Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Инженерно-технологическая академия ЮФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Глазырин - МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

.pdf

Скачиваний:

315

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

6.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

D1(t)

=e−αt cos(βt) + e−αt α sin(βt)

;

D2(t)

=e−αt sin(βt).

Определим матричную функцию F(t):

F(t) =

D1(t)

E +

A = e−αt cos(βt) + e−αt α sin(βt)

0 +

−

RДВ

−

+e−αt sin(βt)

ДВ

JДВ

−αt

cos(βt)

e−αt α sin(βt)

−αt

e−αt cos(βt) + e

α sin(βt)

e−αt sin(βt)

с e

−αt

sin(βt)

−

ДВ

−

LДВ

c e−αt sin(βt)

JДВ

−αt

cos(βt) +

e−αt α sin(βt)

−

RДВ e−αt

sin(βt)

...

ДВ

c e−αt sin(βt)

...

JДВ

...

−

с e

−αt

sin(βt)

LДВ

α sin(βt)

... e−αt cos(βt) + e−αt

Найдем зависимости тока и скорости ДПТ от времени при помощи выражения

x(t) = ωi(t) =(F(t) −E) A−1 B,

(t)

191

где

−1		1		a22	−a12
A	=				a11	=
		A
			−a21

JДВ

LДВ

JДВ LДВ

R J

;

−

ДВ

JДВ

LДВ

JДВ

−1

B =

LДВ

RДВ JДВ

−

отсюда

RДВ e−αt sin(βt)

−αt

cos(βt) +

e−αt α sin(βt)

−

−1 ...

x(t) =

ДВ

c e−αt

sin(βt)

...

JДВ

...

−

с e

−αt

sin(βt)

LДВ

−

−αt

e−αt α sin(βt)

...

cos(βt) +

−1

U c e

−αt

sin(βt)

JДВ

e−αt α sin(βt)

;

−αt

cos(βt) +

−

−1

i(t) =

c e−αt sin(βt)

;

JДВ

ω(t) =

−

U e−αt cos(βt)

−

U e−αt α sin(βt)

c β

Особенностью

применения

метода

определителей

Вандермонда

к решению задач математического моделирования является невозможность применения метода для систем первого порядка.

192

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Аналитические методы математического моделирования могут быть полезны на этапе проектирования электромеханических систем. На основе математической модели, составленной с помощью аналитических методов решения систем дифференциальных уравнений, можно на этапе проектирования электромеханической системы проводить решение таких задач, как анализ выходных процессов и устойчивости системы.

В данном учебном пособии были рассмотрены три аналитических метода математического моделирования – классический, операторный и метод определителей Вандермонда.

К достоинствам классического метода следует отнести комплексность полученного решения. Комплексность решения заключается в возможности анализа вида корней характеристического уравнения для оценки устойчивости и характера (колебательного или апериодического) переходных процессов; в наличии возможности отдельного анализа как свободной, так и принужденной составляющей переходного процесса. К недостаткам классического метода можно отнести достаточно большую громоздкость и сложность решения в случае электромеханических систем высокого порядка.

Операторный метод позволяет применять мощный математический аппарат операционного исчисления, основанного на интегральных преобразованиях, в частности преобразовании Лапласа. Необходимо отметить, что начальные условия при решении задачи Коши операторным методом учитываются автоматически, что позволяет упростить решение. К недостаткам данного метода следует отнести сложность применения обратного преобразования Лапласа в отдельных случаях.

Для анализа процессов пуска электромеханических систем удобно применять метод определителей Вандермонда. Достоинством этого метода является возможность применения удобного отработанного математического аппарата матричной алгебры. Главным недостатком метода является ограниченность применения (только нулевые начальные условия).

193

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Багров В.Г., Белов В.В., Задорожный В.Н., Трифонов А.Ю. Методы математической физики: I. Основы комплексного анализа. II. Элементы вариационного исчисления и теории обобщенных функций. – Томск: Изд-во НТЛ, 2002. – 672 с.

2.Бурулько Л.К., Овчаренко Е.В. Математическое моделирование

вэлектротехнике: учеб. пособие. – Томск: Изд-во ТПУ, 2003. – 100 с.

3.Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. – М.: Наука, 1971. – 288 с.

4.Зайцев А.П. Теория автоматического управления: учеб. пособие. – Томск: ИПФ ТПУ, 2000. – 155 с.

5.Куропаткин П.В. Теория автоматического управления: учеб. пособиедляэлектротехн. специальностейвузов. – М.: Высш. шк., 1973. – 528 с.

6.Малышенко А.М. Математические основы теории систем: учеб. пособие для втузов. – Томск: Изд-во ТПУ, 2004. – 334 с.

7.Мальцева О.П., Кояин Н.В., Удут Л.С. Численные методы в электротехнике: компьютерный лабораторный практикум. – Томск:

Изд-во ТПУ, 2003. – 100 с.

8.Пантелеев А.В., Якимова А.С., Босов А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах: учеб. пособие. – М.:

Высш. шк., 2001. – 376 с.: ил.

9.Петрович В.П. Силовые преобразователи электрической энергии: учеб. пособие. – Томск: ИПФ ТПУ, 2000. – 154 с.

10.Терехина Л.И., Фикс И.И. Высшая математика. Ч. 4. Дифференциальные уравнения. Ряды. Функции комплексного переменного. Операционный метод: учеб. пособие. – Томск: Изд-во «Дельтаплан», 2003. – 264 с.

11.Удут Л.С. Проектирование и исследование автоматизированных электроприводов. Ч. 1. Введение в технику регулирования линейных систем. Ч. 2. Оптимизация контура регулирования: учеб. пособие / Л.С. Удут, О.П. Мальцева, Н.В. Кояин. – 2-е изд., перераб. и доп. – Томск: Изд-во ТПУ, 2007. – 156 с.

12.Удут Л.С., Кояин Н.В., Мальцева О.П. Проектирование и исследование автоматизированных электроприводов. Ч. 3. Электрические машины постоянного тока в системах автоматизированного электропривода: учеб. пособие. – Томск: Изд-во ТПУ, 2004. – 152 с.

13.Турчак Л.И. Основы численных методов: учеб. пособие. – М.:

Наука, 1987. – 320 с.

194

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ДИНАМИКИ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Показатели качества динамики систем, полученные по переходной характеристике

В данном учебном пособии знание методов решения нелинейных уравнений позволит самостоятельно с достаточной точностью определить такие показатели динамики ЭМС, как время переходного процесса tПП, время достижения первого максимума tmax, время нарастания до установившегося значения tН (рис. П1).

Рис. П1. Показатели качества динамики систем, полученные по переходной характеристике

Определив установившееся значение UУСТ и зная время достижения первого максимума tmax, можно вычислить и перерегулирование U % как

U % = (Umax – UУСТ) · 100 / UУСТ.

195

Показатели качества динамики систем, полученные по частотной характеристике

Рассмотрим показатели качества динамики ЭМС, определяемые по амплитудно-частотным характеристикам (АЧХ), на примере АЧХ фильтра низких частот (ФНЧ) A(ω) (рис. П2). На резонансной частоте ω = ωРЕЗ на АЧХ наблюдается максимум A(ω) = Amax. Частота полосы пропускания ФНЧ ωПП определяется для точки, в которой амплитуда

уменьшается в 2 раз по сравнению с амплитудой A(0) при ω → 0.

Рис. П2. Показатели качества динамики ЭМС, определяемые по амплитудно-частотным характеристикам

Методырешения нелинейных уравнений

Существует несколько методов решения нелинейных уравнений

[13, 15, 16]. Перечислим их:

1.Метод отделения корней.

2.Метод дихотомии.

3.Метод касательных.

4.Метод секущих.

Перед началом решения нелинейных уравнений рекомендуется ознакомиться с литературой, посвященной вышеперечисленным методам.

Решать нелинейные уравнения удобно с использованием математических пакетов, например: MathCAD, Maple, Matlab, или языков программирования, таких как Pascal или C++ [14, 17–24].

196

Методотделениякорней

Пусть нелинейное уравнение записывается как f(x) = 0, где x – переменная, а f(x) – непрерывная функция. Решениями нелинейного уравнения будут все значения переменной x, при подстановке которых в уравнение последнее превращается в тождество.

Существует две разновидности этого метода: графический и табличный. Если есть возможность построить график функции f(x) с использованием масштабной сетки по осям абсцисс и ординат, то решения нелинейного уравнения находят в точках пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс.

При табличном методе график функции f(x) строить не обязательно, но требуется заполнить таблицу, в которой значениям переменной x, взятым с равными интервалами, соответствуют значения функции f(x), изменяющие знак не менее одного раза на рассматриваемом интервале. Решениями нелинейного уравнения считаются те значения переменной x, в окрестности которых функция f(x) меняет знак.

Методдихотомии

Как показано на рис. П1, переходный процесс заканчивается в момент времени t = tПП, когда график переходного процесса выходного напряжения U(t) ФНЧ последний раз входит в зону допустимых отклонений (± 5 %) от установившегося значения UУСТ, а именно при пересечении линии уровня 1,05·Uуст. Введём функцию ошибки (рис. П3)

U(t) = U(t) – 1,05·UУСТ.

Рис. П3. График функции ошибки для метода дихотомии

197

Функция ошибки U(t) при t = tПП меняет знак с положительного на отрицательный. На этом свойстве основано решение нелинейного уравнения

U(t) = 0

методом дихотомии.

Исходными данными для этого метода служат:

• аналитическое выражение для функции ошибки U(t);

•начальное значение a = 0,11 временного интервала для поиска корня нелинейного уравнения;

•конечное значение b = 0,22 временного интервала для поиска корня нелинейного уравнения;

• точность искомого решения = 0,000001; Программа для решения нелинейного уравнения методом дихото-

мии в MathCAD приведена на рис. П4. В результате решения нелинейного уравнения методом дихотомии получаем tПП = 0,159 с.

Рис. П4. Программа в MathCAD для метода дихотомии

Методкасательных

Для нахождения корня нелинейного уравнения методом касательных (см. рис. П5) следует выбрать начальное приближение на таком участке, где знак второй производной функции ошибки U(t) постоянен.

Выберем начальное приближение t0 = 0,12 с.

198

Рис. П5. График функции ошибки для метода касательных

Для производной от функции ошибки U(t) рекомендуется ввести собственную функцию (рис. П6).

Рис. П6. Программа в MathCAD для метода касательных

199

В случае если результат, полученный методом секущих (рис. П6), сильно отличается от приближенного решения, полученного графическим методом, то рекомендуется повторить вычисления при другом начальном приближении, более близком к искомому корню.

Как видно из рис. П4 и П6, результаты, полученные методом дихотомии и методом касательных, совпадают: tПП = tПП1 = 0,159 с.

Методсекущих

Для случая, когда имеются два близких по величине начальных приближения (t0 и t1), можно вместо метода касательных воспользоваться методом секущих (рис. П7).

Пусть начальные приближения составляют t0= 0,185 с и t1= 0,17 с.

Рис. П7. График функции ошибки для метода секущих

Составим программу в MathCAD для определения корня нелинейного уравнения методом секущих (см. рис. П8).

Как видно из рис. П4 и П8, результаты, полученные методом дихотомии и методом секущих, совпадают: tПП = tПП2 = 0,159 с.

200

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ЛИТЕРАТУРА_ЭиУСУ

#
01.06.20158.26 Mб65Вольдек, Попов. Электрические машины.ч.1.Введение в электромеханику, машины постоянного тока и трансформаторы.2008.djvu
#
01.06.20159.79 Mб64Вольдек, Попов. Электрические машины.ч.2.Машины переменного тока.2008.djvu
#
01.06.20156.03 Mб315Глазырин - МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ.pdf
#
01.06.20155.15 Mб78Курганов_Элементы и устройства систем управления.pdf
#
01.06.20151.49 Mб111Марков_Шмарловский_ЭЛЕМЕНТЫ И УСТРОЙСТВА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ.pdf
#
01.06.20153.11 Mб181Маханько_Элементы и устройства систем управления.pdf