Книги / Книга Проектирование ВПОВС (часть 2)

однако возможности этого метода ограничены невысокой мощностью формируемых пучков [14].

Значительное уменьшение ширины ультразвукового пучка можно получить за счет повышения рабочей частоты. Однако повышение рабочей частоты приводит к увеличению поглощения ультразвуковой энергии и соответственно уменьшению глубины лоцирования.

Одним из распространенных методов получения узких ультразвуковых пучков является применение различных методов фокусировки [13, 17, 9].

Фокусировка может достигаться за счет изменения формы преобразователя или использования акустических линз. Однако такие системы являются громоздкими и весьма ненадежными в процессе эксплуатации. В последние годы широкое распространение получил метод электронной фокусировки [6,

17, 8]. Он применяется как в системах ультразвуковой медицинской диагностики, так и в системах гидролокации, и позволяет получить достаточно высокое разрешение.

Электронное управление зондирующим лучом и его фокусировка реализуются с помощью сложного излучателя, представляющего собой решетку или линейку преобразователей, фазы питающих напряжений которых изменяются по определенным законам. С одной стороны, это приводит к значительному увеличению габаритов преобразователей, а, с другой, для реализации алгоритмов управления зондирующим пучком, как и в случае компьютерной сонографии, требуется разработка весьма сложного и дорогого алгоритмического и программного обеспечения.

Фокусировка часто обеспечивается путем специального распределения фазы питающего напряжения на поверхности плоского ультразвукового преобразователя. Фокусировка также может быть обеспечена и за счет определенного распределения амплитуды колебаний преобразователя. Однако эта возможность исследована незначительно. Основная проблема здесь связана с поиском подходящего закона распределения амплитуды акустического давления на поверхности преобразователя.

11

Исследования, проводимые в ТТИ ЮФУ более эффективным, по сравнению с рассмотренными выше методами формирования узких акустических пучков, являются применением параметрических преобразова-

телей. В настоящее время параметрическое излучение используется в основном в гидроакустической локации, где зондирование производится на большие расстояния, т.е. лоцируемые объекты располагаются в дальней зоне преобразователя [18].

В связи с этим весьма перспективным направлением решения задачи формирования узких ультразвуковых пучков представляется применение параметрических излучателей с фокусировкой волн накачки. Это вероятно позволит создать весьма эффективные, малогабаритные преобразователи,

сочетающие высокую разрешающую способность и достаточную глубину зондирования.

На практике делается попытка разработки математических моделей и методов определения зоны распространения узких высоконаправленных ультразвуковых пучков, с целью обеспечения высококачественной визуализации объектов, расположенных в дальней зоне.

Ввиду высокого развития средств вычислительной техники и соответствующего программного обеспечения в настоящее время наиболее рациональным путем решения сформулированных задач является применение современной технологии вычислительного эксперимента на основе стандартного программного обеспечения современных ЭВМ. Для этой цели могут быть использованы распространенные системы автоматизации математических вычислений, такие, как MathCAD, Matlab, Maple и др., которые предоставляют широкие возможности для проведения инженерных расчетов и наглядного представления получаемых результатов [19].

Исследование физических, химических и других явлений или объектов методом вычислительного эксперимента требует наличия адекватных математических моделей и методов решения соответствующих уравнений.

Поэтому далее проводится краткий анализ известных математических моделей

12

распространения ультразвуковых колебаний в жидких средах и методов расчета пространственных характеристик акустических пучков в жидких средах.

1.1.2. Линейные модели распространения ультразвуковых волн

В основе теории распространения ультразвуковых волн в жидкостях лежат уравнения состояния, уравнения движения Эйлера и уравнение непрерывности. Эти уравнения связывают изменения во времени t

температуры, плотности среды (r', t) , давления p(r', t) и скорости частиц v(r', t) Они являются нелинейными уравнениями в частных производных и,

фактически, представляют собой наиболее общую модель распространения ультразвуковых волн в жидких средах. Однако из-за отсутствия общих методов решения нелинейных уравнений в частных производных эта модель непосредственно не позволяет решить задачу формирования узких ультразвуковых пучков.

Поэтому для исследования и решения уравнений, описывающих процесс распространения ультразвуковых колебаний, чаще всего используют приближенные методы математической физики, в частности, метод последовательных приближений. Этот метод позволяет заменить нелинейные модели распространения ультразвуковых волн приближенными линейными моделями. Рассмотрим кратко наиболее распространенные линейные модели и методы их исследования.

Если возмущения плотности и давления, связанные с волной, малы по сравнению с равновесными значениями, а скорость частиц много меньше скорости распространения звука, то из указанных выше нелинейных уравнений состояния, уравнений движения и непрерывности с точностью до малых членов вытекает линейное волновое уравнение

13

Это уравнение является простейшей моделью плоских звуковых волн в жидкости. Его решение имеет вид

описывающая форму волны. Возмущения плотности и давления связаны в этом случае со скоростью частиц среды следующими соотношениями:

плотности [54, 97].

Процесс распространения волн в неподвижной однородной идеальной

безграничной жидкости описывается [39, 41, 54, 89] волновым уравнением в цилиндрических координатах

Уравнение (1.4) также следует из нелинейных уравнений гидродинамики с точностью до малых членов первого порядка. Возмущения плотности и давления жидкости и в этом случае связаны со скоростью распространения

волны соотношениями (1.3), причем

Уравнение (1.4) является одной из наиболее широко используемых линейных моделей процесса распространения акустических волн в упругих средах и, в частности, в жидкости. Именно это уравнение используется в дальнейшем в качестве линейной модели распространения акустических волн в

14

жидкой среде при решении основной задачи работы. Поэтому рассмотрим подробнее его известные решения.

Явные решения уравнения (1.4) известны лишь для частных случаев функций, описывающих распределение источников на поверхности. Эти

решения чаще всего имеют вид бесконечных рядов и определяют зависимость

наблюдения. Конечные аналитические выражения получаются лишь в результате различных упрощающих предположений.

Для решения уравнения (1.4) применяются различные подходы. Наиболее общим, по-видимому, является применение функций Грина. В частности, этим

методом получено решение интегрального уравнения Гельмгольца

интегральным представлением решения уравнения (1.4) и широко применяется при решении практических задач. Например, поле, создаваемое бесконечно протяженным плоским излучателем или дифрагирующим экраном с круглым отверстием, описывается вытекающим при определенных предположениях из

(1.6) интегралом Релея

где r – радиус-вектор, соединяющий центр элементарной площадки поверхности излучателя с точкой наблюдения, – поверхность интегрирования,

т.е. поверхность на которой распределены источники акустического поля, n

– производная потенциала по нормали к поверхности излучателя.

15

Интегральное уравнение Гельмгольца (1.6) обычно используется лишь при различных упрощающих предположениях. Пусть, например, в жесткий бесконечно протяженный плоский экран вставлен плоский излучатель гармонических волн, все точки которого имеют нормальную составляющую

случае потенциал в точках дальней области на оси излучателя определяется следующим из формулы (1.7) выражением:

(1.6) следует интеграл Кирхгофа

Дальнейшее упрощение полученных выражений проводят, применяя

16

Соотношение (1.11), как и формула (1.8), является приближенным и может применяться лишь при указанных выше допущениях, которые не всегда выполняются на практике. Поэтому приведенные выражения не могут быть использованы при решении поставленной задачи формирования узких

ультразвуковых пучков.

Решение уравнения (1.4) при гармоническом возбуждении излучателя часто ищется в виде r, x e j , где t xc0 , r, x – комплексная

амплитуда потенциала, r, x – цилиндрические координаты точек среды. При

этом уравнение (1.4) переходит в широко известное уравнение Гельмгольца

которое определяет значения комплексной амплитуды потенциала в точках среды с координатами r, x . Здесь – поперечный лапласиан.

Для решения дифференциального уравнения в частных производных

(1.12) также применяется большое число методов. При этом задаются граничными условиями, определяющими искомое решение. Например, в

работах для круглого поршня, расположенного в бесконечно мягком экране,

граничные условия записываются в виде

Явные аналитические решения уравнения (1.12) для потенциала поля в произвольной точке пространства в общем случае не известны. Даже для простейших граничных условий типа (1.13) они могут быть найдены лишь для точек, расположенных на оси излучателя. Например, с помощью

17

Чаще уравнение Гельмгольца (1.12) решается численными методами,

например, методом конечных разностей. В этом случае непрерывное

уравнение Гельмгольца заменяется разностным уравнением

Решение уравнения (1.16) ищется на ЭВМ путем последовательных вычислений искомых функций в точках сетки. При этом применяют различные итерационные методы Однако при этом возникает ряд сложностей, связанных с заменой непрерывных производных конечными

проявляются эти сложности. Поэтому при численном решении задач акустики применяются специальные методы регуляризации, которые значительно усложняют процедуру решения.

Таким образом, известные решения уравнений линейных моделей распространения ультразвуковых волн не позволяют получить точные характеристики акустического пучка в общих случаях. Поэтому целесообразным является поиск таких решений уравнений линейных моделей акустики, которые были бы достаточно точными, по крайней мере,

для определенного класса задач, и в то же время были удобны для использования современных вычислительных средств.

Линейные модели чаще всего не обеспечивают необходимой точности описания реальных процессов распространения ультразвуковых волн в жидкой среде, однако они используются в большинстве нелинейных подходов к исследованию процессов формирования и распространения узких ультразвуковых пучков. В связи с чем рассмотрим нелинейные модели распространения ультразвуковых волн.

1.2. Нелинейные математические модели ультразвуковых пучков

Волновые процессы чаще всего протекают в нелинейных средах, поэтому

нелинейные модели распространения ультразвуковых волн находят все более

18

широкое применение в современной технике и технологии. Развитие многих практических направлений применения ультразвуковой техники обуславливает необходимость учета нелинейных эффектов.

Задачей формирования и распространения акустических волн в жидких средах занимались многие ученые, такие, как Гельмгольц, Релей, Кирхгоф и другие.

Качественно новый этап в развитии нелинейной теории ультразвуковых волн наступил в 70-х годах прошлого века. В работах академика Р.В. Хохлова,

Е.А. Заболотской, В.П. Кузнецова, Б.К. Новикова, О.В. Руденко, С.И. Солуяна,

Л.К. Зарембо и др. было предложено и детально исследовано нелинейное уравнение ограниченных акустических пучков. Полученные на его основе результаты позволили решить многие практические задачи создания нелинейных акустических систем различного назначения. В нелинейной акустике для описания ультразвуковых волн используются математические модели, построенные также путем различных упрощений указанных выше нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных, так как отсутствие регулярных аналитических методов решения этих уравнений создает трудно преодолимые препятствия для их непосредственного использования.

Ввиду большого количества нелинейных моделей, используемых для исследования процессов распространения ультразвуковых волн, ограничимся здесь рассмотрением лишь некоторых из них, применяемых для исследования явления параметрического излучения. Это ограничение связано с тем, что параметрическое излучение, как отмечалось выше, является одним из наиболее перспективных методов решения основной задачи данного исследования – формирования узких ультразвуковых пучков.

Модель Вестервельта. Формирование узкого высоконаправленного пучка в результате нелинейного взаимодействия волн с близкими частотами теоретически впервые было исследовано П.Дж. Вестервельтом, который назвал это явление параметрическим излучением.

19

Модель параметрического излучения Вестервельта была построена с

использованием следующих упрощающих предположений:

–взаимодействие комбинационных частот высшего порядка отсутствует;

–объемное распределение источников является линейным вдоль оси симметрии;

–высокочастотные колебания испытывают только вязкое поглощение;

–зона нелинейного взаимодействия ограничена ближним полем источника высокочастотных колебаний;

–параметры низкочастотного излучения определяются только для точек дальней зоны.

Несмотря на значительные упрощения, модель Вестервельта позволила сделать выводы о высоких качествах параметрических излучателей звука,

таких, как: возможность формирования высоконаправленного пучка при малых габаритах исходного излучателя; отсутствие боковых лепестков характери-

стики направленности; широкополосность излучателей.

Однако экспериментальные исследования показали большое несовершенство модели Вестервельта. Это вызвало необходимость разработки других более точных математических моделей нелинейного взаимодействия. В

настоящее время можно выделить три основных подхода [4] к исследованию явления параметрического излучения: метод последовательных приближений или метод малого параметра, квазиоптический или метод медленно меняющегося профиля и поэтапный.

Введение малого параметра позволяет использовать модели первого,

второго, третьего и т.д. приближений. В некоторых случаях упрощающие уравнения записываются непосредственно исходя из физического представления задачи. Например, в качестве нелинейной модели плоских волн,

часто используется уравнение Бюргерса, которое без упрощения не выводится из уравнений гидродинамики вязкой жидкости. Это уравнение значительно проще, чем исходная нелинейная модель, но достаточно хорошо описывает нелинейные волны в средах с потерями.

20