Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Инженерно-технологическая академия ЮФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Глазырин - МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

.pdf

Скачиваний:

315

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

6.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 217 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Найдемсобственныйвектордлязначения λ1,2 = −α + jβ извыражения

=0;

(A−λ E) h1λ1

h2λ1

−

−λ

−

=0;

λ1

−

+λ

=0.

R C

λ1

Принимаем h1λ1 = 1 и из второго уравнения системы, ввиду его простоты, находим h2λ1:

h2λ1 =				1		=		1	.
h2λ1 =			1			=	1	−α C + jβ C	.
	C				+λ
							RH
		R		C
		R		C	1
		H

Запишем общее решение однородной СДУ:

i0 (t)

+ N

(t) =

= N Re h1λ1

eλ1 t

Im h1λ1

eλ1 t .

U (t)

λ1

Здесь N1, N2 – постоянные интегрирования.

Найдем частное решение iЧ, UСЧ неоднородной СДУ при t →∞:

− R

−

;

−

UСЧ

R C

− RL1C

	−	1				− E
				i
		L
				Ч	=	L .
1
−			UСЧ			0
	R C
	H

Решим эту СЛАУ методом Крамера:

− R

−

;

RH L C

L C

− R C

− E

−

1 =

;

RH L C

− R C

−

;

L C

E C (α2 +β

2 )

−αt

sin(βt);

1 =

;

R +R

L C

2 =

L C

RH L C

Частное решение неоднородной СДУ в векторной форме –

				E

	i			R +R
					H
xЧ =	Ч		=	E		.
	U
				R
		Ч			+1

				R
				H

Запишем общее решение СДУ:

x(t) = xЧ + x0 (t)

+N				+
	Re h1λ1		eλ1 t
1	h2
		λ1

		E

	R	+R
			H
=		E		+

	R
	R		+1
			+1
	R
	H

N2
N2	Im h1λ1		eλ1 t .
	h2	λ1
		λ1

Решим задачу Коши при нулевых начальных условиях

[i(0) =0; UC (0) =0]:

R +R

Re(h1λ1)

Im(h1λ1)

Re(h2 )

Im(h2 )

R +1

λ1

Учитывая, что h1λ1 =1 и Re(h1λ1) =1, Im(h1λ1) =0 ,

	N		1
	1
N2		Re(h2λ1)

			−	E

0				R +R
0					H
		=		E		.
Im(h2 )			−	E
Im(h2 )			−	R +1
	λ1			R +1
	λ1

				R
				H

Решим эту СЛАУ методом Крамера:

= Im(h2λ1);

Re(h2λ1) Im(h2λ1)

−

E Im(h2

)

1 =

= −

;

−

Im(h2

)

λ1

R +R

λ1

−

R +R

E Re(h2λ1)

2 =

E H

= −

;

Re(h2λ1)

−

R +RH

= 1

= −

;

+RH

Re(h2λ1)

= −

+RH ) Im(h2λ1)

Im(h2

)

λ1

Для нахождения аналитического выражения для N2 найдем вещественную и мнимую составляющие h2λ1 . Для этого домножим числитель и знаменатель h2λ1 на комплексно-сопряженное число, руководствуясь формулой

a − jb

a + jb

a − jb

a2 +b2

−α C − jβ C

h2λ1 =

;

−α C + jβ C

−α C

(

β C

)

−α C

Re(h2λ1) =

;

(

)

−α C

β C

Im(h2λ1) =

−β C

(

)

−α C

β C

E Re(h2λ1)

Тогда

N2 = −

(R +RH ) Im(h2λ1)

+1 Im(h2

)

λ1

(

)

−α C

β C

= −

(−β C)

+RH )

−α C

(

β C

)

−α C

(

)

(−β C)

−α C

β C

(

)

−α C

β C

= −

(−β C)

+RH )

−α C

(

β C

)

−α C

(

)

(−β C)

−α C

β C

(

)

−α C

β C

−α C

−

β C

(

H )

Запишем компоненту общего решения СДУ для переходного процесса тока в катушке индуктивности:

i(t) =i

+i (t) =

+ N Re(h1

eλ1 t ) + N

Im(h1

eλ1 t ).

R +RH

λ1

По формуле Эйлера

λ1 t

(−α+ jβ) t

−α t

jβ t

−α t

cos(β t) + j sin(β t) =

=e−α t

cos(β t) + j e−α t sin(β t).

Тогда

Re(h1

eλ1 t ) = Re e−α t

cos(β t) + j e−α t sin(β t)

=e−α t cos(β t);

λ1

Im(h1

eλ1 t ) = Im e−α t cos(β t) + j e−α t sin(β t)

=e−α t sin(β t);

λ1

i(t) =

−

e−α t cos(β t) +

R +R

			1
			1

	E		RH
+	E		RH
+	R

		+1
	R	+1
	R
	H

−α C 2 +(β C)2

β C

		1
		1	−α C
			−α C
	E	RH			−α t
	E	RH		×e	−α t	sin(β t).
−
−	(R +RH )	β C

Запишем компоненту общего решения СДУ для переходного процесса напряжения на конденсаторе:

(t) =U

(t) =

+ N Re(h2

eλ1 t ) + N Im(h2

eλ1 t ).

R +1

СЧ

λ1

Найдем Re(h2

eλ1 t ) и Im(h2

λ1

eλ1 t ) :

λ1

−α C − jβ C

h2λ1

eλ1 t =

e−α t

cos(β t) + j e−α t

sin(β t)

(

)

−α C

β C

−α C

−α

β C

cos(β t)

− j

(

)

(

)

−α C

β C

−α C

β C

−α C

−α

β C

+ j e

sin(β t)

− j

(

)

(

)

−α C

β C

−α C +

β C

−α C

e−α t

cos(β t)

−α t

β C e

sin(β t)

(

)

(

)

−α C

β C

−α C

β C

−α C e−α t sin(β t)

−α t

β C e

cos(β t)

−

+ j

(

)

(

)

;

−α

β C

−α

β C

e−α t cos(β t) +β C e−α t sin(β t)

−α C

λ t

Re(h2

λ1

)

;

(

)

−α C

β C

e−α t sin(β t) −β C e−α t cos(β t)

−α C

λ t

Im(h2

λ1

)

;

(

)

−α C

β C

−α C e−α t

cos(β t) +β C e−α t

sin(β t)

(t) =

−

R + R

−α C

(

β C

)

(

)

−α C

β C

−α C

−

β C

(R + RH )

β C

e−α t

t) −β C e−α t cos(β t)

−α C

sin(β

−α C

(

β C

)

Графики переходных процессов в ФНЧ 2-го порядка при включении его на постоянное напряжение представлены на рис. 27.

Рис. 27. Переходные процессы при включении ФНЧ 2-го порядка на постоянное напряжение

Параметры фильтра взяты произвольно для получения колебательного характера процессов: E = 12 В; R = 10 Ом; L = 0,0694 Гн;

С= 0,0015 Ф; RН = 9 Ом.

3.3.Анализ динамики пуска, реверса, останова, наброса исброса нагрузки ДПТ НВсприменением классических способов решения задачи Коши

3.3.1. ПускДПТНВ

Схема подключения ДПТ НВ к источнику постоянного напряжения U представлена на рис. 28.

Рис. 28. Схема подключения ДПТ НВ к источнику постоянного напряжения

Схема замещения якорной цепи ДПТ НВ показана на рис. 29.

Рис. 29. Схема замещения якорной цепи ДПТ НВ

Запишем дифференциальное уравнение электрического равновесия якорной цепи двигателя (рис. 29):

U 1(t) = R i(t) + L di(t) +E (t).

ДВ

Уравнение механического равновесия двигателя –

M (t) −M

1(t) = J

ДВ

dω(t) .

Учитывая, что EДВ(t) =c ω(t)

и M (t) = c i(t) , а также MC =0 (пуск

на холостом ходу), запишем систему дифференциальных уравнений:

U 1(t) =

i(t)

di(t) +c ω(t);

ДВ

= JДВ dω(t) .

c i(t)

СДУ в нормальной форме Коши –

di(t)

;

U 1(t) −RДВ i(t) −c ω(t)

ДВ

dω(t)

i(t).

ДВ

СДУ в матричном виде –

			−		RДВ
					RДВ
d	i(t)				LДВ
d	i(t)	=			LДВ
					c

dt ω(t)

				JДВ
				JДВ

−	с			U
−	LДВ	i(t)


	0	ω(t)	+	LДВ	1(t).
	0		0

Здесь

	−		RДВ	−	с

			L		L
			L		L	– матрицакоэффициентовпередпеременнымисостояния;
A =			ДВ		ДВ	– матрицакоэффициентовпередпеременнымисостояния;
			c		0
		JДВ			0

	U
B =		– вектор свободных членов СДУ;
	LДВ
0
x(t) = i(t)			– вектор переменных состояния.
	ω(t)

Определим собственные значения матрицы A из выражения det(A−λ E) =0,

– единичная матрица;

где E =

−

RДВ

−λ

−

ДВ

−λ

(−λ)+

=0.

= − L

J L

−λ

ДВ

ДВ ДВ

JДВ

Характеристическое уравнение –

RДВ

λ +

с2

=0;

ДВ

λ1,2 = −

ДВ

−

= −α ± jβ.

2 LДВ

JДВ LДВ

LДВ

Рассмотрим здесь и в следующих примерах для ДПТ НВ случай ком- плексно-сопряженныхсобственныхзначенийматрицыA: λ1, 2 = −α ± jβ .

ОпределимсобственныйвекторматрицыA длязначения λ1 = −α + jβ :

ДВ

h1λ1 −

h2λ1 =0;

− L

−λ1

ДВ

−

=0.

JДВ

λ1

Примем для удобства h1λ1= 1 и найдем h2λ1 из второго уравнения

получившейся системы, являющегося наиболее простым: h2λ1 = JДВc λ1 = JДВ (−cα + jβ).

Общее решение однородной СДУ –

(t)

= N

+ N

x (t) =

Re h1λ1

eλ1 t

Im h1λ1

eλ1 t

(t)

λ1

где N1, N2 – постоянные интегрирования.

Найдем частное решение неоднородной СДУ при t →∞:

−

RДВ

−

;

ДВ

LДВ

ωЧ

JДВ

		R
−		ДВ
−		LДВ
		LДВ
		с
	JДВ
	JДВ

−

LДВ

ДВ

Найдем решение этой СЛАУ методом Крамера:

	−		RДВ	−	с
	−		LДВ	−	LДВ		c2
			LДВ		LДВ		c2
=			с			=		;
=						=		;
					0		JДВ LДВ
		JДВ			0
		JДВ

−

1 =

LДВ

=0;

−

ДВ

−

LДВ

U c

;

JДВ LДВ

JДВ

= 1 =0; ω

U c

JДВ LДВ

=U .

ДВ

Отметим, что принужденное значение тока якоря равно нулю, так как двигатель запускается на холостом ходу, а принужденное значение скорости равно скорости идеального холостого хода.

Общее решение СДУ:

x(t) = x

+ x

+ N

(t) =

Re h1λ1

eλ1 t

Im h1λ1

eλ1 t .

λ1

Найдем постоянные интегрирования при нулевых начальных усло-

виях [i(0) =0; ω(0) =0 ]:

Re(h1λ1)

Im(h1λ1)

Re(h2

)

Im(h2

)

λ1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 217 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ЛИТЕРАТУРА_ЭиУСУ

#
01.06.20158.26 Mб65Вольдек, Попов. Электрические машины.ч.1.Введение в электромеханику, машины постоянного тока и трансформаторы.2008.djvu
#
01.06.20159.79 Mб64Вольдек, Попов. Электрические машины.ч.2.Машины переменного тока.2008.djvu
#
01.06.20156.03 Mб315Глазырин - МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ.pdf
#
01.06.20155.15 Mб78Курганов_Элементы и устройства систем управления.pdf
#
01.06.20151.49 Mб111Марков_Шмарловский_ЭЛЕМЕНТЫ И УСТРОЙСТВА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ.pdf
#
01.06.20153.11 Mб181Маханько_Элементы и устройства систем управления.pdf