ЭиУСУ / ЛИТЕРАТУРА_ЭиУСУ / Глазырин - МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

41

Рис. 17. Структурная схема замкнутой ЭМС с П-регулятором

Уравнение электрического равновесия ДПТ НВ –

Ud (t) = LДВ didt(t) + RДВ i(t) +c ω(t).

Уравнение механического равновесия ДПТ НВ –

с i(t) −MС = JДВ dωdt(t) .

Разрешая каждое уравнение относительно производных, запишем СДУ в нормальной форме Коши:

СДУ в матричном виде –

Здесь

Ud (t)

x(t) = i(t) – вектор переменных состояния;

ω(t)

ременными состояния;

42

Из полученной математической модели видно, что помимо двух переменных состояния двигателя (тока и скорости) ЭМС имеет третью переменную состояния – выходное напряжение ШИП, обусловленную инерционностью преобразователя.

2.5.2. Модельзамкнутойэлектромеханическойсистемы сПИ-регулятором, двигателемпостоянноготока независимоговозбуждения исиловымпреобразователем, представленным пропорциональнымзвеном

Структурная схема ЭМС с ПИ-регулятором, ДПТ НВ и ШИП, представленным пропорциональным звеном, показана на рис. 18.

Втакомслучаеуравнениеэлектрическогоравновесиябудетиметьвид

kР (UЗАД −kОС kТГ ω(t))+UУ.И(t) kПР =

= LДВ didt(t) +RДВ i(t) +c ω(t),

где UУ. И(t) – напряжение управления интегральной частью регулятора. Уравнение механического равновесия останется без изменений:

сi(t) −MС = JДВ dωdt(t) .

Кэтим двум уравнениям прибавляется уравнение состояния

43

44

Рис. 18. Структурная схема замкнутой ЭМС с ПИ-регулятором

Здесь

Третьей переменной состояния ЭМС в данном случае выступает напряжение управления интегральной частью ПИ-регулятора.

45

3. АНАЛИЗ ВЫХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПРИМЕНЕНИЕМ КЛАССИЧЕСКИХ СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ

3.1. Решение дифференциальных уравнений классическим способом на примере RL-, RC- иRLC-цепей

3.1.1. Нахождениерешениядифференциальногоуравнения напримереRL-цепи

Схема коммутации RL-цепи на источник постоянного напряжения представлена на рис. 19.

Рис. 19. Схема коммутации RL -цепи на источник постоянного напряжения

Процессы, протекающие в цепи при замыкании ключа, описываются дифференциальным уравнением 1-го порядка, составленным по второму закону Кирхгофа:

E 1(t) =i(t) R + L didt(t) .

Характеристическое уравнение получается из однородного ДУ для переменной x(t) путем его алгебраизации, которая заключается в заме-

не оператора дифференцирования на переменную λ. При этом степени новых переменных λ равны порядку соответствующих производных. После алгебраизации переменная x(t) выносится за скобки, а полином,

находящийся в скобках, после приравнивания его к нулю будет представлять собой характеристическое уравнение.

Однородное дифференциальное уравнение – i(t) R + L didt(t) = 0.

46

Определим корень характеристического уравнения

R +L λ =0;

λ = − RL .

Общее решение i0 (t) однородного уравнения –

i0 (t) = N eλ t = N e−RL t .

Для нахождения частного решения неоднородного ДУ подставим в исходное уравнение значение t = ∞. Тогда оно будет выглядеть сле-

дующим образом:

E =iЧ R; iЧ = ER .

Общее решение неоднородного уравнения – i(t) =iЧ +i0 (t) = ER + N e−RL t .

Решим задачу Коши с нулевыми начальными условиями. Для этого подставим в общее решение неоднородного ДУ значение t = 0. Получим

i(0) = ER + N = 0,

откуда постоянная интегрирования

N = − ER .

λ

Рис. 20. Изменение тока в RL-цепи при коммутации на источник постоянного напряжения

47

В итоге временная зависимость тока в RL -цепи при коммутации ее на источник постоянного напряжения

i(t) = ER − ER e−RL t .

Графическое решение ДУ представлено на рис. 20.

На графике обозначена также постоянная времени цепи Т, обратная модулю корня характеристического уравнения T =1/ λ = RL .

3.1.2. Нахождениерешениядифференциальногоуравнения напримереRC-цепи

Схема коммутации RC-цепи на источник постоянного напряжения представлена на рис. 21.

iC(t) R

UC(t)

Рис. 21. Схема коммутации RC-цепи на источник постоянного напряжения Е

Дифференциальное уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа, описывает процессы в цепи после замыкания ключа:

E 1(t) =iC (t) R +UC (t).

48

Определим корень характеристического уравнения

RC λ +1=0;

λ = − RC1 .

Общеерешение UC0 (t) однородногодифференциальногоуравнения–

UC0 (t) = N eλt = N e−RCt .

Для нахождения частного решения неоднородного ДУ подставим в исходное уравнение значение t = ∞. Тогда оно будет выглядеть следующим образом:

UC.ЧАСТН = E.

Общее решение неоднородного уравнения –

− t

UC (t) =UC.ЧАСТН +UC0 (t) = E + N e RC .

Решим задачу Коши с нулевыми начальными условиями. Для этого подставим в общее решение неоднородного ДУ значение t = 0. Получим

UC (0) = E + N =0,

откуда постоянная интегрирования

N= −E.

Витоге временная зависимость тока в RC-цепи при коммутации ее на источник постоянного напряжения

− t

UC (t) = E −E e RC .

Графическая зависимость напряжения на конденсаторе от времени представлена на рис. 22.

λ

Рис. 22. Изменение напряжения на конденсаторе при коммутации на источник постоянного напряжения

49

На графике обозначена также постоянная времени цепи Т, обратная модулю корня характеристического уравнения T =1/ λ = R C.

3.1.3. Нахождениерешениясистемыдифференциальных уравненийнапримереRLC-цепи

Коммутация RLC-цепи на источник постоянного напряжения представлена на рис. 23.

Рис. 23. Схема коммутации RLС-цепи на источник постоянного напряжения

Составим СДУ по первому и второму законам Кирхгофа:

Запишем СДУ в матричной форме:

Здесь

ния RLC-цепи;

50