2. Тождественность одинаковых частиц. Принцип Паули

Системе квантовых частиц обладает свойствами, не имеющими аналога не только в классической физике, но и в квантовой механике одной частицы. Если в систему входят одинаковые частицы, то они имеют одинаковые массы, заряды и все другие внутренние характеристики. Например, одинаковы все электроны или фотоны. Особенность квантовой теории систем частиц заключается в принципиальной неразличимости или тождественности одинаковых частиц.

Перестановка любых двух одинаковых частиц не влияет ни на одну из физических величин, характеризующих систему, т. е. не изменяется ни одна из квантово  механических вероятностей. В квантовой механике одинаковые частицы теряют свою индивидуальность, так как движутся не по траекториям и, следовательно, проследить за каждой невозможно в принципе. Перестановка любой пары частиц или оставляет волновую функцию системы одинаковых частиц неизменной, или меняет ее знак. В первом случае волновая функция системы одинаковых частиц называется симметричной, а во втором  антисимметричной.

Симметричные функции не изменяются при любой перестановке координат частиц и проекций их спинов, а антисимметричные меняют знак при нечетном числе таких перестановок. Кроме того, симметрия волновой функции системы одинаковых частиц сохраняется во времени.

Следовательно, тип симметрии волновой функции является свойством только самих частиц.

Сначала опытным путем была установлена, а затем Паули теоретически обосновал зависимость симметрии волновых функций системы одинаковых частиц от спина частиц и с тех пор является законом квантовой механики:

Системы одинаковых частиц с целочисленными спинами описываются симметричными волновыми функциями. Антисимметричные волновые функции описывают состояния только систем одинаковых частиц с полуцелыми спинами.

В связи с этим зависимость волновых функций от спинов частиц всегда существенна даже в тех случаях, когда силовое взаимодействие между частицами весьма слабое и им можно пренебречь. Поэтому спин микрочастицы является ее важнейшей характеристикой.

Например, квантовая статистика Бозе  Эйнштейна для бозонов (фотон, пион и др.), т. е. частиц с целым спином и квантовая статистика Ферми  Дирака для фермионов (протон, электрон, нейтрон и др.), т. е. частиц с полуцелым спином.

В 1925 г. Паули установил квантово  механический принцип (принцип запрета Паули для электронов). В приближении невзаимодействующих частиц антисимметрия волновых функций одинаковых фермионов означает, что

в любом атоме не может быть двух электронов, находящихся в одинаковых стационарных состояниях, определяемых набором четырех квантовых чисел: n, , m, m_s.

Например, на энергетическом уровне может находиться не более двух электронов, но с противоположным направлением спинов. Принцип Паули дал возможность теоретически обосновать периодическую систему элементов Менделеева, создать квантовые статистики, современную теорию твердых тел и др.

3. Тонкая и сверхтонкая структура спектральных линий

Анализ спектров сложных атомов показал, что на практике реализуются не все, а только некоторые электронные переходы с высшего энергетического уровня атома на низший.

Это объясняется тем, что разрешенные переходы должны удовлетворять условию (правилам отбора).

Например, = 1, m = 0, 1, где   разность значений орбитального квантового числа; m  разность значений магнитного квантового числа, соответствующих двум состояниям электрона и др.

Кроме того, была обнаружена тонкая и сверхтонкая структура спектральных линий. Например, желтая D  линия натрия расщепляется на две линии (₁=5,89010^7 м и ₂= 5,89610^7 м). Такое явление возможно при расщеплении энергетического уровня, переходы электрона, между которыми приводят к возникновению данных спектральных линий.

Тонкая структура спектральных линий вызвана влиянием спина электронов на их энергию и влиянием других факторов. Дирак с учетом этого получил релятивистское волновое уравнение, решение которого позволило объяснить спин-орбитальное взаимодействие электронов.

Исследование тонкой структуры спектральных линий и непосредственные измерения расщепления уровней атома водорода и гелия методами радиоспектроскопии подтвердили теорию. Кроме расщепления, наблюдается сдвиг энергетических уровней  квантовый эффект, вызванный отдачей при излучении. Наряду с тонкой наблюдается сверхтонкая структура энергетического уровня, обусловленная взаимодействием магнитных моментов электрона с магнитным моментом ядра, а также изотопическое смещение, обусловленное разницей масс ядер изотопов одного элемента. Если в атоме имеется несколько электронов, то их магнитное взаимодействие приводит к тому, что магнитные моменты электронов складываются в результирующий магнитный момент. При этом различают несколько типов взаимодействий.

В первом типе взаимодействия  нормальная магнитная связь (L , S  связи)  отдельно складываются в результирующий момент орбитальные моменты, отдельно  спиновые моменты и уже их результирующие моменты складываются в общий момент импульса атома. Вовтором типе взаимодействия (спин-орбитальная связь) орбитальный и спиновые моменты импульса каждого электрона складываются между собой в общий момент и уже полные моменты отдельных электронов складываются в полный момент импульса атома.

Существуют и другие типы связей.

Таким образом, в векторной модели атома в случае L , S  связи имеем

,

где ,s_i  соответствующие орбитальные и

спиновые моменты отдельных электронов; L  суммарный орбитальный момент импульса; S  суммарный спиновой момент импульса; J - полный момент импульса всех электронов в атоме.

Согласно квантовой механике

(10)

где L, S, J  квантовые числа суммарного момента соответственно для векторов .

Например, при данных L и S полный момент импульса J может принимать значения: L + S, L + S  1, L + S  2, ... , L  S + 1, L  S.

В магнитном поле проекция

. (11)

Магнитное квантовое число m_J может принимать значения:

J, J  1, J  2, ... , J + 1, J.

Всего 2J + 1 значений.

Следовательно, в магнитном поле уровень с квантовым числом J разбивается на 2J + 1 подуровней.

При этом соблюдается правило отбора m_J = 0, 1.

В классической физике вектор момента импульса частицы относительно начала 0 определяется векторным произведением векторови, т. е.

.

В квантовой механике это не имеет смысла, так как не существует состояния, в котором бы оба вектора иимели определенные значения (соотношения неопределенностей Гейзенберга).

В квантовой механике векторному произведению соответствуетвекторный оператор

.

Из квантовой механики следует, что не существует состояния, в котором вектор момента импульса имеет определенное значение, т. е. был бы полностью определен как по величине, так и по направлению. Вектор оператора момента импульса зависит только от направления координатных осей.

Физические величины, которыми в квантовой механике характеризуется момент импульса частицы, являются:

1. Проекция оператора вращательного (углового) момента частицы

, (12)

где m_z = 0, 1, 2, ... ,  магнитное квантовое число.

2. Квадрат полного вращательного момента частицы (не квадрат вектора , а собственные значения квадрата оператора вращательного момента), т. е.

. (13)

Следовательно, существует состояние, в котором одновременно имеют определенные значения квадрат вращательного момента и одна из его проекций на выбранное направление (например, на ось Z).

Всего состояний, в которых квадрат вращательного момента имеет определенные значения, 2+1

L² =,

где = 0, 1, ... ,n  1  орбитальное квантовое число, определяющее квадрат вращательного момента импульса.

Процессы, определяющие проекцию оператора вращательного момента частицы L_z и квадрат вращательного момента L², называют пространственным квантованием.

Рис. 1

Графически пространственное квантование представлено на векторной диаграмме (рис. 1), где приведены возможные значения проекции L_z и возможные значения квадрата вращательного момента импульса L². По оси Z отложены возможные значения m_z, как проекции вектора оператора длины=.

При =1,=, если за единицу вращательного момента принятьh / 2. Знание спина, например, для ядра атома натрия, позволяет детально рассмотреть сверхтонкое расщепление энергетических уровней и спектральных линий для этого элемента. Спиновой момент ядра квантуется. Установлено, что максимальное значение спина ядра атома натрия .

Если за единицу спинового момента ядра принять , то его проекция на избранное направление (определяется внешним магнитным полем) может принимать только дискретные значения: 0,1, 2, ... или Тонкая структура спектральных линий объясняется спинорбитальным взаимодействием электронов и зависимостью массы электрона от скорости.

Величина тонкого расщепления энергетических уровней для легких атомов 10^5 эВ.

Для тяжелых атомов она может достигать долей электронвольта.

Совокупность подуровней, на которые расщепляется энергетический уровень, называют мультиплетом: дуплеты, триплеты и т. д.

Простые уровни, не расщепляющиеся на подуровни, называют синглетами. Тонкая структура спектральных линий характеризуется постоянной тонкой структуры а  1/137. Сверхтонкая структура спектральных линий объясняется взаимодействием между электронной оболочкой и ядром атома. Для натрия линии D₁ и D₂ являются проявлением тонкой структуры спектральных линий. На рис. 2 в соответствии с правилами отбора изображены возможные переходы (без соблюдения масштаба).

Рис. 2

Внизу приведена наблюдаемая картина сверхтонкого расщепления спектральных линий. Относительные интенсивности компонент дают длины вертикальных отрезков, изображенные под соответствующими квантовыми переходами. Для атома водорода сверхтонкая структура наблюдается и для основного энергетического уровня (n = 1, = 0); тонкая структура в этом случае отсутствует. Это объясняется взаимодействием полного момента импульса электрона со спиновым моментом ядра (протона). При переходе электрона между двумя появившимися подуровнями сверхтонкого расщепления основного энергетического уровня атома водорода возникает излучение с длиной волны  = 21 см, наблюдаемое для межзвездного водорода. В изучении тонкой структуры спектральных линий определенную роль сыграл простой и сложный (аномальный) эффекты Зеемана, который наблюдается только у парамагнитных атомов, поскольку они имеют не равный нулю магнитный момент и могут взаимодействовать с магнитным полем. Простой эффект Зеемана наблюдается при внесении источника излучения в магнитное поле, что вызывает расщепление энергетических уровней и спектральных линий на несколько компонент. Квантовая теория эффекта Зеемана основана на анализе расщепления энергетического уровня излучающего электрона в атоме, внесенного в магнитное поле. При этом предполагается, что электрон имеет только орбитальный магнитный момент и в магнитном поле атом приобретает дополнительную энергию W =  ₀p_mzH, где Н  напряженность магнитного поля; p_mz  проекция магнитного момента на направление Z магнитного поля; ₀  магнитная постоянная.

В слабом магнитном поле наблюдается сложный эффект Зеемана.

Этот эффект получил объяснение после обнаружения спина электрона и используется при описании векторной модели атома. Расщепление энергетических уровней в магнитном поле вызвано явлением магнитного резонанса, заключающегося в избирательном (селективном) поглощении энергии переменного магнитного поля и связано с вынужденными переходами между подуровнями одного и того же зеемановского мультиплета, появившегося в результате действия постоянного магнитного поля.Магнитный резонанс, обусловленный наличием у электрона магнитного момента, называют электронным магнитным резонансом (ферромагнитный резонанс и ядерный магнитный резонанс). Ядерный магнитный резонанс, вызван наличием у ядерных частиц (протонов и нейтронов) магнитных моментов.

Наблюдается также электронный парамагнитный резонанс, который впервые наблюдался Е.К. Завойским в 1944 г.