3. Интерференция волн

3.1. Роль векторов и

На практике в реальных средах могут распространяться одновременно несколько волн. В результате сложения волн наблюдается ряд интересных явлений: интерференция, дифракция, отражение и преломление волн и т. д.

Эти волновые явления характерны не только для механических волн, но и электрических, магнитных, световых и т. д. Волновые свойства проявляют и все элементарные частицы, что было доказано квантовой механикой.

Одно из интереснейших волновых явлений, которое наблюдается при распространении в среде двух и более волн, получило название интерференции.

Свет  электромагнитные волны. Поэтому электромагнитное поле определяется векторами и, характеризующими напряженности электрического и магнитного полей,cоответственно.

Однако во многих процессах взаимодействия света с веществом, например, таких, как воздействие света на органы зрения, фотоэлементы и другие приборы, определяющая роль принадлежит вектору , который в оптике называют световым вектором.

Все процессы, происходящие в приборах под влиянием света, вызваны действием электромагнитного поля световой волны на заряженные частицы, входящие в состав атомов и молекул.

В данных процессах основную роль играют электроны из-за большой частоты колебаний светового вектора (10 ¹⁵ Гц).

Сила Лоренца F, действующая на электрон со стороны электромагнитного поля,

, (8)

где q_e  заряд электрона; v  его скорость;   магнитная проницаемость окружающей среды; ₀  магнитная постоянная.

Максимальное значение модуля векторного произведения второго слагаемого при , с учетом

₀Н² = ₀Е², (9)

получается

₀Нv_э = , (10)

где

; (11)

 скорости света в веществе и в вакууме соответственно; ₀ электрическая постоянная;   диэлектрическая проницаемость вещества.

Причем v >>v_э, , a скорость электрона в атоме v_э10⁶ м/c.

Известно, что

v = R_a,

где  = 2  циклическая частота; R_a10^10 м  размер атома, играет роль амплитуды вынужденных колебаний электрона в атоме.

Следовательно, , и основную роль играет вектор, а не вектор. Полученные результаты хорошо согласуются с данными опытов.

Например, в опытах Винера области почернения фотоэмульсии под действием света совпадают с пучностями электрического вектора .

3.2. Интерференция света. Условия максимума

и минимума интерференции

Явление наложения когерентных световых волн, в результате которого наблюдается чередование усиления света в одних точках пространства и ослабления в других, называют интерференцией света.

Необходимым условием интерференции света является когерентность складываемых синусоидальных волн.

Волны называют когерентными, если не изменяется с течением времени разность фаз складываемых волн, т. е.

 = const. (12)

Этому условию удовлетворяют монохроматические волны, т. е. волны равных частот (₁ = ₂ = ).

В силу поперечности электромагнитных (световых) волн условие когерентности является недостаточным для получения устойчивой интерференционной картины.

Достаточное условие заключается в том, чтобы колебания векторов , складываемых электромагнитных полей совершались вдоль одного и того же или близких направлений.

При этом должно происходить совпадение не только векторов , но и, что будет наблюдаться лишь в том случае, если волны распространяются вдоль одной и той же прямой, т. е. являются одинаково поляризованными.

Найдем условия максимума и минимума интерференции.

Для этого рассмотрим сложение двух монохроматических, когерентных световых волн одинаковой частоты (₁ = ₂ = ), имеющих равные амплитуды (Е₀₁ = Е₀₂ = Е₀), совершающих колебания в вакууме в одном направлении по закону синуса (или косинуса), т. е.

Е₁ = Е₀₁sin(t  kr₁ + ₀₁), (13)

Е₂ = Е₀₂sin(t  kr₂ + ₀₂), (14)

где r₁, r₂  расстояния от источников S₁ и S₂ до точки наблюдения на экране;

₀₁, ₀₂  начальные фазы;

k =  волновое число. (15)

Согласно принципу суперпозиции (установлен Леонардо да Винчи) вектор напряженности результирующего колебания равен геометрической сумме векторов напряженности складываемых волн,

т. е.

.

Для простоты положим, что начальные фазы складываемых волн равны нулю, т. е. ₀₁ = ₀₂ = 0. По абсолютной величине, имеем

Е = Е₁ + Е₂ =2Е₀sin[t]cos. (16)

В (16) выражение

(r₂  r₁)n = 

 оптическая разность хода складываемых волн; n  абсолютный показатель преломления среды.

Для других сред отличных от вакуума, например, для воды (n₁, ₁), стекла (n₂, ₂) и т. д. k = k₁ n₁; k = k₂ n₂; =₁n₁; =₂ n₂ ;

k₁= ; k₂=,

где   длина волны света в вакууме,

Из формулы (16) следует, что результирующая электромагнитная волна изменяется со временем с той же циклической частотой .

Множитель

cos

не зависит от времени, поэтому величину

Е_0,рез = 2Е₀cos (17)

 называют амплитудой результирующей волны.

Амплитуда мощности волны определяется (для единицы поверхности фронта волны) вектором Пойнтинга, т. е. по модулю

, (18)

где

= сw,

w = ₀E²

 средняя, объемная плотность энергии электромагнитного поля (для вакуума  =1), т. е.

= с ₀E².

Если J= интенсивность результирующей волны, а

J₀ = с₀

максимальная интенсивность ее, то с учетом (17) и (18) интенсивность результирующей волны будет изменяться по закону

J = 2J₀{1+ сos[k(r₂  r₁)]}. (19)

Разность фаз складываемых волн

 = ₂  ₁ = =сonst (7.20)

и не зависит от времени, где

₂ = t  kr₂ + ₀₂;

₁ = t  kr₁ + ₀₁.

Амплитуду результирующей волны найдем по формуле

(21)

где

 = k(r₂  r₁)n = . (22)

Возможны два случая:

1. Условие максимума.

Если разность фаз складываемых волн равна четному числу 

 = 2m,

где m = 0, 1, 2, ... , то результирующая амплитуда будет максимальной,

т. е.

(23)

или

Е₀ = Е₀₁ + Е₀₂. (24)

Следовательно, амплитуды волн складываются, а при их равенстве

(Е₀₁ = Е₀₂) результирующая амплитуда  удваивается.

Результирующая интенсивность также максимальна:

J_max = 4J₀. (25)

Используя формулу (22), находим условие максимума для оптической разности хода , т. е.

^мах = 2m =, (26)

^мах = 2m. (27)

Вывод: Оптическая разность хода равна четному числу полуволн.