

Для того чтобы применить картину звуковых лучей к случаю энергии,

несомой такими обобщенными волновыми фронтами, необходимо также обобщить определение луча. Нельзя более предполагать, что лучи есть прямые линии, так как допускаются явления, преломления и отражения. Однако следует сохранить свойство лучей – перпендикулярность к волновым фронтам.

Конечно, далеко не очевидно, что результат такого нового подхода будет находиться в согласии с результатами прямого решения волнового уравнения в начальных и граничных условиях. Сравнение результатов, получаемых на основании лучевой картины, с результатами точного решения волнового уравнения, показывает, что во многих практических случаях оба подхода приводят к сходным результатам.

Геометрически лучи и последовательные волновые фронты можно построить так, как это показано на рис. 1.1. Волновой фронт в момент времени t

27

= 0 (уравнение которого будет W = - c0 t0 ) изображен на рис. 1.1 внутренней замкнутой кривой. Для того, чтобы определить волновой фронт в момент времени dt, малые элементы лучей строятся как прямолинейные отрезки,

перпендикулярные к исходному волновому фронту, как это показано на рис. 1.1

в точке (х, у, z). В момент времени dt концевая точка луча, исходящего из точки (х, у, z), будет находиться на расстоянии с dt от начального волнового фронта, где с – скорость звука в точке (х, у, z). Если этот прием применить ко всем точкам поверхности первоначального волнового фронта, то конечные точки лучевых элементов определят вторую поверхность, которую можно рассматривать как волновой фронт в момент времени dt. Повторяя последовательно такое построение, можно получить волновые фронты для любого значения времени ±. Этот метод постепенного определения волновых фронтов для решения оптических задач посредством последовательного расширения исходного волнового фронта был первоначально предложен голландским физиком Гюйгенсом.

1.2.1.2. Дифференциальные уравнения волновых фронтов

Построение волновых фронтов, описанное в предыдущем параграфе,

является чисто геометрическим; необходимо теперь найти соответствующие этому построению аналитические выражения. Пусть Р будет некоторая точка волнового фронта в момент времени t0. Уравнение волнового фронта определяется выражением (1.28):

Пусть координаты точки Р будут (х, у, z); пусть далее РР' будет элемент луча, исходящий из точки Р и соответствующий интервалу времени dt; пусть,

наконец, , , будут направляющие косинусы прямолинейного отрезка РР'.

28

Если предположить, что cdt очень мало, то левая часть уравнения (1.29)

очень мало отличается от выражения, приведенного ниже [97]

Если подставим это выражение в уравнение (1.29) и используем уравнение (1.28), то уравнение (1.29) сведется к следующему:

Теперь нужно исключить из уравнения (1.31) направляющие косинусы

, , . Из аналитической геометрии известно, что направляющие косинусы нормали к поверхности W в точке (х, у, z) удовлетворяют пропорции:

Поскольку сумма квадратов направляющих косинусов равна единице

то можно определить коэффициент пропорциональности в сложной пропорции

29

Уравнение (1.37) часто называется уравнением эйконала и является основным уравнением в лучевой акустике. Однако её использование для расчёта поля затруднительно, так как фактически необходимо решать нелинейную систему уравнений в частных производных первого порядка. С

целью упрощения построим систему равнений обеспечивающих получение волнового фронта прямым интегрированием исходной системы.

Пусть задана система дифференциальных уравнений N-го порядка:

где x – есть производная по t, в которой один из начальных параметров,

например xj(0)= , непрерывно изменяется. Обычно для отыскания полного решения поставленной задачи используется следующий метод. Область изменения параметра разбивается на ряд дискретных точек с шагом . Шаг может быть равномерный или переменный в зависимости от требований задачи.

Если специальные ограничения накладываются, то шаг выбирается равномерным. Для каждого значения k= o + k строится своя система дифференциальных уравнений:

30