14

Квантовая физика

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________0

Лекция 13

МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ

1. Момент импульса и спин в квантовой теории.

В классической физике момент импульса материальной точки

Момент импульса системы классических частиц состоит из собственного и орбитального моментов импульса. Собственным моментом импульса является момент импульса при нулевом значении суммарного импульса всех частиц. Примером является вращающийся на одном месте волчок.

У отдельной классической материальной точки собственного момента импульса нет, т. к. импульсе р = 0. Свойства момента импульса в квантовой теории изменяются, что связано в первую очередь с соотношениями неопределенности. Это приводит к тому, что из трех компонент (проекций) момента импульса L_x, L_у и L_z сколь угодно точно можно задать любую, но только одну, например, L_z. Найдем значения, которые может принимать проекция момента импульса L_z. В квантовой механике волновая функция состояния _L,z, в котором z-компонента момента импульса имеет определенное значение L_z = const, находится с помощью уравнения

_L,z = L_z _L,z. (1)

Правая часть данного уравнения является произведением величины z-компоненты квантового момента импульса на состояние, в котором эта компонента имеет данную величину. Решение этого уравнения показывает, что z-компонента момента импульса является величиной, кратной постоянной Планка, т. е. квантуется: L_z = h / (2), где  магнитное квантовое число.

Поскольку любая компонента момента импульса не может быть больше его абсолютного значения, то существует такое целое неотрицательное число , при котором m  . Т. о., при заданном , число принимает 2+ 1 значений, т. е. =0,  1,  2, … , , образующих спектр величиныL_z.

Следовательно, абсолютное значение квантового момента импульса зависит от , т. е. , (2)

где = 0, 1, 2, ... , (n  1)  орбитальное квантовое число.

Из рассмотренного следует, что момент импульса не может быть совмещен ни с одной из осей Х, У или Z.

Когда пишется, что орбитальный момент импульса частицы равен, например, 2, то при этом имеется в виду спектр значений

L_z =  h/,  h/(2), 0, + h/(2), + h/.

При этом абсолютное значение момента импульса

Квантовая механика допускает возможность существования таких состояний электрона, в которых он не имеет момента импульса (= 0), связанного с его движение в атоме (6.10). Из классической электродинамики известно, что

, (3)

где вектор магнитного момента электрона; вектор орбитального момента импульса электрона;  орбитальное гиромагнитное отношение; q_e  заряд электрона; m_e  его масса.

Из квантовой механики следует, что существует пространственное квантование, значит, вектор момента импульса электрона может иметь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция на направление Z внешнего магнитного поля принимает квантовые значения, кратные , т. е.

= m, (4)

где m = 0,  1,  2, ... ,   магнитное квантовое число.

Следовательно, может принимать 2+1 ориентаций в пространстве. Пространственное квантование приводит к “расщеплению” энергетических уровней на ряд подуровней.

Опыты Штерна и Герлаха в 1922 г., в которых узкий пучок атомов серебра проходил сквозь сильное неоднородное магнитное поле и падал на экран, где вместо одной линии наблюдалось две резкие полосы, что свидетельствовало о двух возможных положений (ориентаций) магнитного момента во внешнем магнитном поле и подтвердили пространственное квантование.

В магнитном поле проекция магнитного момента на ось Z, совпадающей с направлением вектора индукции внешнегомагнитного поля

, где S_Z  проекция спина на ось Z.

Но величина S_Z принимает только два значения S_Z = + h/(4) и S_Z =  h/(4), то на атомы серебра со стороны магнитного поля действуют только две противоположно направленные силы F₊ = + _B и F_-=  _B, где

 (5)

магнетон Бора (_В = 9,27410^24 ).

Эти силы и приводят к расщеплению исходного пучка атомов серебра на два пучка, причем симметрично относительно исходного.

Поэтому магнитный момент квантуется:

, (6)

Как показала квантовая теория, волновая функция состояния с определенным значением Z  компоненты момента импульса имеет знаковую неоднозначность при полуцелом значении m.

Это значит, что у квантовых частиц есть степени свободы, отличные от характеризующих положения частиц в пространстве. Момент импульса, связанный с этой дополнительной степенью свободы частицы, называют спином S. Такие частицы как электрон, протон, нейтрон имеют спин S = 1/2. У фотона спин S = 1. Гравитон имеет спин S = 2. У пионов спин S = 0.

Важным отличием собственного момента импульса (спина) от орбитального момента импульса является сохранение абсолютного значения спина, т. к. спин  внутреннее свойство частицы. У него может меняться только его проекция S_Z, т. е. спин может поразному ориентироваться в пространстве. Например, спин электрона имеет только две ориентации с S_Z = + h/(4) и с S_Z =  h/(4). Орбитальный же момент импульса изменяется по абсолютному значению, например, он обращается в нуль в состоянии с = 0.

Следует заметить, зависимость от спина существенна только при наличии внешнего магнитного поля, т. к. только в этом случае, входящая в уравнение Шредингера энергия взаимодействия частицы с магнитным полем зависит от спина частицы через ее магнитный момент. Опыты также показали, что у электрона кроме орбитального момента импульса и соответствующего ему магнитного момента, имеется собственный момент импульса  спин электрона (предсказал Паули) и соответствующий ему собственный магнитный момент , т. е.. (7)

Собственный момент импульса  спин и соответствующий ему собственный магнитный момент проявляют все элементарные частицы.

Согласно выводам квантовой механики следует, что спин квантуется по закону

, (8)

где S =1/2  спиновое квантовое число.

Следовательно, в магнитном поле спин имеет две ориентации, т. е. .

В связи с этим существует спиновое гиромагнитное отношение

. (9)

В опытах Эйнштейна и де Гааза было определено спиновое гиромагнитное отношение для ферромагнетиков.

Квантовая механика сумела объяснить спиновую природу магнитных свойств ферромагнетиков и создать теорию ферромагнетизма. Наличие спина у электрона и других элементарных частиц рассматривается как некоторое особое свойство этих частиц. Существование спина вытекает из волнового уравнения Дирака. Непосредственно экспериментально определить только спиновой магнитный момент свободного электрона невозможно из-за того, что спиновой магнетизм электрона носит кинематический характер, и следовательно, его невозможно отделить от магнитных эффектов, обусловленных переносным движением электрона, что следует из соотношений неопределенности Гейзенберга.