Задачник по ЭМММ
.pdfот существующего запаса в i-й строке отнимается величина сделанной перевозки, прежний запас зачеркивается, а вместо него записывается остаток,
т.е. aiтек bтекj .
Если существующий запас не позволяет перевезти всю потребность, то
в клетку (i,j) в качестве перевозки вписывается значение запаса aiтек ;
i-я строка вычеркивается, поскольку ее запас уже исчерпан;
от существующей потребности в j-й строке отнимается величина сделанной перевозки, прежняя потребность зачеркивается, а вместо нее
записывается остаток, т.е. bтекj aiтек .
Нахождение опорного плана продолжается до тех пор, пока не будут вычеркнуты все строки и столбцы.
Метод минимального элемента
На каждом шаге метода минимального элемента из всех не вычеркнутых клеток транспортной матрицы выбирается клетка с минимальной стоимостью перевозки min cij . Заполнение выбранной клетки производится по правилам, описанным выше.
Метод Фогеля
На каждом шаге метода Фогеля для каждой i-й строки вычисляются штрафы di как разность между двумя наименьшими тарифами строки. Таким же образом вычисляются штрафы d j для каждого j-го столбца. После чего выбирается максимальный штраф из всех штрафов строк и столбцов. В строке или столбце, соответствующем выбранному штрафу, для заполнения выбирается не вычеркнутая клетка с минимальным тарифом min cij .
Если существует несколько одинаковых по величине максимальных штрафов в матрице, то в соответствующих строках или столбцах выбирается одна не вычеркнутая клетка с минимальным тарифом min cij .
71
Если клеток с минимальным тарифом также несколько, то из них выбирается клетка (i,j) с максимальным суммарным штрафом, т.е. суммой
штрафов по i-й строке и j-му столбцу.
5.2. Методические рекомендации
Формально и реальные и фиктивные столбцы и строки в транспортной матрице абсолютно равноправны. Поэтому при нахождении опорных планов фиктивные строки, столбцы и тарифы необходимо анализировать и использовать точно так же как и реальные. Но при вычислении значения ЦФ фиктивные перевозки не учитываются, поскольку они реально не были
выполнены и оплачены.
Если величина фиктивных тарифов превышает максимальный из
реальных тарифов задачи [ cф max c |
|
i |
|
|
|
], то методы |
ij |
1, n; j |
1, m |
||||
|
|
|
|
|
|
минимального элемента и Фогеля позволяют получить более дешевые планы перевозок, чем в случае с нулевыми фиктивными тарифами.
Задача №5.01
Найти тремя методами опорный план ТЗ, в которой запасы на трех складах равны 210, 170, 65 ед. продукции, потребности четырех магазинов равны 125, 90, 130, 100 ед. продукции, тарифы перевозки в рублях за единицу продукции следующие:
|
5 |
8 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
4 |
9 |
. |
|
9 |
2 |
3 |
1 |
|
|
|
Решение
Проверка сбалансированности задачи показывает, что суммарный объем запасов равен суммарному объему потребностей, т.е. введение фиктивных столбцов или строк не потребуется
72
запасы |
потребности |
|
|
210 170 65 |
125 90 130 100 . |
|
|
445 ед.товара |
445 ед.товара |
Результаты нахождения опорного плана различными методами
представлены в табл.5.1, 5.2 и 5.3.
|
|
|
|
|
Таблица 5.1 |
|
Транспортная таблица с опорным планом северо-западного угла |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Пункты |
Пункты потребления, B j |
Запасы, |
||||
отправления, Ai |
В1 |
В2 |
B3 |
B4 |
ед. продукции |
|
А1 |
125 |
85 |
|
|
210/85/0 |
|
5 |
8 |
1 |
2 |
|||
|
|
|||||
A2 |
|
5 |
130 |
35 |
170/165/35/0 |
|
2 |
5 |
4 |
9 |
|||
|
|
|||||
A3 |
|
|
|
65 |
65/0 |
|
9 |
2 |
3 |
1 |
|||
|
|
|||||
Потребность, |
125/0 |
90/5/0 |
130/0 |
100/65/0 |
|
|
ед. продукции |
|
|||||
|
|
|
|
|
||
Опорный план XСЗУ , найденный методом северо-западного угла |
125 |
85 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XСЗУ |
0 |
5 |
130 |
35 |
|
[ед.товара]. |
|
0 |
0 |
0 |
65 |
|
|
|
|
|
Соответствующая ЦФ (общие затраты на перевозку)
L X СЗУ 125 5 85 8 5 5 130 4 35 9 65 1 2230 [руб.].
73
Таблица 5.2
Транспортная таблица с опорным планом минимального элемента
Пункты |
|
|
|
Пункты потребления, B j |
|
|
|
|
Запасы, |
|
|||||||||||||||||
отправления, Ai |
|
|
В |
|
|
|
В |
2 |
|
|
|
|
B |
|
B |
4 |
|
|
ед. продукции |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
А1 |
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
130 |
|
|
35 |
|
|
|
210/80/45/0 |
||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A2 |
|
|
125 |
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
170/45/0 |
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
4 |
|
|
9 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65 |
|
|
|
|
|
65/0 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Потребность, |
|
125/0 |
|
|
90/45/0 |
|
|
130/0 |
|
100/35/0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ед. продукции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Опорный план X МЭ , найденный методом минимального элемента |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
45 |
130 |
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ед.товара], L X МЭ |
1100 [руб.]. |
|
||||||||||||||
XМЭ 125 |
45 |
0 |
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
0 |
65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5.3 |
|||
|
Транспортная таблица с опорным планом Фогеля |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
В1 |
|
В2 |
|
|
B3 |
|
|
|
B4 |
|
|
|
bi |
|
|
Штрафы строк, di |
||||||||||
А1 |
|
|
|
|
|
|
110 |
|
|
|
100 |
|
210/110/0 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
7 |
||||||
5 |
|
|
8 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A2 |
125 |
|
|
25 |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
170/45/25/0 |
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
||||
2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A3 |
|
|
|
65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65/0 |
|
|
1 |
|
1 |
|
– |
|
– |
|
9 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a j |
125/0 |
|
90/25/ |
|
130/20 |
|
|
100/0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
/0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Штрафы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
столбцов, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d j |
– |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
– |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На первом шаге нахождения опорного плана методом Фогеля возникает ситуация равенства значений максимальных штрафов транспортной матрицы
(см. табл. 5.3)
d 1столбца d 2столбца 3.
Минимальные тарифы в этих столбцах также совпадают
с21 с32 2 .
Поэтому необходимо сравнить суммарные штрафы dij клеток (2,1) и (3,2)
d 21 d 2строки d 1столбца 2 3 5; d 32 d 3строки d 2столбца 1 3 4.
Т.к. d21 d32 , то выбираем на первом шаге для заполнения клетку (2,1).
Опорный план X Ф , найденный методом Фогеля
|
0 |
0 |
110 |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ед.товара], L XФ 895 |
|
XФ 125 |
25 |
20 |
0 |
|
[руб.]. |
||
|
0 |
65 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
5.3. Варианты задач для самостоятельного решения
Задача №5.1
Найти тремя методами опорный план транспортной задачи, в которой запасы на трех складах равны 160, 140, 170 ед. продукции, потребности четырех магазинов равны 120, 50, 200, 110 ед. продукции, тарифы перевозки в рублях за единицу продукции следующие
|
7 |
8 |
1 |
2 |
|
|
4 |
5 |
9 |
8 |
|
|
. |
||||
|
9 |
2 |
3 |
6 |
|
|
|
Решите задачу для следующих случаев:
фиктивные тарифы нулевые;
75
фиктивные тарифы одинаковы по величине и превышают максимальный из реальных тарифов.
Сравните полученные опорные планы, соответствующие ЦФ и объясните причину их различия.
Задача №5.2
Найти тремя методами опорный план транспортной задачи №4.1 для случая, когда фиктивные тарифы больше максимального реального тарифа.
Задача №5.3
Найти тремя методами опорный план транспортной задачи №4.2 для случая, когда фиктивные тарифы больше максимального реального тарифа.
Задача №5.4
Найти тремя методами опорный план транспортной задачи №4.3 для случая, когда фиктивные тарифы больше максимального реального тарифа.
Задача №5.5
Найти тремя методами опорный план транспортной задачи №4.4 для случая, когда фиктивные тарифы больше максимального реального тарифа.
6. ОБЩАЯ РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
6.1. Теоретическое введение
Общая распределительная задача ЛП – это РЗ, в которой работы и ресурсы (исполнители) выражаются в различных единицах измерения. Типичным примером такой задачи является организация выпуска разнородной продукции на оборудовании различных типов.
76
Исходные параметры модели РЗ
1)n – количество исполнителей;
2)m – количество видов выполняемых работ;
3)a i – запас рабочего ресурса исполнителя Ai ( i 1, n ) [ед.ресурса];
4)b j – план по выполнению работы B j ( j 1, m ) [ед. работ];
5) |
cij – |
стоимость выполнения работы |
B j |
исполнителем |
Ai |
[руб./ед. работ]; |
|
|
|
||
6) |
ij – |
интенсивность выполнения работы |
B j |
исполнителем |
Ai |
[ед. работ/ед.ресурса]. |
|
|
|
||
|
|
Искомые параметры модели РЗ |
|
|
|
1) |
xij – планируемая загрузка исполнителя Ai при выполнении работ B j |
||||
[ед. ресурса]; |
|
|
|
|
|
2) |
xijк – |
количество работ B j , которые должен |
будет произвести |
||
исполнитель Ai [ед. работ]; |
|
|
|
||
3) |
L X – общие расходы на выполнение всего запланированного объема |
работ [руб.].
Этапы построения модели
I.Определение переменных.
II.Построение распределительной матрицы (см. табл.6.1).
III. Задание ЦФ.
IV. Задание ограничений.
77
Таблица 6.1
Общий вид распределительной матрицы
Исполнители, Ai |
|
|
|
Работы, |
B j |
|
Запас ресурса, |
||||||||
|
В1 |
|
|
В2 |
|
… |
Bm |
ед.ресурса |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
А1 |
c11 |
|
|
c12 |
|
… |
c1m |
a1 |
|||||||
|
11 |
|
|
|
|
12 |
|
1m |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
А2 |
c21 |
|
|
c22 |
|
… |
c2m |
a 2 |
|||||||
|
21 |
|
|
|
|
22 |
|
2m |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
… |
|
… |
|
|
… |
|
… |
… |
… |
||||||
An |
cn1 |
|
|
cn2 |
|
… |
cnm |
a n |
|||||||
|
n1 |
|
|
|
|
n 2 |
|
nm |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
План, ед.работы |
|
b1 |
|
|
b2 |
|
… |
bm |
|
||||||
|
|
|
|
Модель РЗ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
n |
m |
|
|
|
|
||||||||
L X |
|
сij ijxij min ; |
|
||||||||||||
|
|
i 1 j 1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
xij ai , i 1, n, |
|
|
|
|
|||||||||
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ijxij b j, j 1, m, |
|
|
|||||||||||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 i 1, n; j 1, m , |
|
|
||||||||||||
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ijxij – это количество работ j-го вида, выполненных i-м исполнителем.
Этапы решения РЗ
I. Преобразование РЗ в ТЗ:
1) выбор базового ресурса и расчет нормированных производительностей ресурсов i :
i |
ij |
; |
(6.2) |
|
баз j |
||||
|
|
|
||
|
78 |
|
|
2) пересчет запаса рабочего ресурса исполнителей a |
: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
i |
[ед. ресурса]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.3) |
|
||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) пересчет планового задания b j : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
b |
|
b j |
ед.работ ед. ресурса |
ед. ресурса |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.4) |
|
||||||||||
j |
|
баз j |
|
|
|
|
ед. работ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4) пересчет себестоимостей работ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
c c |
|
|
|
|
|
руб. ед.работ |
|
руб. |
|
. |
|
|
(6.5) |
|
||||||||||||
ij |
ij |
баз j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ед. ресурса |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
ед. работ ед. ресурса |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
II. Проверка |
|
баланса |
|
пересчитанных |
параметров |
|
|
n a |
|
m b |
и |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
j 1 |
|
|
построение транспортной матрицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
III. Поиск оптимального решения ТЗ X'* x'* |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IV. Преобразование |
оптимального решения |
ТЗ |
X'* |
|
|
в оптимальное |
||||||||||||||||||||
решение РЗ X*, причем переход X'* X* выполняется по формуле (6.6) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
xij |
xij' |
|
|
[ед. ресурса], |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.6) |
|
||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где xij и xij' – соответственно элементы решения РЗ и ТЗ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
V. Определение |
количества работ Xк* xк* |
, соответствующее |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
оптимальному решению РЗ X*: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
xijк ijxij |
ед. работ ед. ресурса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ед. работ . |
|
|
|
|
(6.7) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
ед. ресурса |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VI. Определение ЦФ распределительной задачи L( X* ) согласно (6.1).
79
6.2. Методические рекомендации
Задача №6.01
На фабрике эксплуатируются три типа ткацких станков, которые могут выпускать четыре вида тканей. Известны следующие данные о производственном процессе:
производительности станков по каждому виду ткани, м/ч
|
24 |
30 |
18 |
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
12 |
15 |
9 |
|
21 |
; |
||
|
8 |
|
10 |
6 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
себестоимость тканей, руб./м |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cij |
3 2 |
4 |
1 |
; |
|
|
||
|
|
6 |
3 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
фонды рабочего времени станков ( a i ): 90, 220, 180 ч;
планируемый объем выпуска тканей ( b j ): 1200, 900, 1800, 840 м.
Требуется распределить выпуск ткани по станкам с целью минимизации общей себестоимости производства ткани.
Решение
Пусть переменные xij – это время, в течение которого i-й станок будет
выпускать j-ю ткань. Сведем исходные данные задачи в распределительную таблицу (табл.6.2).
80