14

Квантовая физика

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________0

Лекция 11

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

1. Временное и стационарное уравнения Шредингера

Любое состояние микрочастицы в квантовой механике определяется волновой функцией (амплитудой вероятности).

В нерелятивистском случае уравнением движения микрочастицы является временное уравнение Шредингера

(1)

где

 оператор Лапласа; i =  мнимая единица; h  постоянная Планка; W_p(x, y, z, t)  потенциальная энергия частицы в силовом поле; m  масса частицы;  = (х, у, z, t) = (r, t)  волновая функция частицы; r = (х, у, z)  пространственная координата и время t.

Справедливость уравнения Шредингера (оно постулируется, а не выводится) доказывается тем, что выводы квантовой механики, полученные на основании этого уравнения, в атомной и ядерной физике, находятся в полном согласии с экспериментальными данными.

Стационарное уравнение Шредингера имеет вид

, (2)

где W = const  полная энергия частицы.

Уравнение (2) справедливо для любой квантовой частицы движущейся со скоростью v < c и характеризуется следующими свойствами:

1. функция  должна быть однозначной, непрерывной, конечной;

2. производные  непрерывны;

3. функция ²  должна иметь конечный интеграл.

Волновое уравнение Шредингера (волн де Бройля) имеет аналогичный вид, как и все волновые уравнения любой физической природы.

Таким образом, электрон в атоме существует не в виде частицы, а в виде волны де Бройля (волны вероятности).

Движение электрона (любой другой микрочастицы) должно подчиняться волновому уравнению Шредингера.

В случае движения частицы вдоль оси Х волна де Бройля имеет вид плоской волны:

, (3)

где W_p(x)  потенциальная энергия взаимодействия электрона и ядра, удаленные на расстояние х.

Из классической физики следует, что уравнение колебаний, например, струны, описывается формулой

или

, (4)

где

 волновое число; ₀  собственная циклическая частота колеблющейся системы.

Некоторые решения уравнения (4) [функции s(x)] приведены на рис. 1, а.

Графики имеют вид синусоид, и смысл их очевиден: они изображают форму струны в какой-то момент времени, т. е. моментальную фотографию процесса ее колебаний.

Форма колебаний струны определяется числом узлов k, т. е. числом точек, остающихся неподвижными в процессе колебания.

Им соответствует бесконечный набор решений s(x), которые различаются только числом узлов.

Уравнение Шредингера (3) можно представить в виде

, (5)

где . (6)

Следовательно, по форме уравнение (5) мало отличается от уравнения струны (3).

Если электрон движется свободно, то W_p(x) = 0, поэтому его полная энергия W = W_k, и следовательно, длина волны электрона постоянна:

и равняется длине волны де Бройля.

В этом случае уравнение Шредингера в точности совпадает с уравнением струны.

а

б

Рис. 1

При движении электрона в атоме он взаимодействует с ядром (например, с протоном в атоме водорода) по закону Кулона и его потенциальная энергия

, (7)

где е  элементарный заряд, равный заряду протона и электрона (по модулю).

В этом случае длина волны де Бройля

(8)

не имеет определенного значения и меняется от точки к точке.

Несколько решений уравнения (5), т. е. функции _n(x), изображено на рис.1, б, где n = 1, 2, 3, ...  главное квантовое число, характеризующее энергию электрона в атоме.

В теории колебаний струны возникает такой случай: если колеблется струна со всевозможными грузами и утолщениями на ней, то ее колебания описываются аналогичным волновым уравнением.

Таким образом, уравнение Шредингера имеет решение не всегда, а только при определенных значениях энергии W_n, которым соответствуют собственные функции _n(x), зависящие от n.

Дискретные значения энергии W_n стационарных состояний электрона в атоме, характеризуются квантовым числом n, т. е.

,

где ₀  электрическая постоянная; Z  порядковый номер элемента в периодической системе Д.И. Менделеева; m  масса электрона; е  заряд электрона.

Согласно квантовой механике атом не имеет определенных размеров, который определяется состоянием электронов в атоме.

Положение электрона в атоме подчиняется вероятностным законам.

Электрон в атоме представляется в виде электронного облака, и где он находится, в данный момент времени точно указать нельзя, т. е. понятие орбиты в квантовой механике не имеет смысла.

Причина устойчивости атома заключается в его движении и неизменности квантовомеханических законов, управляющих этим движением.

Причем квантовая устойчивость атома значительно надежнее, чем динамическая устойчивость классической механики, так как разрушенный атом восстанавливает свою структуру.

Вывод: Каждая квантовомеханическая система характеризуется своим энергетическим спектром.

В зависимости от вида потенциальной энергии (т. е. от характера взаимодействия в системе) энергетический спектр может быть либо дискретным (как у свободной частицы), либо смешанным (например, энергетические уровни атома при энергиях возбуждения, меньших энергий ионизации, дискретны, а при больших энергиях  непрерывны).

Характер квантовомеханического движения можно понять на примере одномерного движение частицы (например, вдоль оси X) в случае, когда потенциальная энергия W_p зависит только от координаты х.

Уравнение Шредингера (5) сводится к уравнению

, (9)

где выражение

р²(х) = 2m[W  W_p(x)]

совпадает с формулой квадрата классического импульса частицы в точке с координатой х.

Таким образом, волновая функция и является той величиной, которая позволяет отыскать все вероятности.

Из всех квантовых вероятностей в учебном пособии используется только одна, которая описывает распределение координат частиц.

Для одномерного движения:вероятность нахождения частицы в интервале (х, х + dx) в момент времени t равна

(х, t)²dx,

где

(х, t)² = ^* (х, t) (х, t)

 квадрат модуля волновой функции

[^* (х, t)  комплексное сопряжение волновой функции  (х, t)].

С помощью волновой функции  (х, t) среднее значение координаты определяется по формуле

.

2. Движение квантовой частицы

в стационарном силовом поле

Простым видом движения квантовой частицы является свободное движение. Потенциальная энергия частицы в этом случае обращается в ноль, т. е. W_p(x) = 0.

Для свободной частицы, движущейся, например, вдоль оси Х, стационарное уравнение Шредингера

или

(10)

Функция (х) = Ае^ikx, где А = соnst и k = const, является частным решением этого уравнения с энергией

W = h²k²/(8²m). (11)

В общем случае для зависящей от времени волновой функции получаем

(x, t) = Ae^{-it |+ikx}. (12)

Это решение представляет собой плоскую монохроматическую волну с циклической частотой  и волновым числом k, которая называется волной де Бройля.

Координаты свободной квантовой частицы распределены с плотностью вероятности

w(x) = (х)² = A² = const.

Так как плотность вероятности постоянна, то существует одинаковая вероятность обнаружить свободную частицу в любых точках пространства, т. е. область движения свободной частицы неограниченно велика, что естественно.

Согласно корпускулярно-волновому свойству частиц

 = 2W / h;  = W / h, k = 2p / h,

где р  импульс частицы.

Тогда волна де Бройля запишется в виде:

(x, t) = A exp(2iWt / h + 2ipx / h). (13)

Причем зависимость энергии частицы от импульса оказывается обычной для нерелятивистских частиц:

W(p) = p² / 2m.

Таким образом, энергетический спектр свободной квантовой частицы (не путать со спектрами испускания или поглощения атома), которая при р  0 является простейшей квантовой системой с неограниченной областью движения, непрерывен и ограничен снизу значением энергии W = 0.

3. Одномерное движение электрона в потенциальном ящике

Примером движения электрона в потенциальном ящике является движение коллективизированных электронов в металлах.

В этом случае энергия электрона вне и внутри потенциального ящика имеет следующие значения:

W_p= 0 при 0  x  , W_p=  при x  0 и x  , (14)

где  ширина потенциального ящика.

Согласно классической теории вне металла потенциальная энергия электрона равна нулю, т. е. W_p = 0, а внутри металла она отрицательна и численно равна работе выхода электрона из металла (W_p = А_в).

Рис. 2

Следовательно, движение электрона ограничено потенциальным барьером прямоугольной формы с плоским дном (рис. 2).

Для квантового описания движения электрона в таком потенциальном ящике применим стационарное уравнение Шредингера

.

Это уравнение имеет решение, если волновая функция (х) обращается в нуль на стенках ящика, т. е.

(0) = () = 0.

Тогда . (15)

В области значений 0  x  W_p = 0, а отношение имеет конечное значение (). При х 0 и х  W_p  , тогда (х)  0.

Следовательно, для электрона, находящегося в потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками, уравнение Шредингера должно быть таким, чтобы  = 0 и ² = 0 вне области значений 0  x  , т. е. вероятность найти электрон вне ящика равна нулю (без учета туннельного эффекта).

Решая уравнение

или (16)

(,k =  волновое число) получаем, что при х = 0 волновая функция  = 0, а при x =  () = 0.

Таким образом, решение уравнения (8.40) можно записать в виде

или (х) =А₁coskx + A₂sinkx, (17)

где А₁ и А₂  некоторые постоянные, определяются из условия нормировки.

При х = 0 из (17) следует, что А₁= 0; при x = имеем () = А₂sink

или А₂0, А₁=0, sink=0. (18)

Из (18) следует, что величина k должна принимать дискретные значения k_n, удовлетворяющие условию k_n = n, где n =1, 2, 3, ... , т. е. .

Так как k_n = 2 / _n, где _n  длина волны де Бройля для электрона в потенциальном ящике, значит или.

Рис. 3

Следовательно, на длине потенциального ящика должно укладываться целое число волн де Бройля.

Выражая энергию через волновое число, найдем энергетический спектр частицы в глубокой потенциальной яме, т. е.

W_n = h²k_n²/(8²m) = h²n²/(8²m). (19)

Энергетический спектр частицы в глубокой потенциальной яме изображен на рис. 3. Видно, что он дискретен и ограничен снизу. Поэтому, энергия электрона в потенциальном ящике может принимать лишь ряд дискретных собственных значений энергии W_n.

Это значит, что энергия электрона в потенциальном ящике является квантованной, а значения W_n называются уровнями энергии, где n = 1, 2, 3, …  главное квантовое число, определяющее вид волновой функции и энергию частицы в состоянии с этой волновой функцией.

В энергетическом спектре частицы (19) при n = 1 основной уровень имеет энергию W₁ = h²/(8²m) >0.

Это неравенство означает невозможность остановки частицы, т. к. ее кинетическая энергия не может быть меньше W₁. Согласно соотношений неопределенности Гейзенберга неопределенность импульса частицы р не может быть меньше величины

Но в потенциальной яме шириной положение частицы определено с точностью х  . Следовательно, хр  h / (2), что находится в полном согласии с квантовой механикой. При больших значениях n квантовая механика дает значения энергии, близкие по величине к результатам классической физики. В этом проявляется принцип соответствия Бора: при больших квантовых числах выводы и результаты квантовой механики должны соответствовать результатам классической физики, т. е. в предельном случае квантовая механика переходит в классическую теорию.