ЭиУСУ / ЛИТЕРАТУРА_ЭиУСУ / Глазырин - МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

МИНИСТЕРСТВООБРАЗОВАНИЯИНАУКИРОССИЙСКОЙФЕДЕРАЦИИ

Государственноеобразовательноеучреждениевысшегопрофессиональногообразования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙУНИВЕРСИТЕТ»

А.С. Глазырин

МАТЕМАТИЧЕСКОЕМОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХСИСТЕМ

АНАЛИТИЧЕСКИЕМЕТОДЫ

ДопущеноУМОвузовРоссиипообразованиювобластиэнергетики иэлектротехникивкачествеучебногопособиядлястудентов высшихучебныхзаведений, обучающихсяпонаправлениюподготовки 140600 – «Электротехника, электромеханикаиэлектротехнологии»

Издательство Томскогополитехнического университета

2011

УДК 62-83-52.001.5(075.8) ББК 31.291я73

Г52

Глазырин А.С.

Г52 Математическое моделирование электромеханических систем. Аналитические методы: учебное пособие / А.С. Глазырин; Томский политехнический университет. – Томск: Изд-во Томского политехнического уни-

верситета, 2011. – 206 с.

ISBN 978-5-98298-838-6

В пособии содержится описание аналитических методов математического моделирования линейных электромеханических систем в режимах пуска, торможения, реверса, наброса и сброса нагрузки. Для анализа динамики предлагаются системы дифференциальных уравнений, представленные в нормальной форме Коши. Подробно рассмотрены применения для задач математического моделирования классического метода с отысканием собственных значений и собственных векторов матрицы коэффициентов, операционного метода, метода определителей Вандермонда. В качестве базового программного продукта при решении задач моделирования предлагается использовать MathCAD.

Предназначено для студентов, обучающихся по специальности 140604 «Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов» направления 140600 «Электротехника, электромеханика и электротехнологии».

УДК 62-83-52.001.5(075.8) ББК 31.291я73

Рецензенты

Доктор технических наук профессор кафедры КИБЭВС ТУСУРа

В.А. Бейнарович

Кандидат технических наук, доцент заведующий кафедрой электропривода и автоматики СГТА

С.Н. Кладиев

2

ВВЕДЕНИЕ

Вучебном пособии рассмотрены аналитические методы математического моделирования линейных и линеаризованных электромеханических систем в режимах пуска, торможения, реверса, наброса и сброса нагрузки.

Для анализа динамики предлагаются системы дифференциальных уравнений, представленные в нормальной форме Коши.

Математическое моделирование электромеханических систем состоит из следующих основных этапов:

•составление системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих динамику электромеханических систем;

•выяснение начальных условий, определяемых физическим смыслом задачи (пуск, реверс, торможение, наброс и сброс нагрузки в электромеханической системе);

•составление математического описания входных воздействий электромеханической системы (управляющие и возмущающие воздействия);

•решениезадачи Кошидлясистемыдифференциальных уравнений;

•интерпретация результатов математического моделирования (определение показателей качества динамики электромеханической системы, выдача рекомендаций по настройке регуляторов и защит).

Подробно рассмотрены применения для задач математического моделирования классического метода с отысканием собственных значений

исобственных векторов матрицы коэффициентов, операционного метода, метода определителей Вандермонда.

Вкачестве базового программного продукта при решении задач моделирования предлагается использовать MathCAD.

Вприложении приведены примеры решения нелинейных уравнений численными методами. Решение соответствующих нелинейных уравнений для выходных координат позволяет определить такие показатели качества динамики электромеханических систем, как время переходного процесса, время достижения первого максимума, время нарастания, перерегулирование.

4

1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИХ ДИНАМИКУ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

1.1. Классификация электромеханических систем

Электромеханическая система (ЭМС) – это система, осуществляющая преобразование электрической энергии в механическую и наоборот. Все электрические привода являются электромеханическими системами. ЭМС включают в себя электромеханический преобразователь энергии (ЭМПЭ), силовой преобразователь энергии (СПЭ) и систему управления. ЭМПЭ выполняют основную функцию ЭМС – преобразуют электрическую энергию в механическую (двигатели) или механическую в электрическую (генераторы). ЭМПЭ бывают постоянного и переменного тока. В свою очередь, в зависимости от типа возбуждения ЭМПЭ постоянного тока подразделяют на ЭМПЭ независимого, параллельного, последовательного и смешанного возбуждения. К ЭМПЭ переменного тока относятся асинхронные, синхронные, вентильно-индукторные. В настоящем пособии будут рассматриваться только ЭМПЭ постоянного тока независимого возбуждения.

СПЭ – это устройства, преобразующие электрическую энергию одного вида либо с одними параметрами в электрическую энергию другого вида либо с другими параметрами. В элементную базу СПЭ входят резисторы, конденсаторы, индуктивности (дроссели и трансформаторы) и полупроводниковые вентили (диоды, тиристоры, транзисторы и т. д.). К СПЭ относятся выпрямители, инверторы, преобразователи частоты, импульсные преобразователи постоянного тока, регуляторы переменного напряжения, силовые фильтры, компенсаторы реактивной мощности. В зависимости от числа фаз СПЭ делятся на однофазные и многофазные.

Для нормальной работы ЭМС следует поддерживать необходимые значения ее координат, в качестве которых могут выступать скорость или положение вала ЭМПЭ, ток, напряжение. Координаты ЭМС в процессе работы могут отклоняться от заданных значений из-за возмущающих воздействий. Устранение таких отклонений – задача системы управления ЭМС. Системы управления делятся на аналоговые, цифровые и гибридные. Регулирование координат ЭМС осуществляется за счет специального устройства – регулятора. На рис. 1 представлена система автоматического регулирования скорости двигателя постоянного тока независимого возбуждения.

5

режим). Для получения уравнений, описывающих статический режим работы ЭМС, достаточно в СДУ для динамического режима приравнять производные координат ЭМС к нулю.

Основной задачей математического моделирования ЭМС является решение описывающей ее СДУ и дальнейший анализ этого решения. Существует два основных вида методов решения СДУ – аналитические и численные. Линейные ЭМС описываются линейными дифференциальными уравнениями, которые могут быть решены как аналитическими, так и численными методами. Различие этих методов состоит в том, что при использовании численных методов решение СДУ является несколько неточным. Аналитические же методы позволяют получить точное решение, не содержащее погрешность. Нелинейные ЭМС описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, для решения которых применимы только численные методы. В данном пособии рассматриваются только аналитические методы решения линейных ЭМС.

1.2.Представление моделей электромеханических систем

впространстве состояний. Общая постановка задачи Коши

Пусть ЭМС имеет переменные состояния x1, x2 ,..., xn . Переменные

состояния – это те величины, которые определяют энергетическое состояние ЭМС. В качестве таких величин могут выступать токи через катушки индуктивности, напряжения на конденсаторах, скорости вращения двигателей и т. д. Математическую модель ЭМС можно представить в виде СДУ 1-го порядка, записанной в нормальной форме Коши, т. е. разрешенной относительно производных:

где a11, a12 , ..., ann – постоянные коэффициенты, образующие матрицу коэффициентов

b1 (t), b2 (t), ..., bn (t) – независимые свободные члены дифференциальных уравнений (ДУ), образующие вектор-функцию членов ДУ

7

где 1(t) – функция Хэвисайда, или единичное ступенчатое воздействие. ДУ 1-го порядка, связывающее некоторую функцию x(t) и ее про-

изводную

dxn (t) = an xn (t) +bn (t) 1(t), dt

является неоднородным, так как включает в себя свободный член bn (t ) 1(t ). При равенстве bn (t) = 0 данное ДУ становится однородным.

То же самое можно сказать о СДУ (1). Если данная система содер-

Вышеприведенную модель ЭМС можно представить несколько подробнее:

Модели ЭМС в пространстве состояний пригодны для анализа всех динамических режимов работы: пуска, торможения, реверса, наброса и сброса нагрузки. В результате математического моделирования можно получить статические и динамические характеристики ЭМС. Анализ таких характеристик можно проводить, используя показатели качества

(рис. 2) [4]:

1) время переходного процесса (время регулирования) tпп ;

8

2) перерегулирование σ = (hmax −hуст ) 100 %;

hуст

3) время достижения первого максимума tmax ;

4) время нарастания переходного процесса tн ;

5) период колебаний T0 = 2π ;

ω0

6) число колебаний за время переходного процесса.

Рис. 2. Показатели качества переходного процесса

Дополнив СДУ в нормальной форме Коши вектором начальных условий

можно решить задачу Коши. Задача Коши заключается в нахождении такого решения СДУ, которое удовлетворяет заданным начальным условиям x(0).

9

1.3. Классический методрешения системдифференциальных уравнений

1.3.1. Алгоритмклассическогометодарешения системдифференциальныхуравнений

Пусть ЭМС описывается некоторой неоднородной СДУ и, в зависимости от режима работы ЭМС, заданы начальные условия x(0) для

переменных состояния x1, x2 ,..., xn . Тогда для этой СДУ решение задачи

Коши классическим способом может быть найдено по следующему алгоритму:

1.Выписать однородную систему, соответствующую заданной неоднородной, и найти ее общее решение xО(t) .

2.Найти частное решение xЧ (t) неоднородной системы.

3.Записать общее решение в виде суммы: x(t) = xЧ (t) + xО(t) .

4.Найти частное решение неоднородной СДУ, удовлетворяющее заданным начальным условиям x(0). Другими словами, этот этап со-

стоит в нахождении постоянных интегрирования. Несмотря на то, что в классическом курсе математики постоянные интегрирования обозначают через букву C, в данном учебном пособии будем обозначать постоянные интегрирования буквой N для того, чтобы не перепутать их с емкостью конденсатора или коэффициентом связи двигателя постоянного тока.

При решении однородных СДУ классическим способом наиболее удобным является метод сведения решения системы к задаче отыскания собственных значений и собственных векторов матрицы коэффициентов СДУ. Его алгоритм следующий:

1.Записать матрицу A коэффициентов перед неизвестными СДУ.

2.Найти собственные значения и собственные вектора матрицы A. При этом число полученных линейно независимых соб-

ственных векторов матрицы A должно равняться порядку СДУ. В противном случае система должна решаться другим методом (например, методом исключения неизвестных или методом неопределенных коэффициентов) [8].

3. Выписать все компоненты решения СДУ в зависимости от типа корней.

Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы A:

10