ЭиУСУ / ЛИТЕРАТУРА_ЭиУСУ / Глазырин - МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Составим по второму закону Кирхгофа дифференциальное уравнение, описывающее динамику процессов в ФНЧ 2-го порядка:

E 1(t) = i(t) R + L didt(t) +UC (t).

Дифференциальное уравнение для цепи по первому закону Кирхгофа –

СДУ в нормальной форме Коши –

вектор переменных состояния.

В ФНЧ 2-го порядка переменными состояния являются ток через индуктивность и напряжение на конденсаторе.

31

2.2.2. Фильтрвысокихчастот

Схема коммутации нагруженного фильтра высоких частот (ФВЧ) на источник постоянного напряжения представлена на рис. 10.

C

iC(t)

R

RН

E·1(t)

L UН(t)

iL(t) iН(t)

Рис. 10. Схема коммутации нагруженного ФВЧ 2-го порядка на источник постоянного напряжения

Дифференциальное уравнение, описывающее динамику процессов в ФВЧ 2-го порядка, по второму закону Кирхгофа –

E 1(t) =UC (t) + L didtL (t) +iL (t) R.

Дифференциальное уравнение для цепи по первому закону Кирхгофа –

iC (t) = iL (t) +iH (t).

32

Переменные состояния здесь такие же, как и у ФНЧ. Разница математических моделей ФНЧ и ФВЧ состоит в различных векторах свободных членов B.

2.2.3. Двигательпостоянноготоканезависимоговозбуждения

Одним из основных электромеханических преобразователей энергии в регулируемом электрическом приводе является двигатель постоянного тока независимого возбуждения (ДПТ НВ).

Схема подключения ДПТ НВ к источнику постоянного напряжения U представлена на рис. 11.

Рис. 11. Схема подключения ДПТ НВ к источнику постоянного напряжения

33

Схема замещения якорной цепи ДПТ НВ показана на рис. 12.

Рис. 12. Схема замещения якорной цепи ДПТ НВ

При составлении математической модели ДПТ НВ примем следующие допущения. Считаем, что реакция якоря полностью скомпенсирована (в реальном ДПТ всегда есть компенсационная обмотка либо добавочные полюса), поток возбуждения постоянен, а активное сопротивление якорной цепи не изменяется во время работы двигателя.

Запишем дифференциальное уравнение электрического равновесия якорной цепи двигателя (рис. 12):

U 1(t) = RДВ i(t) + LДВ didt(t) + EДВ(t),

где RДВ – суммарное активное сопротивление последовательно включенных обмотки якоря и добавочных полюсов в горячем состоянии (при t = 75 ºC); LДВ – суммарная индуктивность якорной цепи; EДВ(t) – проти- во-ЭДС двигателя; U·1(t) – напряжение, приложенное к якорной цепи; i(t) – ток якорной цепи.

Уравнение механического равновесия двигателя –

M (t) −MC 1(t) = JДВ dωdt(t) ,

где M(t) – электромагнитный момент ДПТ НВ; MC·1(t) – момент сопротивления нагрузки; JДВ – суммарный момент инерции, приведенный к валу двигателя; ω(t) – скорость двигателя.

34

СДУ в нормальной форме Коши –

СДУ в матричном виде –

Из полученной математической модели ДПТ НВ видно, что переменными состояния в нем являются скорость вала и ток в якорной цепи. Эти переменные состояния соответственно связаны с массой вала и индуктивностью обмотки якоря, т. е. с механической и электрической инерционностями двигателя.

2.3. Модели силовых преобразователей вэлектромеханических системах. Широтно-импульсный преобразователь

Для регулирования скорости электроприводов постоянного тока очень часто используются широтно-импульсные преобразователи (ШИП). К основным достоинствам данного преобразователя относятся хорошие динамические свойства и линейность регулировочных характеристик. Принципиальная схема реверсивного ШИП представлена на рис. 13.

35

Для приближенного анализа динамики ШИП дискретную модель преобразователя можно заменить на непрерывную модель – апериодическое звено 1-го порядка.

В этом случае динамическое состояние ШИП можно описать ДУ 1-го порядка:

TПР dUdtd (t) +Ud (t) = kПР UУ (t),

где UУ(t) – входное напряжение управления ШИП; Ud(t) – выходное напряжение ШИП; ТПР – постоянная времени ШИП; kПР – коэффициент передачи ШИП.

Данное ДУ записано в стандартном для теории автоматического управления виде, т. е. в левой части записаны функция выходной координаты и ее производная, а в правой части – все остальные слагаемые. При этом коэффициент перед выходной координатой равен единице. В таком случае коэффициент перед первой производной выходной координаты ТПР имеет размерность времени и является постоянной времени ШИП, а число перед входной координатой kПР представляет собой коэффициент передачи ШИП.

Постоянную времени ШИП можно определить как половину периода частоты коммутации силовых ключей ШИП:

TПР = 2 f1КОМ ,

где fКОМ – частота коммутации силовых ключей преобразователя. Коэффициент передачи ШИП можно рассчитать как отношение

предельного выходного напряжения к предельному входному:

где UУmax – максимальное напряжение управления на входе ШИП; ωН – номинальная скоростьДПТНВ; c – коэффициентЭДСимоментаДПТ НВ.

2.4. Математические модели регуляторов замкнутых электромеханических систем

В современных системах управления, в частности и в ЭМС, получили широкое распространение регуляторы, выполненные на операционных усилителях. В зависимости от математического закона, по которому ведёт себя выходное напряжение регулятора при подаче на вход прямоугольного импульса, регуляторы могут быть пропорциональные, интегральные и дифференциальные. Наиболее часто в ЭМС применяются следующие виды регуляторов: пропорциональный, пропорционально-интегральный,

37

пропорционально-интегрально-дифференциальный. Рассмотрим схемы и математические модели этих регуляторов.

2.4.1. МатематическаямодельП-регулятора

Схема П-регулятора, суммирующего и усиливающего два входных напряжения (UВХ1 и UВХ2), представлена на рис. 14.

∞

Рис. 14. Схема П-регулятора

Представим без вывода уравнение, описывающее динамику П-регулятора. Выходное напряжение определим как

UВЫХ (t)=UВХ1 (t) RR13 +UВХ2 (t) RR32.

При R1 = R2 получим

UВЫХ (t)= UВХ1 (t)+UВХ2 (t) RR13 = UВХ1 (t)+UВХ2 (t) kРЕГ,

где kРЕГ = R3 / R1 – коэффициент передачи П-регулятора.

Применив к этому уравнению прямое преобразование Лапласа с нулевыми начальными условиями, получим

UВЫХ (p)= UВХ1 (p)+UВХ2 (p) kРЕГ.

Передаточная функция W(р) П-регулятора как элемента ЭМС (рис. 15) определяется как отношение изображения выходного напряжения UВЫХ (р) к изображению входного:

При включении регулятора в ЭМС первое входное напряжение соответствует напряжению задания UВХ1(р) = UЗАД(р), а второе входное напряжение соответствует напряжению отрицательной обратной связи

38

UВХ1(р) = –UОС(р). Выходное напряжение регулятора является входным напряжением управления UВЫХ(р) = UУ(р) для широтно-импульсного модулятора (ШИМ), управляющего ШИП.

Рис. 15. П-регулятор как элемент ЭМС

При одинаковых сопротивлениях (R1 = R2 = R3) выходное напряжение регулятора равно сумме входных напряжений.

2.4.2. МатематическаямодельПИ-регулятора

Схема ПИ-регулятора, суммирующего и усиливающего два входных напряжения (UВХ1 и UВХ2), представлена на рис. 16.

Представим без вывода дифференциальное уравнение, описывающее динамику ПИ-регулятора, как

Рис. 16. Схема ПИ-регулятора

Введём для ПИ-регулятора коэффициент передачи kРЕГ = R3 / R1 и постоянную времени TРЕГ = C1 · R1. В этом случае дифференциальное

39

уравнение, описывающее динамику ПИ-регулятора, будет выглядеть как

Применив прямое преобразование Лапласа с нулевыми начальными условиями, получим алгебраическое уравнение для изображений

p UВЫХ (p)−kРЕГ (UВХ1 (p)+UВХ2 (p)) =UВХ1 (pT)+UВХ2 (p), РЕГ

на основании которого можно получить передаточную функцию ПИ-регулятора

Передаточная функция ПИ-регулятора состоит из пропорциональной kРЕГ и интегральной (TРЕГ · р)–1 частей.

2.5.Модели замкнутых электромеханических систем

2.5.1.Модельзамкнутойэлектромеханическойсистемы сП-регулятором, двигателемпостоянноготока

независимоговозбужденияисиловымпреобразователем, представленным апериодическимзвеном1-гопорядка

В замкнутой ЭМС с П-регулятором, ДПТ НВ и ШИП обратная связь осуществляется за счет датчика скорости, которым обычно служит тахогенератор. Структурная схема такой ЭМС представлена на рис. 17.

СДУ, описывающая данную ЭМС, будет состоять из трех уравнений – электрического равновесия якорной цепи ДПТ НВ, уравнения движения электропривода и уравнения состояния ШИП.

При составлении уравнения состояния ШИП внесем для удобства коэффициент передачи регулятора kР в передаточную функцию преобразователя. Тогда коэффициент передачи ШИП будет равен произведению kПР·kР, причем

UУ(t) = UЗАД(t) =UЗАД(t) −UОС(t) =UЗАД(t) −kПР kР ω(t).

Уравнение состояния преобразователя –

TПР dUdtd (t) +Ud (t) =kПР kР (UЗАД −UОС )=

= kПР kР UЗАД −kОС kТГ ω(t) .

40