Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Инженерно-технологическая академия ЮФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Глазырин - МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

.pdf

Скачиваний:

315

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

6.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2116 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

I( p) =

1( p) = −

;

RДВ

( p)

LДВ

JДВ

LДВ

ω( p) =

2 ( p)

U p

RДВ

( p)

p +

LДВ

JДВ LДВ

RДВ U

−

LДВ c

RДВ

p +

LДВ

JДВ

LДВ

−

U c

JДВ LДВ p

RДВ

p +

LДВ

JДВ LДВ

Изображением F( p) , включающим в себя характеристический полином, в данном случае будет являться то же изображение, что и в случае пуска ДПТ НВ:

F( p) =			U				.
	p2 +	RДВ	p +		c2

				J		L
		L			ДВ
		ДВ				ДВ

При комплексно-сопряженных корнях характеристического уравнения системы оригинал функции F( p) был найден в предыдущем случае, при рассмотрении пуска ДПТ:

f (t) =U e−αt sin(βt) .

Так как изображение для тока
I( p) = −					2U			= −2 F( p) ,
I( p) = −					R			= −2 F( p) ,
			2		R		c	LДВ
	LДВ		2	+	ДВ	p +	c

		p			LДВ
					LДВ		JДВ LДВ

то его оригинал запишется следующим образом:

i(t) = −	2 f (t)	= −	2 U e−αt sin(βt)	.
i(t) = −	L	= −	L β	.
	L		L β
	ДВ		ДВ

151

Рассмотрим изображение скорости:

ω( p) =

U p

RДВ U

−

RДВ

p +

LДВ c

p +

LДВ

JДВ LДВ

−

U c

JДВ LДВ p

RДВ

p +

LДВ

JДВ

LДВ

p F( p)

RДВ F( p)

−

F( p) c

ДВ

Первое слагаемое можно найти по теореме дифференцирования оригинала, согласно которой умножение изображения на оператор p соответствует дифференцированию оригинала:

	df (t)	p F( p) − f (0).
	dt	p F( p) − f (0).
	dt

Отметим, что в этом случае не следует учитывать начальные условия f (0) , так как они были учтены в самом начале пункта при применении к СДУ прямого преобразования Лапласа.

Тогда первое слагаемое скорости запишется в виде

p F( p) c

U e−αt sin(βt)
d	cβ			U
	cβ		=		−α e−αt sin(βt) +β e−αt cos(βt)	=

	dt
	dt			cβ
	=−U α e−αt sin(βt) +U e−αt cos(βt).
		cβ			c

Второе слагаемое –

F( p)

f (t)

U R e−αt sin(βt)

ДВ

c β

ДВ

Третье слагаемое было найдено по теореме интегрирования ориги-

нала в примере пуска ДПТ НВ:

F( p) c

f (τ)

c U e−ατ sin(βτ)

∫

dτ

= ∫

dτ =

ДВ

L p

ДВ

ДВ ДВ

c U

c U e−αt αsin(βt)

c U e−αt cos(βt)

−

JДВLДВ (α2 +β2 ).

JДВLДВ (α2 +β2 )

JДВLДВβ

(α2 +β2 )

152

С учетом этого оригинал скорости выглядит следующим образом:


ω(t) = −		U α e−αt sin(βt)			+	U e−αt cos(βt)	+	U RДВ e−αt sin(βt)		−
		cβ				c			LДВ c β

		c U		c U e−αt αsin(βt)					c U e−αt cos(βt)
−			+				+		JДВLДВ (α2 +β2 ).
	JДВLДВ (α2 +β2 )			JДВLДВβ (α2 +β2 )

Несложно убедиться, что решения СДУ операторным и классическим методами совпадают.

4.4. Моделирование системы «Двуполярный ШИП – ДПТНВ» аналитически сприменением преобразования Лапласа

Рассмотрим процесс пуска ДПТ НВ при подаче на якорную обмотку импульсного напряжения U (t) от двуполярного широтно-

импульсного преобразователя.

Рис. 51. Схема замещения якорной цепи ДПТ НВ

Напряжение якоря U (t) графически можно представить следующим образом.

Рис. 52. Напряжение, приложенное к якорю ДПТ НВ

Аналитически зависимость изменения U (t) за один период T = 2θ

можно записать следующим образом:

U (t) =U 1(t) − 2U 1(t −θ) +U 1(t − 2θ).

153

СДУ, описывающая пуск ДПТ НВ на холостом ходу –

U (t) = R		i(t) +L	di(t) +c ω(t);
	ДВ	ДВ
			dt

c i(t) = JДВ dω(t) .
		dt

Так как свободный член первого дифференциального уравнения есть функция, изображение которой затруднительно найти, в этом случае полезно воспользоваться одной из специальных теорем – интеграла Дюамеля или теоремы Бореля. Рассмотрим для начала применение интеграла Дюамеля для решения задачи Коши.

Так как интеграл Дюамеля предназначен для решения не систем, а отдельных ДУ, то для нахождения каждого из двух решений СДУ необходимо решить дифференциальное уравнение второго порядка, неизвестной функцией которого являлась бы только одна переменная состояния ДПТ. Для нахождения временной зависимости тока при пуске ДПТ сначала выразим из уравнения механического равновесия скорость ДПТ

ω(t) =	c	∫i(t)dt,

	JДВ

затем подставим полученное выражение в уравнение электрического равновесия:

U (t) = RДВ i(t) +LДВ	di(t)	+	c2	∫i(t)dt.
	dt		JДВ

Полученное интегро-дифференциальное уравнение следует продифференцировать по времени для того, чтобы избавиться от интеграла:

dU (t)

= R

di(t) +L

d 2i(t) +

i(t).

JДВ

ДВ

dt2

Найдем единичную переходную функцию при свободном члене,

равном единице, и нулевых начальных условиях:

d 2h(t) +R

dh(t)

h(t) =1,

ДВ

dt2

ДВ

JДВ

или

RДВ

d 2h(t)

dh(t)

h(t) =

dt2

ДВ

Применим к уравнению прямое преобразование Лапласа:

p2 H ( p) +

RДВ

p H ( p) +

H ( p) =

ДВ

Выразим из полученного алгебраического уравнения изображение для функции H ( p) :

154

H ( p) =					1			.
H ( p) =	LДВ p		2	+	RДВ	p +	c2	.


		p			LДВ
					LДВ		JДВ LДВ

Так как в итоге нам необходимо получить не оригинал этой единичной переходной функции, а ее производную, то умножим по свойству преобразования Лапласа изображение H ( p) на переменную p:

h′(t)	p H ( p) =					1			.
h′(t)	p H ( p) =	LДВ		2	+	RДВ	p +	c2	.


			p			LДВ
						LДВ		JДВ LДВ

Найдеморигинализображениябезучетаиндуктивностивзнаменателе:

p H ( p) LДВ =		1					.
	p2 +	RДВ	p +		c2

				J		L
		L			ДВ
		ДВ				ДВ

Предположим случай комплексно-сопряженных корней характеристического полинома:

p1.2 = −

ДВ

−

= −α ± jβ.

2LДВ

JДВ LДВ

2LДВ

Найдем оригинал по теореме разложения как

′

P ( p

) p

h (t) LДВ = ∑

Q′

( p

)

k =1

Здесь Pm ( p) =1;

RДВ

( p) = p2 +

p +

;

LДВ

JДВ LДВ

Q′( p) = 2 p +

RДВ

LДВ

Тогда

e(−α+ jβ)t

e(−α− jβ)t

h′(t) LДВ =

2 (−α + jβ)+

RДВ

2 (−α − jβ)+

RДВ

e−αt e jβt

ДВ

e−αt e− jβt

ДВ

−2α + j2β

ДВ

−2α − j2β +

ДВ

LДВ

= e−αt e jβt + e−αt e− jβt

= e−αt e jβt

−e− jβt

= e−αt sin(βt) .

j2β

(− j2β)

2 j

155

Оригинал производной единичной переходной функции –

	h′(t) =		e−αt sin(βt)		.
	h′(t) =		L	β	.
			L	β
			ДВ
Вернемся к исходному уравнению:
dU (t) = R		di(t) +L		d 2i(t) +		c2	i(t).
dU (t) = R		di(t) +L		d 2i(t) +			i(t).
dt	ДВ	dt	ДВ	dt2		JДВ

Решение этого уравнения по формуле Дюамеля – i(t) = ∫t f (τ) h′(t −τ)dτ,

причем свободный член уравнения f (t) равен не самому напряжению

U (t) , а его производной

f (t) = dUdt(t) .

Для того чтобы найти производную напряжения, воспользуемся свойством дифференцирования оригинала. Изображение функции напряжения [8] –

	1+e−2 pθ −2 e−pθ
U ( p) =U		.
	p (1−e−2 pθ )

Тогда изображение производной напряжения –
	dU (t)		1+e−2 pθ −2 e−pθ
f (t) =		p U ( p) =U			.
				−2 pθ
	dt		1−e

Применяя обратное преобразование Лапласа к полученному изображению производной напряжения, получим сумму дельта-функций Дирака с запаздыванием:

	1+e−2 pθ −2 e−pθ
F( p) =U						;
F( p) =U		−2 pθ		f (t) =U δ(t) +δ(t −2θ) −2 δ(t −θ)		;
	1−e	−2 pθ
	1−e				δ(τ −θ) ;
	f (τ) =U δ(τ) +δ(τ −2θ) −2				δ(τ −θ) ;

h′(t −τ) = e−α(t−τ) sin(β(t −τ)) = e−αt eατ sin(βt −βτ) .
			LДВ β		LДВ β

156

Ток при пуске ДПТ –
		i(t) = ∫t			f (τ) h′(t −τ)dτ =
t				0
t						e−αt eατ sin(βt −βτ)	dτ =
						e−αt eατ sin(βt −βτ)
= ∫U δ(τ) +δ(τ −2θ)			−2 δ(τ −θ)			LДВ β
0						LДВ β
	e	−αt	t
=U	e			∫δ(τ) eατ sin(βt −βτ)dτ +
=U	L	β		∫δ(τ) eατ sin(βt −βτ)dτ +
	L	β		0
	ДВ			0
t					t
+ ∫δ(τ −2θ) eατ sin(βt −βτ)dτ −2∫δ(τ −θ) eατ sin(βt −βτ)dτ .
0					0
0					0

Для нахождения тока воспользуемся свойством дельта-функции [1]:

		ϕ(x0	+0) +ϕ(x0		−0)	;

b			2
b			2
∫δ(x −x0 ) ϕ(x)dx = 0;
a		ϕ(a) +ϕ(b)		;
			2	;
			2
где ϕ(x ±0) =	lim	ϕ(x).
0	x→x0 ±0

x0 (a,b); x0 [a,b];

x0 = a; x0 =b,

С учетом этого найдем решение каждого интеграла отдельно:

ατ

eα 0 sin(βt −β 0) +eαt sin(βt −βt)

sin(βt)

∫δ(τ) e

sin(βt

−βτ)dτ =

;

∫t

δ(τ −2θ) eατ sin(βt −βτ)dτ =

lim

eατ

sin(βt −

βτ) +

lim

eατ sin(βt −βτ)

τ→2θ+0

τ→2θ−0

=e2αθ sin(βt −2βθ);

∫t

δ(τ −θ) eατ sin(βt −βτ)dτ =

lim

eατ

sin(βt −

βτ) +

lim

eατ sin(βt −βτ)

τ→θ+0

τ→θ−0

=eαθ sin(βt −βθ);

e−αt

sin(βt)

2αθ

αθ

i(t) =U

sin(βt −

2βθ) −2 e

sin(βt −

βθ) .

ДВ

157

Составим ДУ для скорости ДПТ НВ. Для этого выразим из уравнения механического равновесия двигателя ток

i(t) =

ДВ

dω(t)

и подставим это выражение в уравнение электрического равновесия:

U (t)

= L

JДВ

d 2ω(t) +R

JДВ

dω(t) +c ω(t).

ДВ

dt2

ДВ

Несложно убедиться, что единичная переходная функция и ее про-

изводная будут такими же, как и в предыдущем случае:

h′(t) =

e−αt

sin(βt)

;

ДВ

−α(t−τ)

sin

h′(t −τ) =

β(t −τ)

LДВ β

Решение ДУ для скорости будет находиться по той же формуле

Дюамеля:

ω(t) = ∫t

f (τ) h′(t −τ)dτ,

однако функцией правой части

f (t)

будет являться в этом случае уже

само напряжение U (t) , а не его производная:

f (t) =U (t) =U 1(t) −2U 1(t −θ) +U 1(t −2θ);

f (τ) =U (τ) =U 1(τ) −2U 1(τ −θ) +U 1(τ −2θ).

Скорость при пуске ДПТ НВ –

ω(t) = ∫t

f (τ) h′(t −τ)dτ =

−α(t−τ)

sin β(t −τ)

dτ =

= ∫U 1(τ) −2(τ −θ) +1(τ −2θ)

LДВ β

−α(t−τ)

∫1(τ) e

sin β(t −τ) dτ

−2 ∫1(τ −θ) e

sin β(t −τ) dτ

L β

ДВ

−α(t−τ)

+∫1(τ −2θ) e

sin β(t −τ) dτ

158

Решим каждый интеграл отдельно. Первый интеграл –

−α(t−τ)

−α(t−τ )

∫1(τ) e

sin β(t −τ) dτ = ∫e

sin β(t −τ) dτ

z =t −τ

−αz

−α sin(βz) −β cos(βz)

−αz

dz = −dτ

=−∫e

sin(βz)dz = −

α2 +β2

β(t

α sin

β(t −τ) +β cos

−τ)

e−α(t

−τ)

α2 +β2

−α(t−t)

α sin(βt) +β cos(βt)

−αt

α sin β(t −t) +

β cos

β(t −t)

−

α2 +

β2

α2 +β

=β −α sin(βt) e−αt −β cos(βt) e−αt .

α2 +β2

Второй интеграл в отличие от первого имеет в подынтегральном выражении функцию Хевисайда с запаздыванием. Поэтому весь интеграл разбивается на два интеграла, один из которых равен нулю (при интегрирования от нуля до θ):

∫t 1(τ −θ) e−α(t−τ) sin β(t −τ) dτ =θ∫e−α(t−τ) sin β(t −τ) dτ +

θ∫

−α(t−τ)

θ∫

−α(t−τ )

+ e

sin

β(t −τ) dτ

sin β(t

−τ) dτ =

z =t −τ

−αz

−α sin(βz) −β cos(βz)

−αz

dz = −dτ

=−∫e

sin(βz)dz = −

α2 +β2

α sin

(t −τ) +β cos

β(t −τ)

e−α(t−τ)

α2 +β2

=α sin β(t −t) +β cos β(t −t) e−α(t−t) −

α2 +β2

−α sin β(t −θ) +β cos β(t −θ) e−α(t−θ) =

α2 +β2

=β −α sin β(t −θ) e−α(t−θ) −β cos β(t −θ) e−α(t−θ) .

α2 +β2

159

Третий интеграл аналогичен второму с той разницей, что функция Хевисайда имеет запаздывание не на θ, а на 2 θ. Поэтому запишем сразу ответ:

∫t 1(τ −2θ) e−α(t−τ) sin β(t −τ) dτ =

=β −α sin β(t −2θ) e−α(t−2θ) −β cos β(t −2θ) e−α(t−2θ) .

α2 +β2

В итоге временная

зависимость

для

скорости

ДПТ

запишется

в виде

ω(t) =

β −α sin(βt) e−αt −β cos(βt) e−αt

−

2 +β2

ДВ

β −α sin

−α(t−θ)

−β cos

−α(t−θ)

−2

β(t −θ) e

α2 +β2

−α(t−2θ)

−β

−α(t−2θ)

β −α sin

β(t −2θ)

cos

β(t −2θ)

α2 +β2

Решение этой задачи с применением теоремы Бореля отличалось бы только тем, что на первых этапах необходимо было находить импульсную, а не единичную переходную функцию. Например, при решении ДУ для тока

dU (t) = R		di(t) +L		d 2i(t) +	c2	i(t).

dt	ДВ	dt	ДВ	dt2	JДВ

Для нахождения импульсной переходной функции составляем уравнение:

d 2K(t) +R

dK(t) +

JДВ

ДВ

dt2

ДВ

или

RДВ

d 2K(t)

dK(t)

dt2

ДВ

K(t) =1(δ),

K(t) =1(δ) .

LДВ

Применяем к этому уравнению прямое преобразование Лапласа,

учитывая, что 1(δ) 1:

RДВ

p2 K( p) +

p K( p) +

K( p) =

ДВ

откуда изображение для импульсной переходной функции

K( p) =

LДВ

RДВ

p +

LДВ

JДВ LДВ

160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2116 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ЛИТЕРАТУРА_ЭиУСУ

#
01.06.20158.26 Mб65Вольдек, Попов. Электрические машины.ч.1.Введение в электромеханику, машины постоянного тока и трансформаторы.2008.djvu
#
01.06.20159.79 Mб64Вольдек, Попов. Электрические машины.ч.2.Машины переменного тока.2008.djvu
#
01.06.20156.03 Mб315Глазырин - МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ.pdf
#
01.06.20155.15 Mб78Курганов_Элементы и устройства систем управления.pdf
#
01.06.20151.49 Mб111Марков_Шмарловский_ЭЛЕМЕНТЫ И УСТРОЙСТВА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ.pdf
#
01.06.20153.11 Mб181Маханько_Элементы и устройства систем управления.pdf