Динамика вращательного движения

25. Момент силы относительно произвольной оси вращения

M = Fl,

где F– сила;l– расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой действует сила.

26. Момент инерции материальной точки относительно произвольной оси вращения

J = mr²,

где m– масса материальной точки;r– расстояние от точки до оси.

27. Момент инерции твердого тела относительно его оси вращения

J =,

где интегрирование должно быть распространено на весь объем тела.

Производя интегрирование, можно получить следующие формулы:

момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра

J = 1/2 mR²,

где m– масса цилиндра (диска);R– его радиус;

момент инерции тонкостенного полого цилиндра (обруча)

J = mR²;

момент инерции однородного шара радиуса R относительно оси, проходящей через его центр,

J = 2/5 mR²;

момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно его длине l,

J = 1/12 ml².

28. Теорема Штейнера

J=J₀+md²,

где J₀– момент инерции тела относительно его оси, проходящей через центр масс;m– масса тела;d– расстояние от оси вращения до оси, проходящей через центр масс тела.

29. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела

dt=d(J),

где – момент внешних сил, приложенных к телу, момент инерции которого равенJ; – угловая скорость вращения тела. ЕслиJ = const, то

= J,

где – угловое ускорение, приобретаемое телом под действием вращающего момента.

30. Кинетическая энергия вращающегося тела

W_k= Jω²/2.

31. Закон сохранения момента количества движения

∑J=const.

32. Теорема о связи работы и кинетической энергии

A=Mφ=( Jω₂)²/2 –(Jω₁)²/2.

Механические колебания и волны

33. Уравнение гармонического колебания

x=Asin (ωt+ φ),

где х– смещение колеблющейся точки от положения равновесия;А– амплитуда колебаний;ω– циклическая частота;φ– начальная фаза.

34. Циклическая частота

ω = 2πν = 2π/Т,

где ν– частота (количество колебаний в единицу времени);Т– период колебаний (время одного полного колебания).

35. Скорость при гармоническом колебании

V = A ω cos ωt.

36. Ускорение при гармоническом колебании

a= –Aω²sin ωt.

37. Период колебаний пружинного маятника

Т = 2π ,

где m– масса тела, подвешенного на пружине;k– коэффициент упругости пружины.

38. Период колебаний математического маятника

Т = 2π ,

где l– длина маятника;g– ускорение свободного падения.

39. Период колебаний физического маятника

Т = 2π,

где L– приведенная длина физического маятника.

40. Сложение колебаний одного направления и одинаковой частоты:

а) амплитуда результирующего колебания

A²=A₁² + A₂² +2A₁A₂ cos (φ₁– φ₂);

б) начальная фаза результирующего колебания

φ = arctg (A₁sin φ₁+A₂sin φ₂) / (A₁cos φ₁+A₂cos φ₂).

41. Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях (х = A₁ cos ωt,у = A₂ cos (ωt + φ)):

а) если разность фаз φ = 0,

у = (A₂/A₁)х – прямая;

б) если разность фаз φ = π,

у = – (A₂/A₁)х, – прямая;

в) если разность фаз φ = π/2,

х²/ A₁ ²+ у²/ A₂ ²= 1 – эллипс.

42. Уравнение затухающего колебания

x=Ae^-δt sin (ωt+ φ),

где δ– коэффициент затухания. При этомδ = r/2mиω =, гдеω₀– угловая частота собственных колебаний.

43. Добротность колебательной системы

.

где λ = δТ– логарифмический декремент затухания.