ЭиУСУ / ЛИТЕРАТУРА_ЭиУСУ / Маханько_Элементы и устройства систем управления

лученные при исследовании линеаризованной системы, на исходную нелиней-

ную систему, линеаризацию следует выполнять с помощью разложения в ряд Тейлора.

Если линеаризация исходного нелинейного дифференциального уравнения

(1) успешно проведена, динамику элемента будет описывать линейное диффе-

ренциальное уравнение соответствующего порядка

Это дифференциальное уравнение также является точным (в рамках про-

веденной линеаризации) описанием динамических свойств элемента.

Если коэффициенты полученного линейного дифференциального уравне-

ния являются константами, не зависящими от времени, уравнение называется

стационарным и к нему можно эффективно применить преобразование Лапла-

са.

Полезной особенностью преобразования Лапласа является то, что диффе-

ренциальные соотношения превращаются в алгебраические. Напомним: если для некоторого процесса z(t) известно его преобразование по Лапласу Z(p) = L(z(t)),

то преобразование от первой производной по времени определяется простой формулой

L( dzdt(t ) ) = p * Z ( p) + z(0) .

Произведя преобразование Лапласа над полученным выше линейным

дифференциальным уравнением (2) при нулевых начальных условиях, получим

21

Для удобства дальнейшего применения полученного выражения, преобра-

зуем его к виду

Удобство этого представления заключается в том, что в правую часть не входят входной и выходной сигналы, и она определяется только свойствами элемента.

В линейной теории автоматического управления широко применяется ап-

парат передаточных функций. Передаточная функция это отношение изобра-

жения по Лапласу выходного сигнала к изображению входного сигнала при ну-

левых начальных условиях

Передаточная функция является еще одним и очень эффективным спосо-

бом описания динамических свойств элемента.

Зная передаточную функцию элемента W(p), можно перейти к другому, не менее удобному способу описания динамических свойств. Если в передаточной функции произвести замену переменной p на комплексную частоту

p = jω ,

выражение передаточной функции можно привести к виду

W ( jω) = U (ω) + jV (ω) .

Выражение W(jω) называется комплексной частотной характеристикой,

а U(ω) и V(ω) – соответственно ее вещественной и мнимой частями (рис.10а).

Комплексную частотную характеристику можно представить в показа-

тельной форме

22

где H (ω) = U 2 (ω) + V 2 (ω) - амплитудно – частотная характеристика

(рис.10б),

Θ(ω) = arctg(V (ω) ) - фазо – частотная характеристика. (рис.10в)

U (ω)

Амплитудно- и фазо– частотные характеристики также являются вариан-

тами описания динамических свойств элемента.

H(ω)

V(ω)

ω

U(ω)

б)

Рис.10

Частотные характеристики

Для удобства анализа и применения частотных характеристик в теории ав-

томатического управления, электротехнике и электронике применяются частот-

ные характеристики, представленные в логарифмическом масштабе:

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАХ)

и логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФХ), представле-

ны на рис.11.

На логарифмической амплитудной частотной характеристике (ЛАХ) по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе (log(ω)). Ин-

тервал по оси абсцисс равный одной декаде соответствует изменению частоты в десять раз. Это позволяет удобно отобразить широкий интервал частот. По оси ординат откладывается в логарифмическом масштабе зависимость

23

L(ω) = 20 log(H (ω)) . L(ω) измеряется в децибелах. (20 децибел – усиление в 10

раз, 40 децибел – усиление в 100 раз, -20 децибел – ослабление в 10 раз).

-1800

Рис.11

Логарифмические частотные характеристики

На логарифмической фазовой частотной характеристике (ЛФХ) также как и на ЛАХ по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе

(log(ω)). По оси ординат откладывается величина сдвига фазы выходного сигна-

ла относительно входного Θ(ω) .

Для линейных элементов все эти варианты описания динамических свойств: линейное дифференциальное уравнение, передаточная функция и ча-

стотные характеристики являются равноценными и могут пересчитываться из одного вида в другой.

Представление динамических свойств в форме частотных характеристик удобно тем, что кроме расчета они могут быть получены экспериментальным путем в том случае, когда не известно устройство элемента (метод «черного ящика»). Для получения частотных характеристик экспериментальным путем на вход элемента от специального генератора подается синусоидальный входной сигнал

24

X= X m Sin(ωt) ,

ана выходе регистрируется выходной сигнал

Y = Ym Sin(ωt + Θ)

Отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала на частоте ω дает точку амплитудно – частотной характеристики

H (ω) = Ym ,

X m

а сдвиг по фазе Θ выходного сигнала относительно входного дает точку фазо – частотной характеристики Θ(ω ) . Проведя ряд экспериментов на различных ча-

стотах ω, можно построить частотные характеристики исследуемого элемента.

При необходимости, полученные частотные характеристики можно представить в форме ЛАХ и ЛФХ.

В некоторых случаях необходимо кратко, одним – двумя числами, охарак-

теризовать динамические свойства элемента. Это бывает полезно для предвари-

тельной оценки применимости рассматриваемого элемента в конкретной систе-

ме.

Одной из таких кратких характеристик, широко применяемых на практике,

является полоса пропускания fПР. Границы полосы пропускания определяются по амплитудно– частотной характеристике как интервал частот, в пределах кото-

рого модуль амплитудно– частотной характеристики уменьшается не более чем в

1,41 раза ( -3 дб в случае ЛАХ), как показано на рис. 11.

Другая, также часто используемая краткая характеристика динамических свойств элемента – время переходного процесса tП (см. рис. 3). Между временем переходного процесса и величиной полосы пропускания существует взаимно -

обратная зависимость

25

Общее свойство – чем шире полоса пропускания, тем меньше время пере-

ходного процесса у рассматриваемого элемента. Это позволяет оценивать при-

менимость элемента для решения определенной технической задачи, например – для построения электронного устройства, обеспечивающего время переходного процесса tП ≤ 0,0001 сек, нет смысла использовать электронные компоненты

(транзисторы, диоды и т.д.) с полосой пропускания менее 10 – 50 кгц.

Для нелинейных элементов частотные характеристики являются менее удобным инструментом описания динамических свойств, поскольку при подаче на вход нелинейного элемента гармонического сигнала частотой ω на выходе будет существовать сигнал, содержащий целый спектр гармоник, и отношение амплитуд входного сигнала и этих гармоник будет зависеть от величины входно-

го сигнала. В теории автоматического управления для исследования некоторых свойств нелинейных систем, в частности определения параметров возникающих в системе автоколебаний, применяется метод гармонической линеаризации. В

этом методе для описания свойств нелинейного элемента используется специфи-

ческая частотная характеристика, в которой учитывается только первая гармони-

ка сложного выходного сигнала.

Краткой характеристикой динамических свойств нелинейных элементов, в

первую очередь релейных, служит время включения tВКЛ и время выключе-

ния tВЫКЛ.- время за которое элемент переходит из одного состояния в другое.

1.4 Энергетические свойства элементов

Каждый элемент в силу своих свойств преобразует входной сигнал X в вы-

ходной Y. Под этим понимается в первую очередь информационное преобразо-

вание, но каждый сигнал является реальным физическим процессом, который обладает не только информационными, но и энергетическими свойствами. Непо-

средственной зависимости информационных и энергетических свойств сигнала

26

не существует. Очень содержательный в информационном отношении сигнал может иметь ничтожную мощность, а мощный энергетический процесс содер-

жать чрезвычайно мало информации.

Для успешного функционирования элементы должны быть энергетически согласованы друг с другом, чтобы энергии передаваемого между ними сигнала

было достаточно для правильной передачи необходимой информации.

По своим энергетическим свойствам все элементы делятся на два вида –

активные и пассивные.

У пассивных элементов единственным источником энергии выходного сигнала является входной сигнал (рис.12). Поскольку часть энергии входного сигнала будет израсходована на покрытие потерь при функционировании эле-

мента (трение, джоулево тепло при протекании тока по проводнику, паразитное излучение световых или радиоволн и т.д.) мощность выходного сигнала у пас-

сивного элемента всегда меньше мощности входного сигнала Рвых < Рвх.

Активный элемент кроме входного сигнала имеет еще дополнительный ис-

точник энергии – источник питания (рис.13). Благодаря дополнительной энергии от источника питания, у активного элемента можно получить мощность выход-

ного сигнала больше, чем мощность входного сигнала

Рвых > Рвх.

27

Это соотношение не означает нарушение закона сохранения энергии, т.к.

общий баланс энергий нарушен не будет:

РВХ +РПИТ ≡ РВЫХ +РПОТЕРЬ

У активных элементов входной сигнал осуществляет модуляцию (управля-

емое изменение) передачи энергии от источника питания на выход, поэтому ак-

тивные элементы называют модуляторными.

В пассивных элементах вся энергия выходного сигнала берется от входно-

го сигнала, поэтому другое название пассивных элементов – генераторные

элементы.

Примерами пассивных элементов являются, например светодиод, вся све-

товая энергия которого есть часть подведенной электрической энергии, фотоди-

од в генераторном режиме, когда он вырабатывает электрическую энергию из поглощенной им световой энергии или электродвигатель, преобразующий под-

водимую к нему электрическую энергию в механическую.

Примером активного элемента является фотодиод в диодном режиме, ко-

гда световой сигнал изменяет величину тока, потребляемого от источника пита-

ния, или электронный усилитель, обеспечивающий большую мощность выход-

ного сигнала под управлением слабого входного сигнала.

Тема 2. Электрический контакт

2.1Сопротивление контакта

Всовременных системах автоматического управления в основном приме-

няются электрические сигналы. Они легко формируются, обрабатываются, пере-

даются и принимаются элементами. В основном электрические сигналы переда-

ются по гальванической связи – через проводники. В месте соединения провод-

ников образуется электрический контакт. Таких контактов в современных элементах и системах может быть очень много – сотни, тысячи и даже миллио-

ны. Поэтому знание свойств электрических контактов и умение правильно их

28

конструировать и применять так важно при проектировании элементов и систем автоматического управления. Неправильно спроектированные контакты могут существенно снизить надежность и долговечность всей системы или вообще сделать ее неработоспособной.

Проведем простой эксперимент: возьмем проводник определенной длины и сечения и замеряем его электрическое сопротивление R0.

Разрежем проводник на две части, приведем их в соприкосновение и со-

жмем с некоторой силой FК, как показано на рис.14.

FK

R0 R0+RK

FK

Рис.14

Определение сопротивления проводника.

Измерение сопротивления замкнутых таким образом частей проводника показывает, что величина сопротивления возрастает

Появившееся дополнительное сопротивление RK называется переходным сопротивлением контакта и состоит из двух частей

RK = RСТ + RПЛ

29

Эти составляющие переходного сопротивления имеют различную физиче-

скую природу. Первая составляющая RСТ называется сопротивлением стягива-

ния, вторая составляющая RПЛ представляет собой сопротивление поверхност-

ных пленок на соприкасающихся поверхностях.

Сопротивление стягивания вызвано тем, что непосредственный гальвани-

ческий контакт соприкасающихся поверхностей происходит не по всей поверх-

ности соприкосновения, а только на отдельных малых площадках, суммарная площадь которых существенно меньше. Величина этой суммарной площади определяется равновесием силы контактного нажатия FК и силы реакции де-

формации материала проводника

FK = σ СЖ ∑ Si ,

где σСЖ – прочность материала проводника на сжатие, Si – площадь i – й

элементарной площадки контакта.

Из-за отсутствия сплошного контакта на поверхности соприкосновения линии тока в теле контакта будут деформироваться, стягиваясь к отдельным площадкам (рис. 15).

Рис.15.

Стягивание тока в контакте.

30