13

Физика колебаний и волн ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лекция 3

ДИФРАКЦИЯ ВОЛН

1. Принцип Гюйгенса-Френеля

Любую плоскую электромагнитную волну можно представить в виде световых лучей, т. е. в виде узкого пучка света. В однородной среде свет распространяется прямолинейно, что подтверждается образованием тени от непрозрачных предметов. Любое отклонение при распространении волны от законов геометрической оптики называют дифракцией.

Благодаря дифракции световые волны (как и любые другие волны, например, акустические) могут попадать в область геометрической тени: огибать препятствия, распространяться вдоль поверхностей, проникать сквозь малые отверстия, размеры которых сравнимы или меньше длины волны.

Для объяснения дифракции света (волновая природа света) используют принцип Гюйгенса-Френеля: каждая точка фронта волны является источником вторичных волн, которые когерентны и интерферируют.

Принцип Гюйгенса-Френеля позволяет найти результирующую амплитуду в некоторой точке пространства. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля свет должен наблюдаться в тех точках пространства, куда при интерференции вторичные волны приходят в одинаковой фазе (усиливают друг друга  максимум интерференции). В тех точках пространства, куда они приходят в противофазе (гасят друг друга  минимум интерференции), наблюдается темнота. Физический смысл огибающей вторичных волн заключается в том, что все вторичные волны колеблются в этот момент в одинаковых фазах и их интерференция приводит к максимальной интенсивности света. По этой причине и отсутствует обратная волна.

Действительно, вторичные волны, распространяющиеся вперед от волнового фронта, попадают в невозмущенное пространство. Они интерферируют только друг с другом. Вторичные волны, идущие назад, где распространяются в противофазе с ними первичные волны, гасят друг друга.

2. Метод зон Френеля

Строгий расчет дифракции света связан с математическими трудностями. Френель предложил более простой метод для объяснения дифракции света, который называют методом зон Френеля. Согласно этому методу в любой момент времени волновую поверхность S разбивают на отдельные зоны, каждая из которых отделена от предыдущей на /2 (рис. 1). При распространении плоской монохроматической электромагнитной (световой) волны (параллельный пучок лучей) в т. М на экране наблюдается дифракция света в виде чередующихся светлых и темных колец.

Рис. 1

На произвольной волновой поверхности S, находящейся на расстоянии r₀ (ОМ) от экрана, выделим зоны, которые в данном случае, образуют ряд концентрических окружностей (колец). Границей первой (центральной) зоны служат точки поверхности S, находящейся на расстоянии r₁ = от точки М (рис. 1).

Соответственно точки В, С волновой поверхности, находящиеся на

расстоянии r₁ = r₀+ , r₃ = и т. д. от т. М, образуют границы второй, третьей и т.д. зон Френеля. Найдем радиусы зон Френеля. В  ОАМ радиус первой зоны

,

т. е. , (1)

где r₀  расстояние от т. О до т. М;

  длина волны света.

В  ОВМ радиус второй зоны

или

, (2)

где слагаемым ² пренебрегаем, так как ² <<R. В  ОСМ радиус третьей зоны и т. д. (3)

Следовательно, для любой m  й зоны Френеля

, (4)

где m = 1, 2, 3, ... .

Используя формулу (1), находим площадь первой зоны

S₁ =  = r₀. (5)

Все остальные зоны Френеля представляют собой концентрические полосы. Поэтому площадь второй зоны равна разности площадей круга радиуса R₂ и R₁, т. е.

S₂ = R₂²   R₁² = r₀. (6)

Площадь третьей зоны S₂ =    = r₀ и т. д.

Площадь m  ой зоны S_m = r₀. (7)

Таким образом, площади всех зон Френеля равновелики и содержат одинаковое количество вторичных источников.

Вторичные волны, возбуждаемые в т. М от двух соседних зон, противоположны по фазе и при наложении гасят друг друга. Так как оптическая разность хода  в т. М равна нечетному числу длин полуволн (условие минимума интерференции).

Следовательно, амплитуду результирующей волны можно найти по формуле А = А₁  А₂ + А₃  А₄ + ... , (8)

где А₁, А₂, А₃, ... – амплитуды волн, возбуждаемых в т. М 1-, 2-, 3-й и т. д. зонами Френеля.

Чередование знаков «±» вызвано тем, что соседние зоны гасят друг друга. Однако по мере увеличения номера зоны величина амплитуда волны от соответствующих зон уменьшается, т. е. А₁ > А₂ > А₃ > А₄ > ... . Общее число зон Френеля на волновом фронте велико (N  10⁵). Результирующую амплитуду можно получить, если представить (8) в следующем виде

(9)

так как все выражения, стоящие в скобках, равны нулю.

Следовательно, при полностью открытом фронте волны амплитуда результирующей волны равна половине амплитуды первой зоны Френеля.

Если свет распространяется от близкого точечного источника S (рис. 8.2, а, б), то применяя метод зон Френеля находим, что радиус m-й зоны

(8.10)

где a – радиус волновой поверхности; b – расстояние от вершины волновой поверхности до экрана; m – номер зоны;   длина волны света.

Рис. 2

Волны, возбуждаемые в т. М любым четным числом зон, противоположны по фазе и при наложении гасят друг друга, т. е. в центре дифракционной картины наблюдается темное пятно (рис. 2, б). Если число зон нечетно, то в центре дифракционной картины наблюдается светлое пятно (рис. 2, а).

Если в формуле (2, а) положить a = b = 1 м и = 500 нм, то радиус первой (центральной) зоны Френеля r₁ = 0,5 мм. Поэтому практически можно считать, что свет распространяется от точечного источника S до т. М прямолинейно. В связи с этим свет при распространении можно рассматривать в виде лучей.